分析力学解题指导

第五章分析力学

解题指导

在前面各章都是按“牛顿方式”研究力学问题，即为矢量力学。它和分析力学在观点和方法上都有区别。矢量力学所牵涉到的量大都是矢量。力和动量是它的两个基本量；而分析力学是拉格朗日和哈密顿等人所建立的变分原理为基础的，牵涉到的量为标量，基本量是能量。搞清矢量理学与分析力学的主要区别，对解决分析力学有关问题大有好处。我们将其主要区别归纳如下：

1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。

2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样又极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑给读者会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。

3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。

4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。为了能更具体理解分析力学的解体方法，

现将分析力学内容分五部分分别进行叙述。

[解题方法和要点]

（一）虚功原理与达朗贝尔原理

虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理，解题方法一般归纳为：

1、判别约束是否为理想约束；

2、找出主动力，及作用点；

3、确定自由度，并选择广义坐标；

4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变分来表示；

5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变分相互独立，所以可以较方便的求解。

达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方程，它考虑的是运动而不是静力学问题。

由“运动”学

i i i i m R F r += （i F 主动力；i R 约束反力）

变为平衡类型

()0=-++i i i m r R F

这样把动力学的问题转变为静力学问题处理，这就是著名的“动静法”。由于变为平衡方程，所以完全可按上述虚功原理方法解决有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起成为分析力学的最普遍原理的理论基础。

(二)拉格朗日方程（一般形式与保守系）

作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度

统一而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代物理提供了必须的物理思想和数学技巧。拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系统动力学的运动规律，反映在：①拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发生变化；②对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式都一样；③拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种运动的动力学规律。④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系统的主动力为保守力系时，拉氏函数L 成为力学体系的特征函数；⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有关。约束越多，方程数就越少，所以与牛顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题时一般方法是：

1，首先正确判断力学体系的自由度，并选择适当的广义坐标；k n S -=3。 2，判断是否是保守力场，从而决定选用方程类别；是保守力场时采用

=??-???

? ????ααq L q L dt d ，不是保守力场，或力场性质不明及不易判断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程：

()

S Q q T q T dt d 2,1==??-???

? ????αααα 3，求出的速度一定要采用绝对速度。这是动能表达式中所需要的。在保守

系力场中，确定体系势能时应先确定零势面。

4，按广义坐标建立S 个方程后，马上检查是否存在循环坐标（拉氏函数中

不显含某一广义坐标i q ，此i q 为循坏坐标），马上就可以写出它的第一积分；常数=??αq L

5，若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求广义力。广义力的求法是：

① 按定义求：

)S ,(q Q n

i 211=???=∑

=αααi i r F

其中i F 是作用在力学体系的第i 个质点上的主动力，i r 是第i 个指点的位矢。在

完整系中，广义力αQ 与广义坐标相对应，它们的个数都等于自由度数。广义力

还可以写成：

()S q z F q y F q x F Q i iz i iy i n

i ix 2,11=??+??+??=∑

=ααααα

将坐标变换式代入上式，计算后求得。

② 按虚功求：

虚功原理用广义力与广义位移表示为：

αααδδq Q W s

∑

==1故()S q W Q 2,1==αδδαα

仅给广义坐标中之一αq 的变化，其余1-S 个独立坐标不变，这样可求得所有主动力在相应q δ上所做元功之和。

令0,021====≠s a q q q q δδδδ 而则

111q W Q δδ=

同理，可求出s a Q Q Q ,2，或在约束条件许可下，αδq 彼此独立。当

,,21s q q q δδδ 都不为零时，αδq 前的系数即为各广义力αQ 。据题意读者可选

择上述任一方法求出广义力来。

6，检查方程数目是否与自由度相符，用高等数学知识解之。

(三)哈密顿正则方程

哈密顿把拉氏函数L 中的广义速度αq 用广义动量αp 代替，并写成

()t ,p ,q H H αα=，这样做的目的是通过引入新函数的方法达到把S 个二阶微分方程组降到2S 个一阶微分方程。虽然方程数目增加了一倍，但方程的阶数却从二阶降到一阶，因此简化了计算工作，而且为量子力学的应用开辟了方便之门。由于正则方程形式简单并且对称，广义动量在物理学中的应用又比广义速度更重要，所以哈密顿正则方程被认为是从经典物理过渡到近代物理的最方便形式。应用哈密顿正则方程建立力学体系运动微分方程的方法和基本步骤，建议按照下列顺序进行。

1， 首先要判断力学体系的约束类型，分析主动力的性质。只有力学系统

具有完整、理想约束，且为保守力系时才可以运用正则方程；

2，

确定自由度并选择广义坐标； 3，

写出拉氏函数，并注意到零势面的确定； 4， 正确写出力学体系的哈密顿函数；一般情况可采用两种方法： ①采用勒让德变换：

L q

q L L q p H s

1s 1-??=-=∑∑

==αααααα ②在体系是稳定的约束情况下：

0t H

dt dH

=??=。

正则方程存在广义能量积分即V T H +=，也就是说，在稳定约束时，哈密顿函数可以直接等于力学体系的动能和势能（总能量E ）。不管用哪种方法得到哈氏函数H ，H 都必须表示成广义坐标αq 和广义动量αp 有时还含有时间t 的函数。否则，不符题意，从而导出错误结论。体系是否为稳定约束的判别，主要以判别体系的动能是否是广义速度的二次齐次函数为依据。若动能是广义速度的二次齐次式，则体系为稳定的，即E V T H =+=。当动能不是广义速度的二次齐次式，体系就不稳定。

5, 要注意是否存在广义坐标积分，如果存在循环坐标，就可把与之对应的动量积分表示出来：0q H

=??α；常熟=αp 这时广义动量守恒，正则方程就存在广义

积分，即为哈密顿动力学中广义动量守恒原理。这和拉氏函数中不含有某个广义坐标αq 是完全等价的。αq 又为循环坐标。存在循环坐标对问题的求解将带来方

便。显然，广义动量积分的多少与广义坐标的选择有着密切的关系，而如何寻求更多的循环坐标，则是一个重要的技巧问题。

6，将哈密顿函数代入正则方程中，经过运算、整理就得出力学体系的运动微分方程组。然后，检查方程数是否符合2S 个

（四）哈密顿原理

矢量力学中的基础是牛顿运动方程；而哈密顿原理是和牛顿运动定律等价的原理，并且常常被用来推导其他的原理、定律及方程，甚至牛顿定律也可以认为是哈密顿原理的必然结果。所以，人们常常把拉格朗日函数对时间的积分求变分为完整系统动力学普通原理。

即0Ldt t2

t1=?δ

哈密顿原理的特殊价值，在于它使我们有了可以用同一的方式来处理不同物理领域的定律（力学、电动力学、统计物理、量子力学......）。这就开辟了极为广阔的推广范围，可以说只要能写出拉格朗日函数就可以用哈密顿原理求出体系的运动方程。用哈密顿原理解题步骤是：

1，判断力学体系的约束类型，确定是否是保守力系？

2，确定自由度并选择广义坐标；

3，写出拉格朗日函数V T L -=；动能，势能为广义坐标标，广义速度的函 4，直接代入主函数?=2

1t t Ldt S 中。

5，对主函数求极值0=s δ即求出力学体系的真实运动来。注意，这儿应用的是等时变分的概念：021====t t t t q q ωαδδ

6, 经过运算而得到运动微分方程。

（五）正则变换

正则变换理论是研究和求解力学问题的一个有力工具。每当直接积分运动微分方程有困难时，我们便可试图引入彝族有利于解决问题的新变量。也就是说，井陉坐标和动量的变换，使新的哈密顿函数中能出现一些新的坐标，从而可以很方便地直接积分。正则变换的解题关键，在于母函数的选择，由于母函数的不同就可进行不同形式的正则变换，其方法和步骤是：

1，确定自由度，选择广义坐标；

2，写出广义坐标和广义动量为函数的哈密顿函数来

3，选择一个适当的母函数来U ；

4，利用所设母函数写出正则变换方程：

ααααQ U P q U

P ??-=??=

5，由H t

U H +??=*得到新的哈氏函数*H

6，按新变量求解，因为ααδδQ P .都是互相独立的，所以，

S Q H P P H Q ,2,1.;=??-=??=**ααααα，在新变数中，诸Q 为循环坐标，得到

上述新的正在方程.

7，再用旧变量写出体系的运动方程来。

总之，解决分析力学诸问题，若按照上述一定之规进行运算，还是可以比较简单地得到力学体系的运动微分方程来的。在大量地进行演算后，自然会对力学的概念和应用加深理解。掌握了分析力学的解题方法，尤其是对哈密顿函数（量）的理解，将会对整个理论物理的解题方法给与不小的帮助