判断函数组线性无关的一个充要条件

多元统计分析课后习题解答_第四章

第四章判别分析 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。 答：设p维欧几里得空间中的两点X= 和Y=。则欧几里得距离为 。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。 设X,Y是来自均值向量为，协方差为 的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)= 。当 即单位阵时，

D(X,Y)==即欧几里得距离。 因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。 试述判别分析的实质。 答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk是p维空间R p的k个子集，如果 它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p维空间 构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。

①两个总体的距离判别问题 设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是 1 和 2， 对于一个新的样品X ，要判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2（X ，G 2），则 X ，D 2（X ，G 1）D 2（X ，G 2） X ，D 2（X ，G 1）> D 2（X ，G 2， 具体分析， 2212(,)(,) D G D G -X X 111122111111 111222********* ()()()() 2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2() 22()2() ---''=-++-' +? ?=--- ??? ''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ 则判别规则为 X ，W(X)

函数在区域内解析的条件及应用(1)

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 引言 (1) 1.函数解析的定义 (1) 1.1定义 (1) 1.2初等函数的解析性 (2) 2. 函数解析的理论 (3) 2.1函数在区域D内解析的定理 (3) 2.2函数在区域D内解析的第一个等价定理 (4) 2.3函数在区域D内解析的第二个等价定理 (5) 2.4函数在区域D内解析的第三个等价定理 (5) 2.5函数在区域D内解析的第四个等价定理 (7) 结语 (8) 参考文献 (8)

函数在区域内解析的条件及应用 学生姓名：杨玉亲 学号：20095031161 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师:张萍 职称：讲师 摘 要：本文总结了函数解析的5种等价定理，研讨了它们的应用 关键词：初等函数；解析函数；函数在区域D 内解析 Function in the region and application of analytical conditions Abstract: This paper summarizes the analysis of five kinds of function equivalence theorem, and discusses their applications. Key Words ：Elementary Functions ；Analytic functions ；Analytic function within the regional D. 引言 在区域上处处可导的复变函数，我们称这类函数为解析函数，这类函数具有一系列非常重要的特征.虽然单变量复函数可导的概念与单变量实函数可导的概念在形式上完全一样，但在区域上处处可导的复函数与在区间上处处可导的实函数相比较，前者所具有的特征比后者更为深刻和丰富.本课题主要研究了函数在区域D 内解析的条件及应用问题，以下从六个方面给予了分析与概括. 1. 函数解析的定义 1.1定义 若()f z 在0z 点的某一个邻域0()u z 内处处可导，则称()f z 在0z 点解析，并称0z 是()f z 的解析点. 由定义可以推出：若函数()f z 在0z 点解析，则一定存在一个邻域0()u z ，在0()u z 内任意一点1z 处()f z 解析，事实上1z 是0()u z 的内点，因而存在邻域1()u z 0()u z ，使()f z 在1()u z 内处处可导，于是按定义()f z 在1z 点解析. 由以上结果进而可以推出：若函数()f z 在一区域D 内处处可导，则根据定义，()f z 在D 内每一点都解析，这样的函数我们称之为解析函数，而D 称为()f z 的解析

第三章可测函数的知识要点与复习自测

第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤

(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点

试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

多元统计分析课后习题解答_第四章知识讲解

第四章判别分析 4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。 答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。则欧几里得距离为 。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。 设X,Y是来自均值向量为，协方差为 的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)= 。当 即单位阵时， D(X,Y)==即欧几里得距离。 因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。 4.2 试述判别分析的实质。

答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk 是p 维空 间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一 个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个“划 分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。 4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。 ①两个总体的距离判别问题 设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是μ1和μ 2，对于一个新的样品X ， 要判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2 （X ，G 2），则 X ，D 2 （X ，G 1） D 2（X ，G 2） X ，D 2（X ，G 1）> D 2 （X ，G 2， 具体分析， 2212(,)(,) D G D G -X X 111122111111 111222********* ()()()() 2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2() 22()2() ---''=-++-' +? ?=--- ?? ?''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ 则判别规则为

实变函数期末复习指导

实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.

实变函数复习题

1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。

6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e

9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且

11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明

卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限

1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？

基于-Fisher准则线性分类器设计

基于Fisher准则线性分类器设计 专业：电子信息工程 学生：子龙 学号：201316040117

一、实验类型 设计型：线性分类器设计（Fisher 准则） 二、实验目的 本实验旨在让同学进一步了解分类器的设计概念，能够根据自己的设计对线性分类器有更深刻地认识，理解Fisher 准则方法确定最佳线性分界面方法的原理，以及Lagrande 乘子求解的原理。 三、实验条件 matlab 软件 四、实验原理 线性判别函数的一般形式可表示成 0)(w X W X g T += 其中 ????? ??=d x x X Λ1?????? ? ??=d w w w W Λ21 根据Fisher 选择投影方向W 的原则，即使原样本向量在该方向上的投影能兼顾类间分布尽可能分开，类样本投影尽可能密集的要求，用以评价投影方向W 的函数为： 2 2 2122 1~~)~~()(S S m m W J F +-= )(211 *m m S W W -=- 上面的公式是使用Fisher 准则求最佳法线向量的解，该式比较重要。另外，该式这种

形式的运算，我们称为线性变换，其中21m m -式一个向量，1 -W S 是W S 的逆矩阵，如21m m -是d 维，W S 和1-W S 都是d ×d 维，得到的* W 也是一个d 维的向量。 向量* W 就是使Fisher 准则函数)(W J F 达极大值的解，也就是按Fisher 准则将d 维X 空间投影到一维Y 空间的最佳投影方向，该向量* W 的各分量值是对原d 维特征向量求加权和的权值。 以上讨论了线性判别函数加权向量W 的确定方法，并讨论了使Fisher 准则函数极大的d 维向量* W 的计算方法，但是判别函数中的另一项0W 尚未确定，一般可采用以下几种方法确定0W 如 2 ~~2 10m m W +-= 或者 m N N m N m N W ~~~2 12 2110=++- = 或当1)(ωp 与2)(ωp 已知时可用 []??????-+-+=2)(/)(ln 2 ~~212 1210N N p p m m W ωω …… 当W 0确定之后，则可按以下规则分类， 2 010ωω∈→->∈→->X w X W X w X W T T 使用Fisher 准则方法确定最佳线性分界面的方法是一个著名的方法，尽管提出该方法的时间比较早，仍见有人使用。 五、实验容 已知有两类数据1ω和2ω二者的概率已知1)(ωp =0.6，2)(ωp =0.4。 1ω中数据点的坐标对应一一如下：

(完整版)实变函数(复习资料_带答案)

《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反 例说明.(5分×4=20分) 1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。 2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）

考生考试诚信承诺书 在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 考生签名：

实变函数期末考试卷(A ) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： ()()()(),0,0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=?∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0,,0.x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和() f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件 和 就 试卷 共 8 页 第 2 页

实变函数期末考试卷A卷

实 变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设 {} n E 是一列可测集,且1,1,2, ,n n E E n +?=则 1 ( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ）

4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B 。 2.设1,1,,3 1 ,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1 ,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。 6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。 7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。

可测函数空间的完备性

可测函数空间的完备性

可测函数空间的完备性 学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛 （太原师范学院数学系14011班 山西·太原 030012） 【内容提要】 )(X M 是定义在X 上的 Lebesgue 可测 函数全体构成的可测函数空间,若+∞<)(X m ,引入距离 dx x g x f x g x f x g x f d X ? -+-=) ()(1)()())(),((, 则d)(M(X),为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间d)(M(X),中,只要每一个Cauchy 函数列 {}∞=1 n n f 依测度收敛于某一可测 函数f ，则这样的空间就是完备的。 【关键词】 可测函数 度量空间 完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很

广泛的函数。特别是Lebesgue 可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在 X 上的 Lebesgue 可测函数全体构成的可测函数空 间M(X)的完备性做进一步的探讨。 一、可测函数空间d)(M(X),与度量空间 设 M(X) 为 X 上实值的可测函数全体， m 为 Lebesgue 测度，若+∞<)(X m 。对任意两个可测函数 f(x)及g(x)，由于1) ()(1) ()(<-+- x g x f x g x f 。故这是X 上的可积函数。 令dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+ -=) ()(1)()())(),(( 如果把M(X)中两个几乎 处处相等的函数视为M(X)中同一元；那么d)(M(X),按上述距离))(),((x g x f d 成为度量空间。下面验证一下： ⑴在M(X)中任取f(x)及 g(x)。dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+- =) ()(1) ()())(),((≥0显然。若0))(),((=x g x f d ，当且仅当g(x)f(x)=，也是显然的。 ⑵ 因为 ) ()(1)()() ()(1)()(x f x g x f x g x g x f x g x f -+-= -+-，所以

全新版《实变函数》作业答案

《实变函数》作业 一．判断题 1．n R E ∈ 可测的充要条件是CE 可测。 （对 ） 2．所有无理数构成的集合是可数集。 （错 ） 3．如果)(x f 在n R E ?上单调减少，则)(x f 在E 上可测。 （对 ） 4．直线上任意非空开集均可表示为至多可数个两两不交的开区间的并。 （对 ） 5．若E 是不可数集，则0*>E m 。 （ 错 ） 6．若函数)(x f 在],[b a 上黎曼可积，则)(x f 至多有可数个间断点。 ( 对 ) 7．可数集合的任意并是可数集合。 （ 错 ） 8．n R 中既开且闭的集只有空集φ与n R 。 （对 ） 9．如果函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，则)(x f 在],[b a 上是黎曼可积。 （对 ） 10.若0*=E m ，则E 是可测集。对 （对 ） 11.定义]1,0[上的狄利克雷函, (, ]1,0[0]1,0[1)(表示有理数集）Q Q x Q x x D ???-∈?∈=数 在]1,0[上几乎处处连续。 （ 对 ） 12.集合E 上的常值函数必可积。 （ 错 ） 13、区间[0，1]是一个可数集合。 （错 ） 14、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （ 对 ） 15、Rieman 可积函数一定是Lebegus 可积函数。 （ 错 ） 16、[0，1]上的无理数是一个可数集合。 （ 错 ） 17、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （对 ） 18、有界区间上Rieman 可积函数一定是Lebegus 可积函数。 （ 对 ） 二． 1．证明：). ()(B A B A I I -=-∈∈αααα 证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使)1,0(和]1,0[之间一一对应的一种方法。

可测函数空间的完备性

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可测函数空间的完备性 学生姓名：张权指导老师：宋儒瑛 <太原师范学院数学系14011班山西·太原 030012） 【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测 函数空间,若,引入距离, 则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数 空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某 一可测函数，则这样的空间就是完备的。b5E2RGbCAP 【关键词】可测函数度量空间完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间 的完备性做进一步的探讨。p1EanqFDPw 一、可测函数空间与度量空间 设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若 。对任意两个可测函数及，由于。故这 是X上的可积函数。DXDiTa9E3d

令如果把中两个几乎处处相等的 函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空 间。下面验证一下： ⑴在中任取及。≥0显 然。若，当且仅当，也是显然的。 ⑵ 因为，所以。 ⑶ 注意函数<求导大于0）是单调上升的，那么，任取有 从而上的实值Lebesgue可测函数有 由前面知，上式两边均可积分。则 即，。所以，按构成度量空间。 二、可测函数空间的完备性 ⑴ 定义：Cauchy点列或基本点列：

实变函数期末考试卷A卷

实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设 {} n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?= 则 1 ()lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ == （× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ）

二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,31 ,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++- =n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。 6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。 7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。 8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。 三、计算题（每题10分，共20分） 1.计算dx nx x n nx R n ? +∞ →1 03 2 22 1 sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定 理） 解：设nx x n nx x f n 32 22 1sin 1)(+= ),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞ →x x f n n ；

可测函数(知识题)

第四章 可测函数 习题4-1-P108 P108 1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑== i i k m k E i k i x c x 1 )()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数, 那么∑∑∑∑======= 12 1 1 11 )1()1(1 )2(1 )1(m i m j j i m k k m k k E E E E E ,于是 ∑∑==+=+2 )2(1 )1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑====+=2 1 )2() 1(1 2 )2() 1(1 1 )2(1 1)1()()()()(m j m i E E j m i m j E E i x x c x x c j i j i χχ χχ ∑∑==+=12)2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i x x c c j i χχ∑∑==+=12 )2()1(11 )2()1()()(m i m j E E j i x c c j i χ, ∑∑===2 )2(1)1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑======12 )2()1(12)2()1(11 )2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j i x c c x x c c j i j i χχχ, 所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数. 2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈?a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,

线性判别函数

线性判别函数 5.1引言 在第三章中我们假设概率密度函数的参数形式已知,于是可以使用训练样本来估计概率密度函数的参数值.在本章中,我们将直接假定判别函数的参数形式已知,而用训练的方法来估计判别函数的参数值.我们将介绍求解判别函数的各种算法,其中一部分基于统计方法,而另一些不是.这里都不要求知道有关的概率密度函数的确切的(参数)形式,从这种意义上来说,它们都属于非参数化的方法. 在这一章中,我们将关注以下形式的判别函数:它们或者是X的各个分量的线性函数,或者是关于以X为自变量的某些函数的线性函数.线性判别函数具有许多优良的特性,因而便于进行分析.就像我们在第二章看到的一样,如果内在的概率密度函数恰当的话,那么采用线性判别函数是最优的,比如通过适当的选择特征提取方法,可以使得各个高斯函数具有相等的协方差矩阵.即使它们不是最优的,我们也愿意牺牲一些分类准确率,以换取处理简便的优点.线性判别函数的计算是相当容易的,另外,当信息比较缺乏时,线性分类器对处于最初的.尝试阶段的分类器来说也是很有吸引力的选择.它们所展示的一些非常重要的原理在第6章的神经网络中将得到更充分的应用. 寻找线性差别函数的问题将被形式为极小化准则函数的问题.以分类为目的的准则函数可以是样本风险,或者是训练误差,即对训练样本集进行分类所引起的平均损失.但在这里我们必须强调的是:尽管这个准则是很有吸引力的,但它却有很多的问题.我们的目标是能够对新的样本进行分类,但一个小的训练误差并不能保证测试误差同样的小-------这是一个吸引人而又非常微妙的问题,我们将在第9章中进一步论述这个问题.这里我们将看到,准确的计算极小风险判别函数通常是困难的,因此我们将考查一些有关的更易于分析的准则函数. 我们的注意力将在很大程度上放在收敛性用各种应用于极小化准则函数的梯度下降法的计算复杂度上,它们当中一些方法的是很相似的,这使得清晰地保持它们之间的不同变得困难,因此,我们在后面的章节里会作出总结. 5.2线性判别函数的判定面 一个判别函数是指X的各个分量的线性组合而成的函数 g(x)=w’x+w0 (1) 这里W是权向量,w0被称为阈值权或偏置.和我们在第二章所看到的一样,一般情况下有C个这样的判别函数,分别对应C类的一类.我们在后面将讨论这样的情况,但首先考虑中人两个类别的简单情况. 5.2.1两类情况 对具有式(1)形式的判别函数的一个两类线性分类器来说,要求实现以下判定规则:如果G(x)>0则判定w1,如果g(x)<0,那么x可以被随意归到任意一类,但是在本章我们将它们归为未定义的.图5-1给出了一个典型的系统实现结构,是第二章所讨论的典型的模式识别系统结构的一个例子. 图5-1一个简单线性分类器,有d个输入的单元,每个对应一个输入向量在各维上的分量值.每个输入特征值xi被乘以它对应的权wi, 输出单元为这些乘积的和∑wixi.因此这d个输入单元都是线性的,产生的是它对应的特征的值.惟一的一个偏差单元总是产生常数 1.0.如果w’x+w0>0的话,输出单元输出a+1,反之为a-1

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲 第一章集合论 一、基本内容： 集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集 二、基本结论 1、集合的运算规律 2、可数集的性质 （1）任何无限集必含有可数子集 （2）可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。 （3）可数个可数集的并集是可数集。 （4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集 A={} n x x x a , , ,2 1 Λ, ()() ()n k x x x k k k . ,2,1 ; , ,2 1Λ Λ= = 则A为可数集。 3、常见的可数集：有理数及其无限子集。 三、基本要求： 1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2、掌握集之间的并、交、差、余运算。 3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4、理解集列的收敛、单调集列的概念。 5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明 两集合对等。 7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理 解不存在最大基数的定理的意义。 四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某 个集合是可数集合。 五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数

集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。 第二章点集 一、基本内容： 度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以 及直线上开集和闭集的构造定理。 二、基本结论 1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。 2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。 3、开集、闭集具有对偶性。 4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。 三、基本要求： 1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在 极限理论中的作用。 2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5、理解康托集的构造、特性。 四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包 2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。 五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。 第三章测度论 一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。 二、基本结论 1、可测集的性质（基本性质、运算性质）。

第三章 判别函数分类器

第三章 判别函数分类器 经过特征抽取之后，一个模式可以用n 维特征空间中的一个点X 来表示，当特征选择适当时，可以使同一类模式的特征点在特征空间中某个子区域内分布，另一类模式的特征点在另一子区域分布（例如苹果和橙子的问题）。这样，我们就可以用空间中的一些超曲面将特征空间划分为一些互不重叠的子区域，使不同模式的类别在不同的子区域中。这些超曲面称为判别界面，可以用一个方程来表示：()0d =X ，其中的()d X 是一个从n 维空间到一维空间的映射，称为是判别函数(Discriminant Function)。 在所有的函数形式中，线性函数是一种最简单的形式，下面我们就从线性判别函数入手来研究判别函数分类器。 3.0 预备知识 在介绍线性判别函数之前，先来帮助大家复习一下有关于矢量和矩阵的知识。 1. 矢量 这里的矢量X 可以看作是N 维欧氏空间中的一个点，用一个列矢量表示： 12N x x x ??????=???????? X 2. 矩阵 有的时候矩阵可以看作是由若干个矢量构成的： 12T T T M ??????=???????? X X A X A 是一个M N ?的矩阵，其中的T i X 称为是矩阵的行矢量。 3. 矩阵的秩 矩阵所有行向量中的最大无关组个数称为行秩，矩阵所有列向量中的最大无关组个数称为列秩。一个矩阵的行秩等于列秩，称为矩阵的秩。 4. 转置 列矢量W 的转置T W 为一个行矢量，N M ?的矩阵A 的转置T A 为一个M N ?的矩 阵。 5. 矢量和矩阵的乘法 设W 和X 为N 维列矢量，A 为一个N M ?的矩阵。则：

1) 1 N T i i i w x ==∑W X ，是一个数值，称为W 与X 的内积； 2) 11121212221 2 N N T N N N N w x w x w x w x w x w x w x w x w x ?? ??? ?=?? ?? ????WX ，是一个N N ?的矩阵； 3) 1121 1N i i i N i i T i N i iN i w a w a w a ===?? ?????? ??=???????? ???? ∑∑∑W A ，是一个N 维的列矢量 6. 正交 设W 和X 为N 维列矢量，如果W 和X 的内积等于零，0T =W X ，则称W 和X 正交，也称W 垂直于X 。 7. 逆矩阵 设A 为一个N N ?的方阵，A 的逆阵用1 -A 表示，满足1 1--==AA A A I ，I 为单位 阵。一个矩阵的逆阵存在条件是，首先是一个方阵，其次是一个满秩矩阵，即矩阵的秩为N 。 8. 矩阵的特征值和特征向量 设A 为一个N N ?的方阵，如果存在一个数λ和一个N 维的非零列矢量ξ，使得： λ=A ξξ成立，则称λ为A 的特征值，ξ为A 属于λ的特征向量。 一般来说一个矩阵应该有N 个特征值（可能相等），对应有N 个特征向量。 9. 矩阵的迹和行列式值 设A 为一个N N ?的方阵，A 的迹为主对角线元素之和：()1 N ij i tr a ==∑A ；A 的行列 式值表示为()det A 。 如果矩阵A 有N 个特征值12,,,N λλλ ，则有()1 N i i tr λ==∑A ，1 det()N i i λ==∏A 。 10. 矩阵微分 1) 矩阵对数值变量微分 如果矩阵()() ()ij M N t a t ?=A 的每一个元素)(t a ij 是变量t 的可微函数，则称) (t A 可微：