混沌现象的matlab实现

混沌中的倍周期现象的matlab实现

问题描述：取参数r在2.7到3.9之间，步长为0.001。取X(1)=0.1，按公式

X(n)=r*X(n-1)*(1-X(n-1))

进行迭代，产生150个值。以r为横坐标，对应迭代序列的后50个数为纵坐标，画在同一个坐标系中。并画出r=3.5时，x随着迭代次数n变化的曲线。

Matlab代码如下：

r=2.7:0.001:3.9;

n=length(r);

x=zeros(150,n);

x(1,:)=0.1;

for i=2:150

x(i,:)=r.*x(i-1,:).*(1-x(i-1,:));

end

x1=x(101:150,:);

figure(1)

plot(r,x1,'.k','MarkerSize',0.5)

k=(3.5-2.7)/0.001-1;

figure(2)

plot(x(:,int32(k)),'-*','MarkerSize',3) %绘制r=3.5时种群变化规律曲线

最后结果如下图：

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

蔡氏电路MATLAB混沌仿真

蔡氏电路的Matlab混沌仿真研究班级：姓名：学号：

摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation

用Matlab观察分岔与混沌现象

M a t l a b 实验报告实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图算法设计： 1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在 [-3,3]。 2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。程序代码： clear;clf; hold on axis([0,3,-3,3]); grid for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像：结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y 的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围

到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0:0.05:6 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像：分析：由图像可见，随着取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。 2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环语句的应用。

非线性电路中混沌现象的研究实验

非线性电路中混沌现象的研究实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。【实验目的】 1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。 2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。【实验仪器】非线性电路混沌实验仪【实验原理】图1 非线性电路图2 三段伏安特性曲线 1.非线性电路与非线性动力学：实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。图1 电路的非线性动力学方程为： 11211Vc g )Vc Vc (G dt dVc C ?--?=L 2122 i )Vc Vc (G dt dVc C +-?=

(完整版)基于MATLAB的混沌序列图像加密程序

设计题目：基于MATLAB的混沌序列图像加密程序一.设计目的图像信息生动形象，它已成为人类表达信息的重要手段之一，网络上的图像数据很多是要求发送方和接受都要进行加密通信，信息的安全与保密显得尤为重要，因此我想运用异或运算将数据进行隐藏，连续使用同一数据对图像数据两次异或运算图像的数据不发生改变，利用这一特性对图像信息进行加密保护。熟练使用matlab运用matlab进行编程，使用matlab语言进行数据的隐藏加密，确保数字图像信息的安全，混沌序列具有容易生成，对初始条件和混沌参数敏感等特点，近年来在图像加密领域得到了广泛的应用。使用必要的算法将信息进行加解密，实现信息的保护。 .设计内容和要求使用混沌序列图像加密技术对图像进行处理使加密后的图像使用matlab将图像信息隐藏，实现信息加密。三.设计思路 1. 基于混沌的图像置乱加密算法本文提出的基于混沌的图像置乱加密算法示意图如图1所示加密算法如下：首先，数字图像B大小为MX N（ M是图像B的行像素数，N是图像B的列像素数），将A的第j行连接到j-1行后面（j=2，3, A，M，形成长度为MX N的序列C。其次，用Logistic混沌映射产生一个长度为的混沌序列｛k1，k2，A，kMX N｝，并构造等差序列D: ｛1，2，3, A，MX N-1，MX N｝。再次，将所

产生的混沌序列｛kl, k2. A, kMX N｝的M N个值由小到大排序，形成有序序列｛k1', k2'. A' kMX N' ｝，确定序列｛k1, k2, A, kMX N｝中的每个ki在有序序列｛k1', k2', A , kMX N' ｝中的编号，形成置换地址集合｛t1 , t2 , A, tM X N｝，其中ti为集合｛1 , 2, A, MX N｝中的一个；按置换地址集合｛t1 , t2 , A, tM X N｝对序列C进行置换，将其第i个像素置换至第ti列, i=1 , 2, A, MX N,得到C'。将等差序列D做相同置换，得到D'。最后，B'是一个MX N 的矩阵，B' (i ,j)=C ' ((i-1) X M+j)，其中i=1 , 2, A, M j=i=1 , 2, A, N,则B'就是加密后的图像文件。解密算法与加密算法相似，不同之处在于第3步中，以序列C'代替随机序列｛k1, k2, A, kMX N｝,即可实现图像的解密。 2. 用MATLAB勺实现基于混沌的图像置乱加密算法本文借助MATLAB^件平台，使用MATLAB!供的文本编辑器进行编程实现加密功能。根据前面加密的思路，把加密算法的编程分为三个主要模块：首先，构造一个与原图a等高等宽的矩阵b加在图像矩阵a后面形成复合矩阵c: b=zeros(m1, n1); ifm1>=n1 ifm1> n1 fore=1: n1 b=(e,e); end else fore=1: n1 end fore=1:( n1-m1) b((m1+e-1),e)=m1+e-1 end end c=zeros(m1*2, n1); c=zeros(m1*2,1); c=[b,a]; 然后，用Logitic映射产生混沌序列:

用非线性电路研究混沌现象pdf

用非线性电路研究混沌现象长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。直到1963年美国气象学家LORENZ 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。如今，非线性科学已成为21世纪科学研究的一个重要方向。非线性科学的研究对了解生物、物理、化学、气象等学科都有重要意义。混沌作为非线性科学中的主要研究对象之一，在许多领域都得到了证实和应用。混沌作为一门新学科，填补着自然界决定论和概论的鸿沟。混沌是对经典决定论的否定，但本身有它特有的规律。研究混沌的目的是要揭示貌似随机的现象背后所隐藏的规律。本实验通过建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测非线性电中倍周期分岔产生混沌的全过程。同时了解混沌现象的一些基本特征。 [实验目的] 1．通过对非线性电路的分析，了解产生混沌现象的基本条件； 2．通过调整蔡氏电路的参数，学习用示波器观察倍周期分岔走向混沌的过程； 3．用示波器观察非线性电路的I-U 特性曲线。 [实验原理] 混沌产生的必要条件是系统具有非线性因素。图1是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路——蔡氏电路。电路中共有5个基本电路元件：4个线性元件L ，C1，C2，R0和一个非线性电阻R ，其中R 的伏安特性如图2。电路中电感L 和电容C2并联构成一个LC 振荡电路，可变电阻R 0和电容器C 1串联构成移相电路，将振荡器产生的正弦信号移相输出，非线性负阻元件R 和R0共同作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。由蔡氏电路图1可得到蔡氏电路的状态方程组为: ????? ???????=+??=????=2211211121)(1)()(10201C L L C C C C C C C C U dt di L i U U R dt dU C U U g U U R dt dU C (1) 式中: Uc1, Uc2 和iL 分别是电容C 1, C 2 两端的电压和流过电感L 的电流, g (Uc 1 ) 是描述非线性电阻R 的i - v 特性的折线(图2)多项式为

谈谈日常生活中的混沌现象

谈谈日常生活中的混沌现象 XX学院专业姓名摘要：本文通过具体科学，解释日常生活中的混沌现象，以及以及如何通过物理问题解决日常生活中的问题。关键字：物理，混沌现象，蝴蝶效应一、混沌现象的定义混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 “ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。二、混沌现象的相关例子混沌理论证明，在世界上发生的具有如下特征的事件均属混沌事件，即混沌现象。 1.蝴蝶效应现象蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性.初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。在政治、经济、军事、自然、社会等诸多领域均有蝴蝶效应发生，而且这种现象对世界具有极大的影响效果。金融炒家索洛斯引发的东亚金融危机，和白宫实习生莱温斯基引发的克林顿绯闻案，就是两个最典型的例证。（1）产生蝴蝶效应的内在机制所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统．非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述．正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为．目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化．

混沌现象研究

实验二十九混沌现象研究长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。【实验原理】 1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 C2 R0 R C1 L 图29-2 非线性元件伏安特性图29-1 非线性电路原理图 V（R）

连续时间混沌系统MATLAB程序和SIMULINK模型

第6章连续时间混沌系统本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法，主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。 6.1 混沌数值仿真和硬件实验方法简介混沌的数值仿真主要包括MA TLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法，从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件（FPGA）、数字信号处理器（DSP）等硬件实现方法来产生混沌信号。本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。 1）混沌系统的MA TLAB数值仿真该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MA TLAB程序。现举二例来说明这种编程方法。（1）已知Lorenz系统的状态方程为 dx/dt=-a(x-y) dy/dt=bx-xz-y dz/dt=-cz+xy 式中a=10,b=30,c=8/3。 MA TLAB仿真程序如下： >> %************************************************** Function dxdt=lorenz(t,x) %除符号dxdt外，还可用其他编程者习惯的有意义的符号 A=10; B=30; C=8/3; dxdt=zeros(3,1); dxdt(1)=-A*(x(1)-x(2)); dxdt(2)=B*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dxdt(3)=x(1)*x(2)-C*x(3); %************************************************* options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[ 1e-6 1e-6 1e-6]); t0=[0 200]; x0=[0.02,0.01,0.03]; [t,x]=ode45('lorenz',t0,x0,options); %************************************************** n=length(t) n1=round(n/2) %n1=1; %************************************************** figure(1); plot(t(n1:n,1),x(n1:n,1));

生活中的混沌现象

生活中的混沌现象环境设计郭书楠 20130313101022最近全国许多地方不是闹旱灾就是发大水，貌似老天爷有点变化无常了。不过话说回来，这位老天爷好像爱你个从来都是变化无常的。记得小学时候学过一篇课文叫《看云识天气》，学完后将信将疑的，回去试了一下，发现根据那些云来预测天气好多都不准。从此心中就有一个结——我们到底能不能知道明天到底是什么天气呢？在气象学出现之前人们只能根据经验来预测天气，但这种经验性的方法误差很大，往往不能精确预报。我想那时候的人们一定会像，要是能精确预报天气该多好啊！那时的人们大多靠天吃饭，而且天气与人们的声场生活密切相关。幸运的是现在我们有了计算机，有了卫星云图，精确预报明天甚至后天的天气情况是没多大问题的。更进一步，气象学家已经建立了大气环流模型。模型的思想是用网格划分全球，确定每个格点上某些气象数据（气压、温度、密度等）的值，然后在计算机上模拟这些数据的时间演化。初始数据（即某个时刻气象参数的值）由卫星、探空和地面观测搜集获得。然后计算机用这些数据、已知的山脉位置及其他许多资料，算出之后某个时刻的气象数值，当然这些预测面临着现实的检验。这么说只要知道初始值，我们就应该能够预测将来任意时刻的天气了，这是多么激动人心啊！但是结果让所有人失望了，大约

一周后计算机模拟的与实际的天气情况的误差已经大得不可接受了。问题到底出在哪呢？难道是计算机出错了？当然计算机是很忠诚的，它并没有出错。究其原因，是因为任何测量都会有误差，无论过去、现在、还是未来，误差都将于我们同在，只要有测量，就一定有误差，无论将来的测量技术有多发达，这都是一个真理，因为任何测量都是有一定精度的。明白了这个事实，那么我们对于初始值的测量就变得不是那么准确了，虽然可能只有十分微小的误差。或许有人会不服：“不就是一点微小的误差嘛！至于造成这么大的影响吗？”为了证明初始值的微笑误差会造成气象上的巨大变化，我们只需将初始值做十分微小的变动然后再输入计算机进行模拟就可以了。模拟结果不出所料，这么点小小的误差（就像一股小小的风）却造成了巨大的气象灾难。发现这种现象的美国科学家爱德华·洛伦茨形象地称之为“蝴蝶效应”。洛伦茨发现了“蝴蝶效应”之后并没有停留在这表面的现象上，若停留在可预料性被单纯的随机性战胜这一图像上，那他不过是带来了一条非常坏的消息而已。洛伦茨看到的不仅仅是随机性潜伏在他的气象模型中，他还看到一种精致的几何结构，这是一种伪装成随机性的规律性，这就是混沌！ “天气是不可长期准确预料”这一事实对于经典的决定论是绝对不能容忍的。按照牛顿力学，如果知道了一个系统初始时刻的状态我们就能知道它在其他任何时刻的状态。天体运动是牛顿力学的第一块试金石，根据牛顿力学预言的众多天文现象如海王星的位置一再证明

Matlab实现混沌系统的控制

基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。 1.混沌的基本概念 1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。 2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。 3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。 4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点0x , 若满足当 t →∞时, 轨迹0()x t x →, 则称0x 为不动点。 6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对s 邻域的几乎任意一点, 当t →∞时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统1()n n x f x += , 当n →∞时,若存在n i n x x ξ+== , 则称该系统有周期i 解ξ 。不动点可以看作是周期为1的解, 因为它满足1n n x x +=。 10. 初值敏感性：对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。敏感依赖性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。

用Matlab观察分岔与混沌现象

结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0:0.05:6 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end

蔡氏电路与混沌现象研究

蔡氏电路及混沌现象研究一、引言在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运动形式。蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路[1]。 1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua’s circuit)。它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N R，它的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。

考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：其中v c1，v c2和i L分别是C1，C2两端的电压以及流过￡的电流，g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)：其中，α1和α2是参数，K(·)是非线性函数，满足如下方程：

混沌现象的通俗解释

混沌现象的通俗解释非线性，俗称“蝴蝶效应”。什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。 1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷

数字分析 matlab程序

subplot(2,2,1) x=0.578;c=0.5; hold on; for k=1:60 x y=c*x*(1-x); y plot(x,y,'bd') title('研究一般迭代公式的复杂行为混沌现象') x=y; k=k+1 end subplot(2,2,2) x=0.578;c=1.5; hold on; for k=1:60 x y=c*x*(1-x); y plot(x,y,'g*') title('研究一般迭代公式的复杂行为混沌现象') x=y; k=k+1 end subplot(2,2,3) x=0.578;c=2.5; hold on; for k=1:60 x y=c*x*(1-x); y plot(x,y,'k+') title('研究一般迭代公式的复杂行为混沌现象') x=y; k=k+1 end subplot(2,2,4) x=0.578;c=4; hold on; for k=1:60 x y=c*x*(1-x); y plot(x,y,'ro')

title('研究一般迭代公式的复杂行为混沌现象') x=y; k=k+1 end x = 0.5780 y = 0.1220 k = 2 x = 0.1220 y = 0.0535 k = 3 x = 0.0535 y = 0.0253

k = 4 x = 0.0253 y = 0.0123 k = 5 x = 0.0123 y = 0.0061 k = 6 x = 0.0061 y = 0.0030

k = 7 x = 0.0030 y = 0.0015 k = 8 x = 0.0015 y = 7.5413e-004 k = 9 x = 7.5413e-004 y =

非线性电路中的混沌现象实验理解与思考_研究性实验报告

非线性电路中的混沌现象实验理解与思考摘要本实验共分为4部分第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本小组在做实验过程中的经验与总结。第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与讨论的结果。关键词：混沌与秩序；蝴蝶效应；非线性电路；实验思考一、实验原理表述与探讨非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。从数学上来说，非线性（non-linear），是指输出输入均不是正比例的情形。宇宙形成初的混沌状态即为非线性。自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系现象则是近年来新出现的一个科学名词。首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实. 混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象.对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定

义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面．本实验电路及原理如下：如图1 所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数．如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1 和C2的位相差，把C1 和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，会看到什么现象呢？

混沌现象

《混沌现象》讲稿（按讲授4学时准备）引言 §1 混沌现象由倍周期分岔通往混沌的道路一、混沌现象实例二、由倍周期分岔通往混沌的道路 §2 混沌现象的特性、本质及应用一、混沌现象的特性二、混沌现象的本质三、混沌现象的应用主要参考文献

混沌现象引言混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。再者，作以下的界定也是必要的。即我们所讲的混沌现象是比较广义的，即不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。对于以上论断及种种概念后面都要慢慢解释的。但为了方便学习，要先明确几点。随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。对线性和非线性得多说几句。线性和非线性的区分粗略地说就是看函数关系或方程的形式。如x y =就是线性的，2x y =就是非线性的。以下作个比喻来体会二者的区别。设x 为人数，y 为完成的作业量数日。对x y =，设11=x 有11=y ，设22=x 有22=y ；若又设321=+=x x x ，则有321=+=y y y ，即整体等于部分之和。而对2x y =则不然。设11=x 有11=y ，设22=x 有42=y ；若又设321=+=x x x ，则9=y ，此时521=+≠y y y 。即整体大于部分之和。可以这样理解：人与人之间相互作用，相互影响的存在是必然的，三个以上的人之间就会出现所谓的非线性交叉耦合作用。此外，对混沌的理解也和该词的原有语意“一片混乱”不同，从物理角度讲，混沌的内涵要丰富得多。长期以来，人们对牛顿力学对运动的描述具有确定性这一点深信不疑。因为用牛顿定律解题，结果总是确定的。所以，人们认为只要初始条件确定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来，初始条件的细微变化对运动不会产生本质的影响，而只能使运动状态产生微小的变化。也就是说，用牛顿力学描述的运动都是规则的，系统的行为都是确定的。但事情远非如此简单。早在100年前，法国著名数学家、物理学家庞加莱在研究三体(两颗行星、一颗卫星)问题时发现牛顿力学的确定论的确存在问题。卫星轨道是不确定的！毫无疑问，这是对牛顿力学确定论思想最初的质疑。其实庞加莱描述的就是所谓的混沌现象，庞加莱可谓混沌现象研究的先驱。庞加莱的确太超前了。直到本世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。如今，混沌现象的研究已经深入到自然科学乃至社会科学的方方面面，其重要性日显突出。为了使大家对混沌现象这一非线性物理学的核心内容有所认识，有所理解，我们本着讲叙要由浅入深，由现象到本质的宗旨准备作如下安排。首先比较系统地介绍一些混沌现象。在有了一些初步感觉和认识之后再着重讲述由倍周期分岔通往混沌的道路，进而集中展现混沌现象的特性和本质。最后还要认真地谈一谈混沌现象的应用。

用Matlab观察分岔与混沌现象

用M a t l a b观察分岔与混沌现象 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

M a t l a b 实验报告实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的 Feigenbaum 图算法设计： 1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在 [0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在[-3,3]。 2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。程序代码： clear;clf; hold on axis([0,3,-3,3]); grid for a=0::3 x=[]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像：结果分析：在λ取值在[0,]区间内时，y 的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。

进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0::6 x=[]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像：分析：由图像可见，随着λ取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。 2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环语句的应用。

混沌理论发展现状的综述

混沌理论发展现状的综述发表时间：2016-07-20T10:47:07.550Z 来源：《电力设备》2016年第8期作者：周士贻王涉叶汉霆[导读] 混沌现象是自然界的一个普遍现象，所以在工程实际中系统会不可避免的出现混沌现象而不能正常工作，这对生产生活造成了极大的影响。周士贻王涉叶汉霆（重庆大学 400044）摘要：混沌理论是非线性科学的重要理论，是20世纪的三大科学革命之一，自提出以来在各个领域得到了广泛的应用，具有极大的研究意义。本文基于前人研究工作的基础上，总结了国内对于混沌理论的研究现状，并提出了其发展方向。关键词： 1.前言混沌现象是自然界的一个普遍现象，所以在工程实际中系统会不可避免的出现混沌现象而不能正常工作，这对生产生活造成了极大的影响。我们希望系统能够稳定的工作，并且能很好的对系统进行控制，使它按照人们的要求去工作。总的来说，研究混沌，目的就是为了在工程中应用混沌、避开混沌。因此，按照这一原则，用工程手段来处理混沌问题或者利用混沌解决实际问题具有十分重要的现实意义。近代以来，我国对混沌现象不断地进行着探索与研究，本文将对我国混沌理论的发展情况进行综述。 2.国内研究现状我国物理学界对混沌现象的注意，始于1980年夏天在大连举行的第二届全国非平衡统计物理会议。我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出：“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词,正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。”他还指出：“越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击.这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。” 1983年，郝柏林院士在《物理学进展》1983年第3期上发表长篇论文“分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它”，这是在中国传播混沌学的最重要的文献之一。 1984年11月在桂林举行“非线性系统中不稳定性和随机性”学术讨论会时，80多位来自高等学校和科学院各所的与会者反映了我国各个学科工作者已经取得的一批研究成果，混沌现象的研究已经明确属于基础研究范围。科学院一批研究所进行了有关混沌的理论或实验研究课题。理论物理研究所在临界慢化、分频采样方法、一维映像的符号动力学和用符号动力学于常微分方程周期窗口排序，以及吸引子维数计算等方面有一批结果，并将混沌研究列为开放所的课题。物理研究所对光学双稳装置中的分岔和混沌，特别是两种以上延迟并存时的丰富现象作了深入研究。上海生物化学研究所生物物理室在人脑电波的维数分析和反映了神经胶质细胞作用的神经网络模型中，都运用了混沌概念。大气物理研究所在大气动力学方程中的混沌过程和数值模拟方面作了许多工作。力学研究所在新建立的“近代连续介质力学开放实验室”中，把混沌现象列为非线性和湍流研究的部分内容。同年，赫柏林院士编辑出版《混沌》一书在新加坡问世。 1986年，第一届中国混沌理论会议在桂林召开，促进了全国范围内混沌研究的广泛展开。同年，中国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网络，并证明了其中混沌的存在。 1988年，赫柏林院士在文献[1]中指出混沌现象本身不是研究的目的。“混沌”是普遍存在于自然界和数学模型中的一类客观现象，既有普适性质的种种表现，也必然在不同条件下具有特殊性。重要的是用混沌研究中形成的新概念武装起来，更深入地研究各个学科领域中具体的非线性模型和演化过程，并从而丰富混沌动力学的内容，而不能仅仅满足于又多了几个大同小异的混沌实例。 1989年，中国科学家卢侃、林雅谷、卢火等把混沌科学研究进入到实际于气功研究，使人们客观的用脑电图检查人的行为史成为可能。 2001年，华南理工大学张波教授提出在交流电机传动系统中存在混沌现象，从而为研究电机传动系统的不规则运动提供了一个重要的启示。 2002年，吕金虎等提出了统一混沌系统，该系统连接了Lorenz系统和Chen系统。 2005年，李冬辉、贾巍教授提出了用混沌理论检测直流供电系统节点故障。 2009年，邹国堂、王政、程明等教授出版了《混沌电机驱动及其应用》一书，标志着电机的混沌理论初步形成。目前，关于混沌学的理论研究工作已到了缓慢发展的阶段，尽管有关混沌的检测方法、控制方法、混沌信号的统计特性分析及混沌信号的识别与分离等研究成果依然不断出现，但仅限于低维低阶的动力学系统，而对高维高阶系统的混沌理论研究与分析目前还处于探索阶段，一些通用的、规律性的研究工作还在进行之中。[2] 现有的研究成果多限于时间混沌控制，其它混沌的类型，如空间混沌、时空混沌及超混沌等应用研究仍是前沿课题，这些混沌系统的理论和方法有待进一步探索。混沌理论的研究与实际应用之间仍有一定的差距，混沌理论的发展还有广阔的空间。如何将理论成果应用到具体的生产实践，把实验研究成果转向应用研究，发现并研究工程中出现的混沌并实时处理，消除实际系统中混沌不利的一面，还有大量的工作要做。现阶段，混沌研究的发展前景主要包含三个方面： (1)混沌产生的道路。从周期性运动通向混沌的道路是多种多样的，除了目前人们已经发现的基本道路外，还存在着未知的道路，有待进一步的研究。 (2)判断混沌的方法。判断混沌的方法是多种多样的，目前主要有：数值分析法，庞加莱映射法，李雅普诺夫指数法等等。现阶段，具体应用哪种方法还没有统一的结论，运用不同方法得到的结论也存在一定的差距，有待于进一步研究。 (3)混沌的控制和利用。现阶段的研究主要应用于少量变量的混沌系统，高自由度的系统不易于控制，然而在高维甚至无穷维系统情况下其混沌吸引子可能是低维的。所以低维混沌系统的控制问题仍然是主要研究方向。此外，还应把混沌从低维系统的研究推向高维系统，从一般系统的研究推向复杂的工程实际系统，从对低余维分叉的研究推向高余维退化分叉，进一步探索物理机制从而发现更新更好的方法，向机理研究、分类和构造理论等方向发展。