初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)

初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）

一、选择题：

1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．有两个实数根

3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2

4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0

二、填空题

5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．

6．若x

1,x

2

分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x

1

+x

2

=______．

7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．

9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．

10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．

11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．

12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．

13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．

14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡

2=42﹣4×2=8．若x

1,x

2

是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x

1

﹡x

2

=______．

三、解答题（共4小题,满分0分）

15．用公式法解方程：

①4x2﹣4x+1=0

②x2﹣x﹣3=0．

16．不解方程,判断下列方程的根的情况：

①2x2+3x﹣4=0

②3x2+2=2x

③x2=x﹣1．

17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．

18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．

《公式法》

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,

∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,

∴原方程有两个不相等的实数根．

故选A．

2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．有两个实数根

【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,

∴没有实数根,

故选：C．

3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2

【解答】解；（x+1）2﹣m=0,

（x+1）2=m,

∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,

∴m≥0,

故选：B．

4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）

A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,

解得k＜且k≠0．

故选C．

二、填空题

5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x

1=﹣1+,x

2

=﹣1

﹣．

【解答】解：移项得, x+x﹣3=0

∴a=,b=1,c=﹣3

∴b2﹣4ac=7

∴x

1=﹣1+,x

2

=﹣1﹣．

6．若x

1,x

2

分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x

1

+x

2

= 3 ．

【解答】解：根据题意得x

1+x

2

=3．

故答案为3．

7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．

【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,

∴x

1+x

2

=5,x

1

x

2

=6

∵（x

1﹣x

2

）2=（x

1

+x

2

）2﹣4x

1

x

2

=25﹣24=1

∴x

1﹣x

2

=1,

又∵x

1﹣x

2

＜c＜x

1

+x

2

,

∴1＜c＜5．

故答案为：1＜c＜5．

8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．

【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）?（﹣1）＞0,

解得k＞﹣2且k≠﹣1．

故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．

9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．

【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,

∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,

∴方程为x2+x﹣1=0．

10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．

【解答】解：∵△=12﹣4×=0,

∴方程有两个相等的实数根

故答案为方程有两个相等的实数根．

11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,

当a≠0时,方程是一元二次方程,

若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,

则△=[2（a+2）]2﹣4a?a≥0,

解得：a≥﹣1．

故答案为：a≥﹣1．

12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．

【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,

这里的：x2﹣2x﹣9=0,

这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,

∵△=4+36=40,

故答案为：1±

13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．

【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,

也就是这个一元二次方程无实数根,

那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,

没有实数根,那么16﹣4k＜0,

解此不等式可得k＞4．

故答案为：k＞4．

14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡

2=42﹣4×2=8．若x

1,x

2

是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x

1

﹡x

2

= 3或﹣3 ．

【解答】解：∵x

1,x

2

是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,

∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,

①当x

1=3,x

2

=2时,x

1

﹡x

2

=32﹣3×2=3；

②当x

1=2,x

2

=3时,x

1

﹡x

2

=3×2﹣32=﹣3．

故答案为：3或﹣3．

三、解答题（共4小题,满分0分）

15．用公式法解方程：

①4x2﹣4x+1=0

②x2﹣x﹣3=0．

【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,

（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,

∵△=2+12=14,

∴x=．

16．不解方程,判断下列方程的根的情况：

①2x2+3x﹣4=0

②3x2+2=2x

③x2=x﹣1．

【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；

②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；

③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．

17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．

【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；

当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,

所以无论m为何值原方程有实数根．

18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．

【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）

=4k2﹣12k+9

=（2k﹣3）2,

∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,

∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,

∴x

1=2k﹣1,x

2

=2,

∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,

当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．

综上所述,△ABC的周长为10．