等腰直角三角形模型三垂直模型
全等三角形的经典模型（一）
题型一：等腰直角三角形模型
思路导航
等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90° 45 ,45）.如图1；
⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题?如图2；
图3 图4
典题精练
【例1】已知：如图所示，Rt△ ABC中，AB=AC, BAC 90° O为BC的中点, ⑴写出点O到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△ OMN的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保
持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.
【解析】⑴OA=OB=OC
⑵连接OA,
??? OA=OC BAO C 45° AN=CM
? △ ANO 也厶
CMO
?ON=OM
NOA MOC
NOA BON MOC BON90
NOM90
? △ OMN 是等腰直角三角形
⑶也ONM依然为等腰直角三角形，
证明：???/ BAC=90°, AB=AC, O 为BC 中点
???/ BAO = Z OAC=Z ABC=Z ACB=45°,
??? AO = BO=OC,
???在△ ANO和厶CMO中，
AN CM
BAO C
AO CO
?△ ANO ◎△ CMO (SAS)
?ON = OM, / AON= / COM ,
又???/ COM / AOM =90°,
?△ OMN为等腰直角三角形.
【例2】两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示
放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M ,连接
ME , MC .试判断△ EMC的形状，并说明理由.
【解析】△ EMC是等腰直角三角形.
证明：连接AM .由题意，得
DE AC, DAE BAC 90°, DAB 90°
?△ DAB为等腰直角三角形?
??? DM MB ,
? MA MB DM , MDA MAB 45o.
M
MDE MAC 105° ,
??? △ EDM 也△CAM .
??? EM MC, DME AMC .
又 EMC EMA AMC EMA DME 90°.
? CM EM ,
? △ EMC 是等腰直角三角形.
? △ ABM CAF . ? AM CF . 在 △ ADM 和△ CDF 中，
AD CD
DAM C
AM CF
? △ ADM ◎△ CDF .
?- ADB CDF .
证法二：如图，作 CM AC 交AF 的延长线于 M .
T AF BD , ? 3 2 90°
?/ BAC 90° ,
? 1 2 90°
? 1 3.
在△ ACM 和△ BAD 中，
1 3
AC AB
ACM BAD 90°
? △ ACM ◎△ BAD .
? M ADB , AD CM
??? AD DC , ? CM CD . 在△ CMF 和△ CDF 中，
CF CF
MCF DCF 45°
CM CD
【例3】 已知： 点，A 求证： 如图，△ ABC 中，AB AC , \F BD 于E ，交BC 于F ，连接
BAC
DF .
ADB CDF .
【解
析】 证法一 '：如图， 过点 A 作AN BC 于N ，交
??? AB AC , BAC 90° ,
? 3 DAM 45° .
??? C 45 ° ? 3 C .
??? AF BD , 1 BAE 90°
??? BAC 90° , ? 2 BAE 90° .
? 1 2 .
在△ ABM 和△ CAF 中，
1 2
AB AC
3 C
A C M
??? △ CMF ◎△ CDF ? ??? M CDF
??? ADB CDF ?
【例4】 如图，等腰直角 △ ABC 中，AC BC , ACB 90°, P 为△ ABC 内部一点，满足
PB PC , AP AC ，求证： BCP 15 ?
【解析】补全正方形ACBD ，连接DP ,
易证△ ADP 是等边三角形，
DAP 60 , BAD 45 , ? BAP 15 , PAC 30 , ? ACP 75 , ? BCP 15 ?
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较复杂时，
可将等腰直角 三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果， 从而顺利
地求解。例 4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt △ ABC 中，/ BAC=90° , AB =AC , M 为AC 中点，连结 BM ，作AD 丄BM 交
BC 于点D ，连结 DM ，求证：/ AMB= / CMD ? 【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 对称的等腰 Rt △ BFC ，延长AD 交CF 于点N ,
?/ AN 丄BM ，由正方形的性质，可得 AN=BM ,
易证 Rt △ ABM 也 Rt △ CAN , AMB= / CND , CN=AM ,
?/ M 为 AC 中点，? CM = CN ,
???/ 仁/2,可证得△ CMD ◎△ CND ,
???/ CND = / CMD ,
???/ AMB = / CMD ?
C
F
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt △ ABC 中，/ BAC= 90 ° AB=AC , AD=CE , AN 丄BD 于点 M ，延长BD 交
NE 的延长线于点F ，试判定厶DEF 的形状.
【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 对称的等腰 Rt △ BHC ,
可知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交HC 于点K ,
?/ AK 丄 BD ，可知 AK=BD ，易证：Rt △ ABD 也 Rt △ CAK ,
???/ ADB=Z CKN , CK=AD ,
?/ AD = EC , ? CK=CE ,
易证△ CKN 也厶 CEN ,
CKN = / CEN , 易证/ EDF = / DEF , DEF 为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图，Rt △ ABC 中，/ A=90° , AB=AC, D 为 BC 上一点，DE // AC, DF // AB ,且 BE=4,
CF=3，求 S 矩形 DFAE .
【解析】 作等腰Rt △ ABC 关于BC 的对称的等腰 可知四边形 ABGC 为正方形，分别延长 Rt △ GCB ,
FD 、ED 交 BG 、CG 于点 N 、M ,
可知 DN = EB=4 , DM
=FC=3,
由正方形对称性质， 可知S 矩形DFAE =S 矩形DMGN = DM DN=3 4=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于点D ，/ BAC=45° , BD=3, CD=2，求AD 的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，
但解法太繁琐，本题尽管已 知条件不是等腰直角三角形， 但???/ BAC=45°，若分别以AB 、AC 为对称轴作 Rt △
ADB 的对称直角三角形和 Rt △ ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为
90° 的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】 以AB 为轴作Rt △ ADB 的对称的Rt △ AEB ,再以AC 为轴作Rt △ ADC 的对称的Rt △ AFC .
可知 BE=BD=3, FC=CD=2 ,
延长 EB 、FC 交点 G , ???/ BAC=45° ,
由对称性，可得 / EAF =90°，且AE=AD=AF ,
易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于 AD ,
设 AD=x ，贝U BG=x — 3, CG=x — 2,
在Rt △ BCG 中，由勾股定理，得
x 2 2 x 3 2 52 ,
解得x=6，即AD=6.
【探究五】求最小值
【备选5】如图，Rt △ ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC=4, M 为AC 的中点，P 为斜边 AB 上的动 点，
求PM + PC 的最小值.
【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 Rt △ ACB 关于AB 对称的Rt △ ADB ，可知
四边形ACBD 为正方形，连接 CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD 交AB 于 点P ,连接CP ，贝U PM+PC 的值为最小，最小值为 ：PM+PC=DM= . 42 22 2. 5
.
A B
A
G
题型二：三垂直模型
例题精讲
【引例】已知AB丄BD , ED丄BD, AB=CD , BC=DE，⑴求证：AC 一
⑵若将△ CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，
，
③④【解析】⑴??? AB丄BD , ED丄BD
B D 90 在厶ABC
与厶CDE中
AB CD
B D
BC DE
??? △ ABC CDE ( SAS)
??? 1 E
2 E 90
? ACE 90，即AC 丄CE
⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
△ ABC C1DE
ACB C1ED
C1ED DC1E 90 DC1E ACB 90