熵值法简要介绍
熵值法
在信息论中熵是对系统的一种不确定性度量，若某一个指标的信息量越大，信息越明确，则表明该指标的不确定性就越小，变异程度就越小，熵就越小；反之信息量越的指标小，其指标变异度就越大，熵就越大。
熵值法求解权重的一般步骤如下：
设有m 个备选方案，n 项评价指标，原始指标数据矩阵为()ij m n
X x ?=。 111212122212m m n n nm x x x x x x X x x x ??????=??????
L L M M O M L 其中，xij 为第i 个评价指标下的第j 个评价对象的数值()1,2,;1,2,i n j m ==L L
（1）对原始指标数据矩阵进行标准化处理
将最优指标标准化后为1，最劣指标标准化后为0，ij r 为标准化后的指标。 对于成本型指标：
max max min ij ij i ij ij ij i i x x r x x -=
- (1-5)
对于效益型指标：
min max min ij ij i ij ij ij i i x x r x x -=- (1-4)
依据熵权法的理论，可计算得出第i 个评价指标下第j 个评价对象占该指标的比重p 1,2,, 1,2,, ij i n j m =?=?=（；） ()1p ij ij m ij
j r r ==∑ (1-5)
（2）计算信息熵
第j 项指标的熵值j H 的计算公式如下：
()11ln ln m
j ij ij j H p p m ==-∑ (1-6)
式中，若0ij p =，则ln 0ij ij p p =。
（3）计算权系数
第j 项指标的权系数j β的计算公式如下：
()111j
j m j j H H β=-=-∑ (1-7)
熵值法的原理及实例讲解
熵值法 1.算法简介 熵值法是一种客观赋权法,其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权重。设有m 个待评方案，n 项评价指标，形成原始指标数据矩阵n m ij x X ?=)(，对于某项指标j x ，指标值ij X 的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性就越大，熵也越大.根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个方案的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变异程度，利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据！ 2.算法实现过程 2.1 数据矩阵 m n nm n m X X X X A ?????? ??=ΛM M M Λ1111其中ij X 为第i 个方案第j 个指标的数值 2.2 数据的非负数化处理 由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移： 对于越大越好的指标： m j n i X X X X X X X X X X X nj j j nj j j nj j j ij ij ,,2,1;,,2,1,1),,,min(),,,max() ,,,min(212121'ΛΛΛΛΛ==+--=对于越小越好的指标： m j n i X X X X X X X X X X X nj j j nj j j ij nj j j ij ,,2,1;,,2,1,1),,,min(),,,max(),,,max(212121'ΛΛΛΛΛ==+--=为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为ij X
和积法计算最大特征向量实例
已知66?判断矩阵11141 1/2112411/211/21531/21/41/41/5 11/31/3111/3311222311????????=??????????B ，利用和积法计算其最大特征向量。 1将判断矩阵的每一列元素作归一化处理得'B ： []61 6.25 5.75 6.53207.33 3.83ij i b ==∑1,2,,6j = 则： '0.160.170.150.200.140.130.160.170.300.200.140.130.160.090.150.250.420.130.04 0.040.030.050.050.090.160.170.050.150.140.260.320.340.300.150.140.26????????=?????????? B 2将每一列经归一化处理后的判断矩阵按列相加得'w ： []T 'T 0.95 1.10 1.200.300.93 1.51=w 61 5.99j j w ==∑ 3对向量'w 作归一化处理得最大特征向量w ： []T T 0.160.180.200.050.160.25=w 4计算判断矩阵最大特征根max λ： []T T ()=1.025 1.225 1.3050.309 1.066 1.64Bw max 111 1.025 1.225 1.3050.309 1.066 1.64==() 6.3560.160.180.20.050.160.25n i i BW n w λ=?+++++=∑ 5判断矩阵一致性指标C.I.（Consistency Index ）：
max 6.356C.I.=0.07161 n n λ--==-- 6随机一致性比率C.R.（Consistency Ratio ）： C.I.0.07C.R.=0.0560.10R.I. 1.24 ==< 满足要求。
熵值法
熵值法 1 基本原理 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。 2、熵值法步骤 ⑴选取n 个国家，m 个指标，则ij x 为第i 个国家的第j 个指标的数值。（i=1,2…,n; j=1,2,…,m ） (2) 指标的标准化处理:异质指标同质化 由于各项指标的计量单位并不统一,因此在用它们计算综合指标前,我们先要对它们进行标准化处理,即把指标的绝对值转化为相对值,并令ij ij x x =，从而解决各项不同质指标值的 同质化问题。而且,由于正向指标和负向指标数值代表的含义不同(正向指标数值越高越好,负向指标数值越低越好) ,因此,对于高低指标我们用不同的算法进行数据 标准化处理。其具体方法如下: 正向指标: 12' 1212m in (,,...,)100m ax (,,...,)m in (,,...,)ij j j n j ij j j n j j j n j x x x x x x x x x x x ??-=???-???? 负向指标: 12'1212m ax (,,...,)100m ax (,,...,)m in (,,...,)j j n j ij ij j j n j j j n j x x x x x x x x x x x ??-=?? ?-???? 则'ij x 为第i 个国家的第j 个指标的数值。（i=1,2…,n; j=1,2,…,m ）。为了方便起见，仍记数 据'ij ij x x =。 （3）计算第j 项指标下第i 个国家占该指标的比重： 1,(1,2...,,1,2...,)ij ij n ij i X p i n j m X ====∑ （4）计算第j 项指标的熵值。 1 ln ()n j ij ij i e k p p ==-∑，其中，0k >，1/ln ()k n =，0j e ≥ （5）计算第j 项指标的差异系数。对第j 项指标，指标值的差异越大，对方案评价的左右就越大，熵值就越小，定义差异系数： 1j j e e g m E -=-，式中1m e j j E e ==∑，01i g ≤≤，1 1m j j g ==∑ （6）：求权值：
熵权法简介
熵权法简介 “熵”的物理意义 物质微观热运动时，混乱程度的标志。热力学中表征物质状态的参量之一,通常用符号S表示。在经典热力学中，可用增量定义为dS=(dQ/T)，式中T为物质的热力学温度;dQ为熵增过程中加入物质的热量；下标“可逆”表示加热过程所引起的变化过程是可逆的。若过程是不可逆的,则dS>(dQ/T)不可逆。单位质量物质的熵称为比熵,记为s。熵最初是根据热力学第二定律引出的一个反映自发过程不可逆性的物质状态参量。热力学第二定律是根据大量观察结果总结出来的规律，有下述表述方式：①热量总是从高温物体传到低温物体，不可能作相反的传递而不引起其他的变化；②功可以全部转化为热，但任何热机不能全部地、连续不断地把所接受的热量转变为功（即无法制造第二类永动机）；③在孤立系统中,实际发生的过程,总使整个系统的熵值增大，此即熵增原理。摩擦使一部分机械能不可逆地转变为热，使熵增加。热量dQ由高温(T1)物体传至低温(T2)物体,高温物体的熵减少dS1=dQ/T1,低温物体的熵增加dS2=dQ/T2,把两个物体合起来当成一个系统来看,熵的变化是dS=dS2－dS1>0，即熵是增加的。 在不同领域中“熵”也有不同意义 ◎物理学上指热能除以温度所得的商，标志热量转化为功的程度。 ◎科学技术上泛指某些物质系统状态的一种量（liàng）度，某些物质系统状态可能出现的程度。亦被社会科学用以借喻人类社会某些状态的程度。 ◎在信息论中，熵表示的是不确定性的量度。 熵权法是一种客观赋权方法。它十分复杂，计算步骤如下： a．构建各年份各评价指标的判断矩阵： b．将判断矩阵进行归一化处理, 得到归一化判断矩阵： c．根据熵的定义，根据各年份评价指标，可以确定评价指标的熵。 d．定义熵权。定义了第n个指标的熵后，可得到第n个指标的熵权。 f．计算系统的权重值。 熵权法的主要根据 按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。
权重确定方法归纳解读
权重确定方法归纳 多指标综合评价是指人们根据不同的评价目的，选择相应的评价形式据此选择多个因素或指标，并通过一定的评价方法将多个评价因素或指标转化为能反映评价对象总体特征的信息，其中评价指标与权重系数确定将直接影响综合评价的结果。 按照权数产生方法的不同多指标综合评价方法可分为主观赋权评价法和客观赋权评价法两大类，其中主观赋权评价法采取定性的方法由专家根据经验进行主观判断而得到权数，然后再对指标进行综合评价，如层次分析法、综合评分法、模糊评价法、指数加权法和功效系数法等。客观赋权评价法则根据指标之间的相关关系或各项指标的变异系数来确定权数进行综合评价，如熵值法、神经网络分析法、TOPSIS法、灰色关联分析法、主成分分析法、变异系数法等。两种赋权方法特点不同，其中主观赋权评价法依据专家经验衡量各指标的相对重要性，有一定的主观随意性，受人为因素的干扰较大，在评价指标较多时难以得到准确的评价。客观赋权评价法综合考虑各指标间的相互关系，根据各指标所提供的初始信息量来确定权数，能够达到评价结果的精确但是当指标较多时，计算量非常大。下面就对当前应用较多的评价方法进行阐述。 一、变异系数法 （一）变异系数法简介 变异系数法是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重。是一种客观赋权的方法。此方法的基本做法是：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距。例如，在评价各个国家的经济发展状况时，选择人均国民生产总值(人均GNP)作为评价的标准指标之一，是因为人均GNP不仅能反映各个国家的经济发展水平，还能反映一个国家的现代化程度。如果各个国家的人均GNP没有多大的差别，则这个指标用来衡量现代化程度、经济发展水平就失去了意义。 由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：
熵值法的原理及实例讲解
熵值法的原理及实例讲解 熵值法 1.算法简介熵值法是一种客观赋权法,其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权重。设有m个待评方案，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵X?(xij)m?n，对于某项指标xj，指标值Xij的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性就越大，熵也越大.根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个方案的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变异程度，利用信息熵这个工具，计算出各
个指标的权重，为多指标综合评价提供依据！ 2.算法实现过程数据矩阵?X11?X1m??????其中Xij为第i个方案第j个指标的数值A????X??n1?Xnm?n? 数据的非负数化处理于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移：对于越大越好的指标：’Xij?Xij?min(X1j,X2j,?,Xn j)max(X1j,X2j,?,Xnj)?min(X1j,X2j,?,Xnj) ?1,i?1,2,?,n;j?1,2,?,m对于越小越好的指标：’Xij?max(X1j,X2j,?,Xnj)?Xijm ax(X1j,X2j,?,Xnj)?min(X1j,X2j,?,Xnj)?1,i ?1,2,?,n;j?1,2,?,m为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为Xij 计算第j 项指标下第i个方案占该指标的比重Pij?Xij?Xi?1n(j?1,2,?m) 计算第j项指标的熵值ej??k*?Pijlog(Pij),其中
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z = 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基 （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ? , m; j = 1 , 2 , ? , n)进行编号, 则可得下列方程组 显然得到一个m×m单位矩阵 以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得 令由上式得 又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解 （3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约
束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别 对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到： 将上代入目标函数，整理后得 令 于是 再令 则 (1) 最优解的判别定理 若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。称为检验数。 (2) 无穷多最优解的判别定理 若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。 (3) 无界解判别定理 若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。 4.3 基变换
和积法具体计算步骤
和积法具体计算步骤 1将判断矩阵的每一列元素作归一化处理： '1 ij ij n ij i b b b == ∑ ,1,2,,i j n =K 2将每一列经归一化处理后的判断矩阵按列相加： ' '1n i ij j w b ==∑ 1,2,,i n =K 3对向量''''T 12(,,,)n W w w w =K 作归一化处理： ' '1 i i n i i w w w == ∑ 1,2,,i n =K 得到T 12(,,,)n W w w w =K 即为所求特征向量的近似解。 4计算判断矩阵最大特征根max λ： max 11=n i i BW n w λ=∑ 5判断矩阵一致性指标C.I.（Consistency Index ）： max C.I.= 1 n n λ-- 6随机一致性比率C.R.（Consistency Ratio ）： C.I. C.R.= R.I. 对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.（Random Index ），下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标，当C.R.0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一 致性。
方根法具体计算步骤 1将判断矩阵的每一行元素相乘： 1n i ij j m b ==∏ 1,2,,i n =K 2计算i m 的n 次方根'i w ： 'i w = 1,2,,i n =K 3对向量''''T 12(,,,)n W w w w =K 作归一化处理： ' '1 i i n i i w w w == ∑ 1,2,,i n =K 得到T 12(,,,)n W w w w =K 即为所求特征向量的近似解。
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)
我国区域信息产业发展与经济增长质量关系研究_刘跃
《产经评论》2014年5月第3期 ［收稿日期］2014－03－23 ［基金项目］工业和信息化部通信软科学项目（项目编号：2012－Ｒ－54，主持人：刘跃）。 ［作者简介］刘跃，重庆邮电大学经济管理学院副院长，教授，主要从事财务管理、信息经济研究；彭艳，重庆邮电大学经济管理学院硕士研究生，主要研究方向为信息经济研究；周亮，重庆邮电大学经济管理学院硕士研究生，主要研究方向为信息经济研究。 我国区域信息产业发展与经济增长质量关系研究 刘 跃 彭 艳 周 亮 ［摘要］在综述相关理论和研究方法的基础上，建立我国区域信息产业和经济增长质量的评价指标体系，并利用我国30个省级相关数据，对各区域的信息产业发展水平和经济增长质量水平进行了测度。根据测算所得到的面板数据实证考察我国区域信息产业与经济增长质量之间的关系及其演化规律，揭示了我国区域信息产业的发展对经济增长质量提升的影响作用。 ［关键词］信息产业；经济增长质量；指标体系［中图分类号］F49［文献标识码］A ［文章编号］1674－8298（2014）03-0040-10［引用方式］刘跃，彭艳，周亮．我国区域信息产业发展与经济增长质量关系研究［J ］ ．产经评论，2014，5（3）：40－49． 一引言 我国自1978年改革开放以来，国民经济得到了快速发展。近几年，信息技术的迅猛发展使得信 息资源得到了充分利用，极大程度地推动了人类社会政治、经济和文化的变革，人们的生活变得更加现代化。随着信息经济时代的来临，各国信息化水平也日益提高，信息产业在国民经济中所占的比例逐渐加大。信息技术在各个行业的广泛渗透也使得人们更加关注信息技术在社会发展和经济增长中的作用。信息产业发展水平已成为衡量一个地区甚至一个国家经济、社会发展的重要标志，信息产业在世界经济发展中扮演着越来越重要的角色，并成为推动世界经济快速发展的动力。 但是为了追求信息产业的高速发展，人们往往忽视了经济质量的同步增长。Liu （2008）［1］ 认为自1978年改革开放以来，中国的制造工业得到了快速发展，但与其相伴的却是对环境的严重破坏； 虽然中央政府建立了相关的法律制度来控制环境污染，但地方政府认为环境保护会拖累地方经济，因 此常常把环境监管放置一旁，而尽量去寻求经济的高速度增长。Kuijs （2012）［2］ 对中国和印度的经济增长模式及策略进行了分析，认为中国的大规模投资和重工业的发展为近几十年经济的稳定增长提供 了条件，但这也导致了中国产业结构的失衡。沈利生（2009）［3］ 则采用增加值率来反映经济增长的质量，通过研究发现自2002年以来，我国产业结构变动趋势是工业变重，服务业变轻，这导致了我国经济增长质量的降低。当前，世界各国都对经济增长质量给予了高度的关注，同时许多国家也通过提高资源的利用效率、减少生产活动中的环境污染以及转变经济的增长方式等途径来提升经济增长质量。如今，如何促进经济增长质量的提升已成为各国经济发展中最重要课题之一，同时这也是中国现在以及未来经济发展中需要进一步解决的突出问题。本研究重点探讨我国区域信息产业发展与经济增长质量的关系，力争寻求对策，使信息产业发展的同时经济增长质量得到同步提高。 · 04·
Matlab学习系列19.-熵值法确定权重
19.熵值法确定权重 一、基本原理 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。 根据熵的特性，可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响（权重）越大，其熵值越小。 二、熵值法步骤 1. 选取n个国家，m个指标，则x j为第i个国家的第j个指标的数值（i=1, 2…，n; j=1,2,…,m）; 2. 指标的归一化处理：异质指标同质化 由于各项指标的计量单位并不统一，因此在用它们计算综合指标前，先要对它们进行标准化处理，即把指标的绝对值转化为相对值，并令X j X j ,从而解决各项不同质指标值的同质化问题。而且，由于正向指标和负向指标数值代表的含义不同（正向指标数值越高越好，负向指标数值越低越好），因此，对于高低指标我们用不同的算法进行数据标准化处理。其具体方法如下： 正向指标： X ij min ｛勺公2）,...,人）｝ X ij max｛X ij,X2j,...,X nj｝ min ｛勺公？」，…，x j
负向指标:
max{X ij,X2j,...,X nj} X j X j max{X jj,X2j,...,X nj} m in {勺必），…，x^} 则X j为第i个国家的第j个指标的数值(i=1,2…，n; j=1,2,…,m) 为了方便起见，归一化后的数据X j仍记为X j； 3?计算第j项指标下第i个国家占该指标的比重： X ij P j —, i 1,2..., n, j 1,2..., m X ij i 1 4. 计算第j项指标的熵值： n e j k P ij ln( p j) i 1 其中，k=1/ln(n)>0.满足e j >0; 5. 计算信息熵冗余度： d j 1 e j; 6. 计算各项指标的权值： d j W j —, j 1,2,...,m d j j 1 7. 计算各国家的综合得分： m s W j p ij, i 1,2,...n j 1 三、Matlab实现 按上述算法步骤，编写Matlab函数：shang.m function [s,w]=sha ng(x) %函数shang(), 实现用熵值法求各指标(列)的权重及各数据行的得分
熵值法简要介绍
熵值法 在信息论中熵是对系统的一种不确定性度量，若某一个指标的信息量越大，信息越明确，则表明该指标的不确定性就越小，变异程度就越小，熵就越小；反之信息量越的指标小，其指标变异度就越大，熵就越大。 熵值法求解权重的一般步骤如下： 设有m 个备选方案，n 项评价指标，原始指标数据矩阵为()ij m n X x ?=。 111212122212m m n n nm x x x x x x X x x x ??????=?????? L L M M O M L 其中，xij 为第i 个评价指标下的第j 个评价对象的数值()1,2,;1,2,i n j m ==L L （1）对原始指标数据矩阵进行标准化处理 将最优指标标准化后为1，最劣指标标准化后为0，ij r 为标准化后的指标。 对于成本型指标： max max min ij ij i ij ij ij i i x x r x x -= - (1-5) 对于效益型指标： min max min ij ij i ij ij ij i i x x r x x -=- (1-4) 依据熵权法的理论，可计算得出第i 个评价指标下第j 个评价对象占该指标的比重p 1,2,, 1,2,, ij i n j m =?=?=（；） ()1p ij ij m ij j r r ==∑ (1-5) （2）计算信息熵 第j 项指标的熵值j H 的计算公式如下： ()11ln ln m j ij ij j H p p m ==-∑ (1-6) 式中，若0ij p =，则ln 0ij ij p p =。 （3）计算权系数 第j 项指标的权系数j β的计算公式如下：
权重确定和计算
3.3评价因素权重确定的基本理论 权重是一个相对的概念，在评价因素体系中每个因素对实现评价目标和功能的相对重要程度就是该因素的权重。权重是综合评价的重要信息，一组评价指标体系相对应的权重组成权重体系。一组权重体系{i w |i=1,2,…,n } 必须满足下 述两个条件： （1）0 < wi ≤1，i=1,2,…,n。 （3-1） （2）11=∑=n i i w （3-2） 其中n 是权重指标的个数 一级指标和二级指标权重的确定： 设某一评价的一级指标体系为{i v |i=1,2,…,n } 其对应权重体系为{i w |i=1,2,…,n } 则有： （1）0 < w i ≤1，i=1,2,…,n。 (3-3) （2）11=∑=n i i w (3-4) 如果该评价的二级指标体系为{ij v |i=1,2,…,n；j=1,2,…,m },则其对应的权重体系为{ij w |i=1,2,…,n；j=1,2,…,m }应满足： （1）0< w i ≤1，i=1,2,…,n。 (3-5) （2）11=∑=n i i w (3-6) （3）∑∑==n i m j ij i w w 11 = 1 (3-7) 对于三级、四级指标可以以此类推。权重体系是相对指标体系来确定的。首先必须有指标体系，然后才有相应权重系数。指标权重的选择实际也是对系统评价指标进行排序的过程，而且权重值的构成应符合以上的条件。
3.4权重确定的方法 权重确定的方法很多，主要有主成分分析法、德尔菲法（Delphi ）、层次分析法（AHP ）。本文中主要运用层次分析法来确定评价因素的权重。 层次分析法通过分析复杂系统所包含的因素及相关关系，将系统分解为不同的要素，并将这些要素划规不同层次，从而客观上形成多层次的分析结构模型。将每一层次的各要素进行两两比较判断，按照一定的标度理论，得到其相对重要程度的比较标度，建立判断矩阵。通过计算判断矩阵的最大特征值极其相应的特征向量，得到各层次要素的重要性次序，从而建立权重向量5【】。 层次分析法确定权重的步骤： （1）建立树状层次结构模型。在本文中，该模型就是安全评价因素体系。 （2）确立思维判断定量化的标度。在两个因素相互比较时，需要有定量的标度，假设使用前面的标度方法，则其含义如表4-1所示， 按表4-1标度方法来确定标度。 表3-1层次分析法判断标度确定原则 标度 含义 1 表示两个因素相比具有等性 3 表示两个因素相比一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比一个因素比另一个因素极端重要 2、4、6、8 为上述相邻判断的中值 （3）构造判断矩阵。运用两两相比的方法，对各相关元素进行两两相比较评分，根据中间层若干指标，可得到若干两两比较判断矩阵。 （4）计算权重。这一步将解决n 个元素1A ,2A ,…n A 权重的计算问题，对于表4-2的两两比较的方法得到矩阵A ，解矩阵特征根，计算权重向量和特征根 m ax λ的方法有“和积法”、“方根法”、和“根法”。 本文选用了计算较为简便的“和积法”，其计算步骤如下： ①对A 按列规范化，即对判断矩阵A 每一列正规化: ∑== n i ij ij ij a a a 1 （i,j =1,2,…,n ） （3-8）
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)
hoknfAAA熵值法的原理及实例讲解
h o k n f A A A熵值法的原 理及实例讲解 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
熵值法 1.算法简介 熵值法是一种客观赋权法,其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权重。设有m 个待评方案，n 项评价指标，形成原始指标数据矩阵 n m ij x X ?=)(，对于某项指标j x ，指标值ij X 的差距越大，则该指标在综合评价中 所起的作用越大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性就越大，熵也越大.根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个方案的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变异程度，利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据！ 2.算法实现过程 2.1 数据矩阵 m n nm n m X X X X A ???? ?? ??= 1111其中ij X 为第i 个方案第j 个指标的数值 2.2 数据的非负数化处理 由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移： 对于越大越好的指标： m j n i X X X X X X X X X X X nj j j nj j j nj j j ij ij ,,2,1;,,2,1,1) ,,,min(),,,max() ,,,min(212121' ==+--= 对于越小越好的指标：
单纯形法求解原理过程
单纯形法 需要解决的问题： 如何确定初始基本可行解； 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降； 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基，即 与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：
F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行： 第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量； 第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10
数学解题方法谈5：一些特殊数和式的求和积法
数学解题方法谈5： 一些特殊数和式的求和积法 （一）、倍数型求法： 解：设原式=S ，则2S=1+2+3+…+59=1770，∴原式=S=885． 3、计算： 1＋22＋23＋24＋…＋22015 解： 记S=1＋22＋23＋24＋...＋22015 (1) 则2S=2＋22＋23＋24＋...＋22016 (2) ∴ (2)－(1) 可得：S=22016－1 4、20＋21＋22＋23＋…＋22008 ． 解：令W=20＋21＋22＋3＋...＋22008 (1) 则2W=21＋22＋23＋24＋...＋22009 (2) ∴原式=W=(2)－(1)=22009－1 （二）拆数型求法 1、31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6－…＋199×10 ． 解：原式=1＋21×2－2＋32×3＋3＋43×4－4＋54×5＋5＋65×6－…＋9＋109×10 =1＋12－12＋13－13＋14－14＋…＋110=1110 ．
解：原式=(1－12＋1)＋(1－13＋1＋12)＋(1－14＋1＋13)＋…＋(1－110＋1＋19) =1－12＋1＋1－13＋1＋12＋1－14＋1＋13＋…＋1－110＋1＋19 =9×2－110＋1=18910 3、11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100 ． 解：原式=1－12＋12－13＋13＋…＋199－1100=1－1100=99100 4、1＋11×2＋52×3＋113×4＋…＋899×10 ． 解：原式=1＋1－11×2＋1－12×3＋1－13×4＋…＋1－19×10=9＋110=9110 5、31×2×3×4＋32×3×4×5＋33×4×5×6＋…＋38×9×10×11 ． 解：原式= 11×2×3－12×3×4＋12×3×4－13×4×5＋…＋18×9×10－19×10×11 =16－1990=164990=82495 =(1＋2＋3＋…＋9)－12( 1＋2＋3＋…＋8)＋13( 1＋2＋3＋…＋7)－…－18(1＋2)＋19 =45－18＋283－214＋5－106＋67－38＋19=335504 7、14＋128＋170＋1130＋…＋18554 . 解：原式=11×4＋14×7＋17×10＋110×13＋…＋191×34
熵值法的原理及实例讲解
熵值法 1. 算法简介 熵值法是一种客观赋权法,其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权重。设有m个待评方案，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵X (x ij )m n ，对于某项指标x j ，指标值X ij 的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性就越大，熵也越大.根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个方案的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变异程度，利用信息熵这个工 具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据！ 2. 算法实现过程 2.1 数据矩阵 X11 A X n1 X1m 其中X j为第i个方案第j个指标的数值X nm n m 2.2 数据的非负数化处理 由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移：对于越大越好的指标：
X ij min (X1j,X2j, ,X nj) X ij max(X1j,X2j, ,X nj) min (X1j,X2j, 人） ,i 1,2 ,n; j 1,2 ,m 对于越小越好的指标: max( X1 j, X 2 j, , X nj) X j X ij max(X1j,X2j, ,X nj) min (X^X j, ,X nj) ,i 1,2 ,n; j 1,2 ,m 为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为X ij 2.3 计算第j项指标下第i个方案占该指标的比重 P j — X ij i 1 (j 1,2, m) 2.4 计算第j项指标的熵值 e j n k* R j log(R j),其中k 0,ln为自然对数，e j i 1 0。式中常数k与样本数m有天, 般令k 1lnm,则0 e 1 2.5计算第j项指标的差异系数。 对于第j项指标，指标值X j的差异越大，对方案评价的作用越大，熵值就越小 g j 1 e j ,贝U： g j越大指标越重要 2.6求权数 g, W j - - ,j 1,2 m g j j 1
改进熵值法问题的初探
现代商业 MODERN BUSINESS 188 Macroscopic economy 宏观经济 一、绪论 熵原是热力学的一个物理概念。在信息系统中的信息熵是信息：无序度的度量，信息是系统有序程度的度量，两者绝对值相等，符号相反。信息熵越小，信息的无序度越低，其信息的效用值越大，指标的权重也越大；反之，信息熵越大，信息的无序度越高，其信息的效用值越小，指标的权重也越小。据此性质，统计学广 泛应用信息熵反映系统信息的有序程度和信息的效用值，进行客观赋权从而作出综合评价。 二、熵值法的主要原理 设有 个样本，项评价指标，形成 原始指标数据矩阵 ，对于某项 指标，指标值的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大，如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评 改进熵值法问题的初探 ［内容摘要］ 熵值法是一种客观赋权方法，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重，此方法现广泛应用在统计学等各个领域，具有较强的研究价值。但随着社会的发展、科学的进步及我们研究问题的复杂性越来越高，传统的熵值法已经不能完全满足研究的需要，这样就有必要对它进行一定的改进。本文就针对此问题进行了初步探索，并对改进的熵值法和其它客观赋权法的进行了比较。［关键词］ 熵值法；改进熵值法；比较 苏 洁 沈文成 浙江理工大学经济管理学院 杭州 ３１００１８ 价中不起作用。在信息论中信息熵 表示系统的有序程度，一个系统的有序程度越高，则信息熵越大，其信息的效用值越小；反之，一个系统的无序程度越高，则信息熵越小，其信息的效用值就越大。所以，可以根据各项指标效用值的差异程度，利用信息熵这个工具，计算出各指标的权重，为多指标综合评价提供基础。三、用熵值法进行综合评价的步骤 第一，将各指标数据标准化原始指标可以分为正向指标和负向 指标，对于正向指标，记Ｍｊ为其理想值，对于负向指标，记ｍｊ为其理想值。理想值的获取可以通过原始数据，把极值作为理想值，即令 ，定义 为对于理想值的接近度，对于正向指标，，对于负向指标，定义 其标准化值 。 第二，计算指标信息熵和信息效用值 第ｊ项指标的信息熵为 ，其中，ｋ为常数，对于一个信息完全无序的系统，其熵值最大，此时对于给定的ｊ全部相同，那么，此时，取极大值。令 ，则有 。 某项指标的信息效用值： 。 第三，计算指标权重和综合评价值某项指标的信息效用值越高，则对于评价的重要性就越大，则第ｊ项指标的权重为：。第个样本的综合评价值为： 。 四、 用功效系数法进行变换 取第Ｊ项指标值中最好值为，最差 值为 ，用下列公式进行变换： 为避免变换后的数据出现零，的范 围应取（０，１）。 在用此公式进行变换时，实际上加入 了评价者的主观因素，因为的选取是由评价者决定的。如果评价者要加大该指标的权重，可将取大一些，这时数据范围大．用熵值法计算的权重就大；同理，如果要减小该指标的权重，可将 取小一 些，这时数据范围小，用熵值法计算的权重就小。从这个意义上说，用功效采数法对数据变换后的熵值法不是严格的客观赋权法，而是一种主、客观结合赋权法。 用功效系数法变换后，对极端值怍一定的处理，消除了指标值中负值的问题，然后按前面的步骤进行评价，但取不同的，可能会出现不同的评价结果 五、 用标准化法进行变换 其中ｘｊ为第Ｊ项指标值的均值，Ｓｊ为第Ｊ项指标值的标准差。然后用Ｚ代替前 面的步骤重的Ｘｉｊ进行评价． 用标准化法进行变换与用功效系数法进行变换的区别是： １）用标准化法变换不需要加入任何主观信息，是一种完全意义的客观赋权法。 ２）用功效系数法变换的选取不同使 得评价结果可能是不唯一的，而用标准化 法进行变换评价结果是唯一的。 ３）标准化法有利于缩小极端值对综合 评价的影响。 六、 改进的熵值法和其它客观赋权法的比较 客观赋权法从实质上来说可以分为以下几类： １）消除指标间的相关性确定权数综合评价是通过多项指标进行的，如果指标间具有一定的相关关系，说明它们》转１８７页