角的概念的推广

§2.角的概念的推广

预习案

学习目标：

1，了解正角，负角，零角及象限角的概念 2，会表示终边相同的角学习重点

角的概念的推广学习难点

会判断角的象限知识链接

1，初中角的概念是什么？

2，已学过怎样的角？自主学习

1 叫作正角

2 叫作负角

3 叫作零角

4对角的概念推广后角包括

5 是第几象限角

6所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以组成集

合即任何一个角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和 7象限角的范围

(1)第一象限角

(2)第二象限角

(3)第三象限角

(4)第四象限角基础自测

判断下列各角是第几象限角

（1）-65︒

(2)︒565 （3）-15950︒

2，时针走过了1小时40分，则分针转过的角度是多少？

3与︒150终边相同的角是（）

A ︒-570

B ︒-150

C ︒690

D ︒990

探究案

例1写出下列关于角的集合(用描述法) 锐角α

（2）︒0到︒90的角α

（3）第一象限角α

（4）小于︒90的角α 变式

已知α是第一象限角，试确定2α

，2α终边的位置？

方法指导：（表示第一象限角范围，同时除以2，判断k 奇数，偶数，可得2α

）

变式

已知α是第二象限角，试确定2α

，α-︒180终边的位置？

训练案

1与︒-135终边相同的角的表示

2若︒+︒=45180k α，k ∈Z ，则α是第（） A 一或三 B 一或二 C 二或四 D 三或四

3判断下列各角是第几象限角

（1）-135︒

(2)︒554 （3）-︒465

高中数学角的概念的推广

角的概念的推广教学目标： 1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。【探究新知】如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是

角的概念的推广

角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。除了大小外，角还具有其他一些重要性质。首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。二、角的推广应用 1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。 2. 物理学中的角

角的概念在物理学中也有着广泛的应用。例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。 3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。 4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。这些信息对于导航和地图制作非常关键。 5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。通过角的计算，可以确定三维物体之间的相对位置和旋转状态，进而实现真实感的渲染和动画效果。三、结语角是几何学中的重要概念，它在日常生活和各个学科的应用十分广泛。角的定义和性质帮助我们更好地理解和描述物体之间的关系。而

角的概念推广

角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．任务分析这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．教学设计一．问题情境［演示］ 1. 观览车的运动． 2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动［问题］ 1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？ 2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？ 3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？ 4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．二、建立模型 1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角． 2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 3. 终边相同的角在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即390°＝30°＋360°，（k＝1）；－330°＝30°－360°，（k＝－1）．设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k ＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过

角的概念推广优秀教案课程

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

过程行为行为意图间生理解角的推广的意义 *动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）类型经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．说明仔细分析讲解关键点引导强调引思考理解记忆明确领会观察理解结合图形讲解角的图形可以加入学生 30

中职教育数学《角的概念推广》教案

中职教育数学《角的概念推广》教案一、教案背景角是初中数学中的重要知识点，是理解几何图形的基础。然而，学生在初中阶段对角的理解多停留在基本概念上，对于角的推广应用能力不足。本教案旨在通过设计一系列的教学活动，帮助学生深入理解角的概念，并能够将角的概念推广应用于实际问题解决中。二、教学目标 1. 理解角的概念及其性质； 2. 掌握角的度量方法，并能够正确使用度计量角； 3. 掌握角的推广应用，能够灵活运用角的概念解决实际问题。三、教学内容与重点 1. 角的概念与性质： a. 角的定义及其元素：顶点、始边、终边； b. 角的分类：锐角、直角、钝角、平角； c. 角的性质：对顶角相等、补角和为直角、邻角互补； d. 角的度量：度、弧度制及转化。 2. 角的度量方法与工具： a. 度的定义及度量方法；

b. 度量角的工具：度规、直尺、三角板； c. 度与弧度的转换关系。 3. 角的推广应用： a. 角的旋转：角的终边和始边不变，角度变化； b. 角的平分线：通过构造角的平分线，推导出角度相等的性质； c. 三角形内角和：利用角的概念解决三角形内角和的问题。四、教学方法与手段 1. 情境式教学法：通过构建生活实际和实用化情境，引导学生主动参与学习，加深对角概念的理解。 2. 合作学习: 通过小组合作、互动探究的方式，培养学生的思维能力，提高解决问题的能力。 3. 多媒体教学手段: 结合计算机辅助教学软件，呈现图形和角度变化演示，增加教学内容的可视性与直观性。五、教学步骤 1. 角的概念与性质的引入： a. 引导学生观察身边事物中的角，并描述其特征； b. 介绍角的概念及其元素； c. 呈现不同类型的角，并引导学生进行分类讨论；

角的概念及推广

1.1.1角的概念的推广一、复习：角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的组成的叫做角，这个公共顶点叫做角的，这两条射线叫做角的。 (2)角可以看成是一条射线绕着它的从一个位置旋转到另一个位置所成的。二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和方向，习惯上规定：按照方向旋转而成的角为正角；按照方向旋转而成的角为负角，当射线没有时为零角。注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的和旋转的，旋转生成的角，又常叫做角。（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。 2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S ＝。终边相同的角有个，相等的角终边一定，但终边相同的角不一定。 3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做，如果终边在坐标轴上，就认为这个角属于任何象限。三、典型例题： 1。自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。自学5P 例3完成下面填空：终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为终边落在x 轴上角的集合表示为终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为终边落在坐标轴上角的集合表示为 .第一象限角的集合表示为

第二象限角的集合表示为第三象限角的集合表示为第四象限角的集合表示为 3。补充例题：例5。已知α是第一象限的角，判断2 α 、α2分别是第几象限角？练习：7P 练习B2、3、5 4。小结： 5。作业： 1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（） A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.下列命题中正确的是（） A.终边相同的角都相等 B.第一象限的角比第二象限的角小 C.第一象限角都是锐角 D.锐角都是第一象限角 3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（） A.150° B.－150° C.390° D.－390° 4.如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（） A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角 5.与405°角终边相同的角（） A. k ·360°－45° k ∈z B. k ·360°－405° k ∈z C. k ·360°+45° k ∈z D. k ·180°+45° k ∈z 6.（2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则2 α 所在象限是（） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 7.把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使θ最小的θ值是 8.（2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y 则α的集合S ＝ . 9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么β∈ °

中职教育数学《角的概念推广》教案

中职教育数学《角的概念推广》教案一、引言在初中阶段，学生已经学习了角的基本概念，并能够准确地度量和描述角的大小。本节课旨在通过一系列的实例和练习，让学生进一步探索角的概念，并学会将其应用于实际问题中。二、教学目标 1. 了解角的概念和基本术语。 2. 掌握角的度量方法和计算技巧。 3. 能够分析和解决与角相关的实际问题。三、教学内容与步骤步骤一：复习角的基本概念（15分钟） 1. 复习角的定义：由两条射线共同端点所组成的图形。 2. 复习角的基本术语：顶点、边、内角、外角等。 3. 指导学生用自己的话解释角的概念，并举例说明。步骤二：角的度量与计算（30分钟） 1. 角的度量单位：度和弧度。介绍度和弧度的概念及相互转换的方法。 2. 指导学生通过测量器具准确地度量角的大小，并用度数表示。

3. 引导学生通过一些简单的计算题和练习，巩固度量角的方法和计算技巧。步骤三：角的分类与特性（30分钟） 1. 介绍角的分类：锐角、钝角、直角、平角等。 2. 指导学生根据角的度数范围进行分类，并解释每种角的特点。 3. 引导学生观察图片和实例，鉴别角的分类并描述其特征。步骤四：角的应用（30分钟） 1. 引导学生思考角的应用场景，如建筑设计、工程测量、地理导航等。 2. 指导学生分析和解决与角相关的实际问题，如计算建筑物倾斜角度、估算太阳升起的时间等。 3. 给学生一些角应用的练习题，培养他们的角度思维和解决问题的能力。四、课堂小结与作业布置 1. 复习本堂课所学的角的概念、度量和分类。 2. 布置作业：要求学生设计一个与角度相关的实际问题，并用所学知识解答。 3. 强调学生合作学习的重要性，并鼓励他们积极参与课堂讨论。五、教学反思

角的概念的推广

角的概念的推广 1. 引言角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。 2. 角的定义角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。 3. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类： 3.1 零角（Zero Degree Angle）零角是指两条重合的射线所形成的角。零角的度数为0度或0弧度。 3.2 直角（Right Angle）直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。直角的度数为90度或π/2弧度。 3.3 锐角（Acute Angle）锐角是指小于90度的角。锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。 3.4 钝角（Obtuse Angle）钝角是指大于90度、小于180度的角。钝角的度数大于90度，弧度大于 π/2。 3.5 正角（Oblique Angle）正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。

4. 角的应用角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用： 4.1 几何学在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。 4.2 物理学在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。 4.3 工程学角的概念在工程学中也具有重要意义。例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。 5. 结论角的概念是几何学中的基础概念，也是各个学科中的重要组成部分。通过推广角的概念，我们可以深入了解和应用角的相关知识。掌握角的定义、分类以及应用，将对我们的学习和工作带来重要帮助。同时，发展和应用角的概念，也有助于推动几何学和相关学科的进一步发展和创新。

角的概念的推广

角的概念的推广引言：在数学中，角是一个基本的概念，它的定义和应用在几何学、三角函数等领域中都至关重要。随着科学技术的不断发展，角的概念得到了广泛的应用和推广。本文将介绍角的概念及其在不同领域中的应用。角的定义：角是由两条射线组成的几何图形，这两条射线共同的一点称为角的顶点。角可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角等类型，其中锐角小于直角，钝角大于直角而小于平角，平角的度数为180度，周角的度数为360度。角的分类：根据角的度数和性质，我们可以将角分为以下几类： 1、锐角：小于90度的角称为锐角。 2、直角：等于90度的角称为直角。 3、钝角：大于90度但小于180度的角称为钝角。 4、平角：等于180度的角称为平角。 5、周角：等于360度的角称为周角。

除了以上几种常见的角，还有不等角和不等边角等更为复杂的角类型。角的应用：角的概念在各个领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍几个具体的应用场景： 1、几何学：在几何学中，角是研究平面和立体图形的基本工具。通过对角的定义和性质的研究，我们可以推导出许多重要的几何定理，例如三角形内角和定理、勾股定理等。 2、三角函数：在三角函数中，角的定义和性质是基础。通过对角的研究，我们可以推导出正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，进而在解三角形、进行振动分析等方面得到应用。 3、物理学：在物理学中，角的概念也是基本且重要的。例如在运动学中，速度、加速度等物理量都可以通过角的变换来表达。此外，在电磁学中，交流电的相位、电磁波的偏振等也都涉及到角的概念。4、工程学：在工程学中，角的概念被广泛应用于机械、建筑、航空等领域。例如在机械设计中，通过角的调整可以实现机构的精确控制；在建筑设计中，通过角度的调整可以创造出不同的建筑风格和空间效果。 5、计算机科学：在计算机科学中，角的计算和处理也是非常常见的。例如在计算机图形学中，通过角的计算可以实现图形的旋转、缩放等

角的概念的推广

4.1 角的概念的推广【知识归纳】一、轴线角〔终边落在坐标轴上的角〕： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=⋅∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=⋅+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=⋅+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=⋅-∈或{}00|360270,k k Z αα=⋅+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=⋅∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=⋅+∈〔注意区别〕所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=⋅∈。二、象限角：第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈；第二象限角：{}0000|36090360180,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈；第三象限角：{}0000|360180360270,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈；第四象限角：{}0000|360270360360,k k k Z αα⋅+<<⋅+∈或 {}000|36090360,k k k Z αα⋅-<<⋅∈ 三、α、β关系： β终边与α终边一样：0360k βα=+⋅ 〔k Z ∈〕； β终边与α终边互为反向延长线：00(180360)k βα=++⋅〔k Z ∈〕 β终边与α终边在同一直线上：0180k βα=+⋅〔k Z ∈〕； β终边与α终边互相垂直：()0090180k βα=++⋅〔k Z ∈〕。四、半角2α与α的关系：第一象限角的半角：000|18045180,22k k k Z αα⎧⎫⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭ ；第二象限角的半角0000|4518090180,22k k k Z αα⎧⎫+⋅<<+⋅∈⎨⎬⎩⎭ ；

角的概念的推广高一知识点

角的概念的推广高一知识点角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它在高一阶段具有重要的地位。本文将对角的概念进行推广，探讨其在不同领域的应用，并结合例子进行解释。首先，我们来回顾一下角的基本定义。在几何学中，角是由两条射线公共端点而形成的图形部分。通常，我们以大写字母来表示一个角，如∠ABC，其中A和C是两条射线共有的端点，B是这两条射线之间的点。角的度量通常使用度（°）作为单位。一个完整的角度是360°，这意味着角度的度量在360°之内。此外，一个直角角度是90°，一个钝角是大于90°但小于180°的角，一个锐角是小于90°的角。因此，角的度量不仅可以用来描述角的大小，还可以用来分类角。在实际生活中，角的概念广泛应用于不同的领域。其中一个示例是建筑设计。建筑师在设计房屋时需要考虑建筑物之间的角度关系，以达到美观和结构稳定的目的。例如，在两个相邻房屋之间形成的夹角可能会影响采光和通风。因此，建筑师会根据角的度量和分类来进行合理的布局和设计。

另一个领域是自然科学，尤其是物理学。角的概念与物体的运动和力学有关。例如，在机械学中，轴承的角度对于机器的运转非常重要。若角度超出了工作范围，机器可能会发生故障。此外，在热学中，角的度量被用来描述物体受热时的变化。了解角的度量有助于预测物体的热膨胀和冷缩，从而在工程设计中起到重要的作用。除了在实际领域中的应用，角的概念还在数学中起着重要的作用。角度的概念是几何学的基础，也是其他几何概念的重要组成部分。例如，三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和三角形的关系。正弦、余弦和正切等三角函数都是通过角的度量来定义的，它们在数学和物理中有广泛的应用。此外，角的概念也在计算机科学中扮演着重要的角色。计算机图形学、计算机视觉等领域都需要通过角来计算和描述物体的位置、姿态和运动。例如，计算机游戏中的三维模型运动，物体的旋转等都涉及到角的概念。综上所述，角是几何学中的一个重要概念，具有广泛的应用。从建筑设计到物理学、数学以及计算机科学，角的概念在不同的

角的概念推广

角的概念推广 4.1角的概念推广（第二课时）教学目的： 1.巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 2.掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 3.体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；教学过程：一、复习引入：角的概念的推广：“旋转”形成角，“正角”与“负角”“0 角”；“象限角”；终边相同的角. 二、讲解新课：例1. （1）若角a的终边经过点.试求角a ；（2）若角B的终边所在直线经过点•试求角B . 分析：（1） a为与.求得a等于（2） B为与.求得B等于例2.已知a是第二象限的角，判断所在的象限. 分析：由• 法（1）按k=3n,k=3n+1,k=3n+2 （以上n均为整数）讨论. 法（2）把答案：是第一、二、四象限的角. 探索：若a分别在第一、二、三、四象限，分别在第几象限？例3.时钟1小时，时针，分针分别转多少度？把时钟拔慢5分钟, 时针，分针分别转多少度？三、课堂练习： 1.若a是第四象限角，贝卩180°—a是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

3.若a与B的终边互为反向延长线，则有() A. a=B + 180° B. a=B —180° C. a=—p D. a=B +( 2k + 1) 180°,k€Z 3.终边在第一或第三象限角的集合是. 4.角a = 45°+k ? 90°的终边在第象限. 四、作业：《精析精练》P4智能达标训练

四种象限角,角概念的推广

四种象限角第一象限角 1.定义：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第一象限的角，称为第一象限角。 2.表示：集合表示：{x|2kπ

3.性质：第三象限角的正弦值为负数，余弦值为负数，正切值为正数。第四象限角 1.定义：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第四象限的角，称为第四象限角。 2.表示：集合表示:{x|-90°+2kπ≤x≤2kπ，k∈Z}或{x|-90°+k·360°≤x≤k·360°，k∈Z}区间表示:(-90°+2kπ，2kπ)(k∈Z)或(-90°+k·360°，k·360°)(k∈Z) 3.性质：第四象限角的正弦值为负数，余弦值为正数，正切值为负数

角的概念的推广弧度制

角的概念的推广弧度制题型一：角的概念的推广【知识】 1．角的旋转定义：． 2．角的大小扩大：正角：；负角：；零角：． 3．研究角的工具：平面直角坐标系．单独的一个角，由其终边位置，分为象限角、轴线角两类： 4．象限角、轴线角：〔1〕象限角：第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角；如－330°、135°、-120°、-30°角，分别是第一、二、三、四象限的角．〔2〕轴线角：终边落在坐标轴上．如－90°、180°、90°、360°角，都是轴线角；【稳固与应用】例1 概念辨析：〔1〕锐角；第一象限角；0°～90°的角；小于90°的角．〔2〕钝角；第二象限角；90°～180°的角；小于180°的角．题型二：终边一样角集合定理及其应用【知识】 1．研究多个角时，主要从它们的终边位置关系入手，分终边一样的角、终边对称的角两类．2．终边一样的角集合定理：所有与角α终边一样的角β，连同角α在，构成的集合S＝．推论1：第Ⅰ象限角集合：；第Ⅱ象限角集合：；第Ⅲ象限角集合：；第Ⅳ象限角集合：；推论2：终边在x轴非负半轴上的角集合：；终边在x轴非正半轴上的角集合：； -终边在x轴上的角集合：；终边在y轴非负半轴上的角集合：；终边在y轴非正半轴上的角集合：；终边在y轴上的角集合：． 3．终边对称的角的结论：如果角α、β终边关于x轴对称，那么α、β的关系为：；如果角α、β终边关于y轴对称，那么α、β的关系为：；角α、β终边关于原点对称〔共线〕，那么α、β的关系为：．【稳固与应用】例1当α分别为一、二、三、四象限的角时，探究二倍角2α、半角2 α的终边分布规律．

结果：例2写出与以下个角终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式360720 β -︒≤<︒的元素写出来：〔1〕60°14′；〔2〕-21°；〔3〕363°14′． 1．假设18045 =⋅+，Z αk k∈，那么角α所在象限为 A A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限 2．假设φ是第二象限角，那么2 -都不是 φ和2 πφ A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角 3．〔1〕α分别为三象限的角，那么2 α所在的象限为 D A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限〔2〕假设角θ的终边与67 π的终边一样，那么在[0,2)π终边与3 θ角的一样的是．27 π π20π3421 题型三：弧度制及其结论的应用【知识】 1．度量角的体制有两种，一个是角度制，另一个是弧度制．弧度制是另一种度量角的单位制．单位，符号：． 2．1弧度角的规定：． 3．圆中重要的比例关系：同圆或等圆中，两个圆心角之比等于它们各自所对的弧长之比．【稳固与应用—弧度公式、根本换算关系及弧长扇形面积公式】例1 推导弧度公式：l α =． r 证明：设圆心角α弧度数绝对值为||α，所对弧长l，圆半径r．∵1rad的圆心角所对弧长为，∴||α弧度的圆心角所对弧长为，又||α弧度的圆心角所对弧长为l，∴l=，于是有||α=．即||α=．注：角的概念推广后，弧度的概念也随之推广，即：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；例2 推导角度与弧度互换的根本关系、特殊角的弧度与角度互换关系．提示：〔1〕角度换算成弧度的根本关系为：

角的概念推广优秀教案

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内及已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参及数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

过程行为行为意图间就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0° 到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成及上述方向的角．归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．说明总结讨论交流理解生活实例有助于学生理解角的推广的意义 10 *动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）类型经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．表示除了使用角的顶点及边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点及坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．说明仔细分析讲解关键点引导强调引导思考理解记忆明确领会结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的类型完成角的推广象限角可以引导学生一步步

角的概念的推广教案

4.1 角的概念的推广教学目标 1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角； 2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合； 3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念； 4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．教学建议 1．关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。再由特殊到一般进行归纳总结. 2．关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间． 3．关于角的概念的推广的教法建议