【好题】高三数学下期末试卷(附答案)(2)

【好题】高三数学下期末试卷(附答案)(2)

一、选择题

1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24

B ．16

C ．8

D ．12

2．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43

π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

A ．

23

B ．43

C ．32

D ．3

3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）

A ．3+3i

B ．-1+3i

C ．3+i

D ．-1+i 4．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．已知向量(

)

3,1a =r

，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=r r ，则b =r

（ ）

A ．31,2?? ? ???

B ．13,2?? ? ???

C ．133,4??

? ???

D ．()1,0

6．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺

序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

7．已知,a b ∈R ，函数32

,0

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<

D ．1,0a b >->

8．函数()()2

ln 1f x x x

=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

9．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B

B ．B 与C

C ．A 与D

D ．C 与D

10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．

54

钱 B ．

43

钱 C ．

32

钱 D ．

53

钱 11．已知P 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>上一点，12F F ，

为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．43

y x =±

B ．34y x =?

C ．3

5y x =± D ．53

y x =±

12．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集

合为（ ）

A ．{3}

B ．{7}

C ．{3,7}

D ．{1,3,5}

二、填空题

13．已知函数2

1,1()()1

a x x f x x a x ?-+≤=?->?，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．

14．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中

点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15．若函数3

211()23

2f x x x ax =-++ 在2,3??

+∞????

上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.

16．已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则32

3x y z ++的最小值为

_________．

17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则

ABC V 的面积为______．

18．已知点()0,1A ，抛物线()2

:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交

于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值

为__________．

19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则

b

a

的取值范围是__________． 20．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB ?=u u u r u u u r

，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设

OC mOA nOB

=+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m

n =__________． 三、解答题

21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；

(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.

22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，

BA BP =.

（1）求证：PA BD ⊥；

（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.

23．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2

2

34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为

1．

（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程． （2）当60ABC ∠=?时，求菱形ABCD 面积的最大值．

24．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）

，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）

在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.

25．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，

DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．

(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．

26．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极

坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ?

?

=-= ??

?

. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）

112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

()33{,,.1

2

x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。 【详解】

根据题意，可分三步进行分析：

（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2

22A =种情

况；

（2）将这个整体与英语全排列，有2

22A =中顺序，排好后，有3个空位；

（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224?=种， 所以不同的排课方法的种数是22416??=种，故选B 。 【点睛】

本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

2．C

解析：C 【解析】

函数sin 23y x πω??

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ???????

??

所以有4333

2013222

w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C

3．C

解析：C 【解析】

因为2

(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.

4．D

解析：D 【解析】

试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4

y x =-=，故所给的复数的模该为5，故

选D.

考点：复数相等，复数的模.

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

设()(),0b x y y =≠r

，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可

得出向量b r

的坐标.

【详解】

设(),b x y =r ，其中0y ≠

，则a y b ?=+=r r

由题意得2210x y y y ?+=+=≠??

，解得12x y ?=??

??=

??

1,22b ?= ??r . 故选：B. 【点睛】

本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.

6．C

解析：C

【解析】 【分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】

由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，

当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】

本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】

当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=

-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，

当10a +?，即1a -?时，0y '…

，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，

1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：

∴01

b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

0(116

,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】

由题得()2

1ln 2=ln 2201

f =-

-<， ()2

2ln3=ln3102

f =-->，

所以(1)(2)0,f f <

所以函数()()2

ln 1f x x x

=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】

本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

9．C

解析：C 【解析】

分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.

详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；

在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；

在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；

在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.

点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.

10．B

解析：B 【解析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则

22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又

225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4

42263

3a a d a a ??-=-?-== ???,故

选B.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4

3

b a =，问题得解． 【详解】

依据题意作出图象，如下：

则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥,

所以2MF b =

=

由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF

c a =+， 所以()()()()

222

22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==??+

整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4

3

b a =， 所以C 的渐近线方程为43

b y x x a =±=± 故选A 【点睛】

本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出A B ?，阴影区域表示的集合为()U A B ?e，由此能求出结果． 【详解】

Q 全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =，

{1,A B ∴?=3，5}，

∴如图所示阴影区域表示的集合为：

(){}7U A B ?=e．

故选B ． 【点睛】

本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．

二、填空题

13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实

解析：(]2,3

【解析】 【分析】

由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】

由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，

当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，

解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤??

-≤??-≠-?

，解得13a

当1x >时，由2

()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11

11

a a ->??+>?，解得2a >，

综上可得：实数a 的取值范围为(]

2,3. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

14．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立

【解析】 【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】

方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22

(2)16x y -+=，

联立方程22195

x y +=

可解得321

,22

x x =-

=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，

求得

315

,

2

P

??

-

?

?

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2

OF|=|OM|=c=，

由中位线定理可得

1

2||4

PF OM

==，即

3

4

2

p p

a ex x

-=?=-

求得

315

2

P

?

-

??

，所以

15

215

1

2

PF

k==

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性

解析：

1

(,)

9

-+∞

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：

2

2

11

()22

24

f x x x a x a

??

=-++=--++

?

??

'．当

2

3

x

??

∈+∞?

???

，时，()

f x

'的最大值为

22

2

39

f a

??

=+

?

??

'，令2

20

9

a+>，解得

1

9

a>-，所以a的取值范围是

1

,

9

??

-+∞

?

??

．

考点：利用导数判断函数的单调性．

16．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：

374

【解析】 【分析】

利用已知条件目标可转化为2

323

453324x y z x x y ?++=-+-+ ??，构造

()33f x x x =-，()2

45

24g y y ??=-+ ? ??

?，分别求最小值即可. 【详解】

解：32

3x y z ++= ()

3236x y x ++-- 2

345324x x y ?=-+-+ ?

?

令()3

3f x x x =-，()2

4524g y y ?=-+ ??

， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，

所以，()()min 12f x f ==-

当y =

()g y 有最小值：()min 454g y =

所以，3

2

3x y z ++的最小值为4537244

-+

= 故答案为

37

4

【点睛】

本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.

17．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定

【解析】 【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】

2b =Q ，3c =，2C B =，

∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23

sin sin B C

=，可得：

233sin sin22sin cos B B B B

==，

∴可得：3cos 4B =

，可得：sin 4

B ==，

∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21

cos cos22cos 18C B B ==-=，

()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=

，

11sin 2322S bc A ∴=

=??=

．

故答案为：16

． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

18．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准

【解析】

依题意可得焦点F 的坐标为04a

?? ???

，

， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =

13FM MN =Q ∶∶

KN KM ∴=∶

又

014

04

FN K a a --=

=-，

FN KN K KM

==-

4

a

-∴

=-

a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知

MF MK =

，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，

进而求解实数a 的值

19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以

解析：

【解析】 【分析】 【详解】

因为ABC ?为锐角三角形，所以022

02B A A B πππ?

<=

3A A πππ?<

??，

所以(

,)64A ππ

∈，所以sin 2cos sin b B A a A

==

，所以b

a ∈. 20．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则

解析：3 【解析】

因为30AOC ∠=o

，所以cos cos30OC OA AOC OC OA

?∠===?o

u u u r u u u r

u u u r u u u r

，从而有

2=u u u r u u u r u u u r

．因为1,0OA OB OA OB ==?=u u u r u u u r u u u r u u u r

=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则

3m

n

= 三、解答题

21．(1) ()f x 在10,a ?? ???单调递增，在1,a ??+∞ ???

单调递减. （2）()0,1. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由()1

f x a x

'=

-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ??

=-+-

???

因此122ln 10f a a a a ??

>-?+-< ???

.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.

试题解析：

（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1

f x a x

'=

-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ??

∈ ???时()0f x '>,当1,x a ??∈+∞ ???时()0f x '<,所以()f x 在10,a ?? ???单调递增,在1,a ??

+∞ ???

单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1

x a

=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ??????

=+-=-+-

? ? ???????

因此122ln 10f a a a a ??

>-?+-< ???

.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是

()0,1.

考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22．(1)见解析；(2)

sin α= 【解析】

试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以

,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC

的法向量

(1n =u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v

=，1212

12?1cos ,7

n n n n n n ==u v u u v

u v u u v u v u u v ，

即4

3

sin 7

α=

. 试题解析：

（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =

∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ?= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ?面DMB ，∴PA BD ⊥

（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=

∴DAP ?是等腰三角形，ABP ?是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，

3BM =.

∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥

以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()

3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D

从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()3,0DC AB ==u u u v u u u u u v ，()

1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v

设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v

则11?0?0n DP n DC ?=??=??u v u u u v

u v u u u v ，即111

10

30x z x -=???+=??，∴(13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v

，

由22?0?0n BC n BP ?=??=??u u v u u u v

u u v u u u v ，得22220

30

x z x +=???-=??，∴23,1,3n =-u u v ∴121212?1

cos ,7

n n n n n n ==u v u u v

u v u u v u

v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,7

n n α=-=u v u u v

点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向

量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

23．（1）20x y ++=（2）【解析】 【分析】 【详解】

Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．

由2234{x y y x n

+==-+，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，

所以212640n ?=-+>，解得n <<

． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232n x x +=，21234

4

n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．

所以122

n y y +=

． 所以AC 的中点坐标为344n n ??

??

?，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ??

???

，在直线1y x =+上，

所以

3144

n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==．

所以菱形ABCD 的面积2

S AC =

．

由（Ⅰ）可得2

22

3162

-+==n AC ，

所以2

316)S n n ?=-+<< ??

，

故当0n =时，有max 164

=

?=S 24．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.

【解析】 【分析】

(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】

(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=??

++=?,得0

2

x y =??=-?,

∴点A 的坐标为(0，－2)，

∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，

∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=

∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2

＋y 2

＝8． 【点睛】

本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 25．（1）见解析；（2）1

3

【解析】 【分析】

（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得

MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结

合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】

（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，

∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ?=，

MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；

（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，

11

1122MEF BEF S S V V ∴==??=，

由（1）知，1111

23323

M DEF MEF V S MD -=?=??=V ．

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题． 26．（I ）(4,),(22,)24

π

π

（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】

（I ）圆1C 的直角坐标方程为22

(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=

联立得22(2)4

{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==22

2{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,2,)24

ππ

（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为

20x y -+=

由参数方程可得122

b ab y x =

-+，所以1,12,1,222b ab

a b =-+==-=解得