高中数学必修一 第二章 函数 知识点整理

第二章函数

2.1 函数

1. 函数

（1）函数的定义

传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。

近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。

两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。

（2）函数概念的理解

①A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y=x2+1可称为实数集R到实数集R

的函数，但值域为[1,+∞)。

③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。

④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算），如f(x)=x2-2x+3，当x=2时，可看做是对“2”施加

了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当“x”为某个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如

f(2x-1)=(2x-1)2-2(2x-1)+3，f[g(x)]=[g(x)]2-2g(x)+3等，f(a)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。

（3）函数的定义域

函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际

意义的制约。如函数y 的定义域为{x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。

（4）函数的对应法则

对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如

f(3)=2×3+6=12。

f(a)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常量。

当法则所实施的对象与解析式中所表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自

变量的函数解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x

的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。

（5）函数的值域

对于函数y=f(x)，x ∈A ，与x 的值相对应的y 值叫做函数值。如函数y=x 2+5x+3，当x=3时，y=32+5×3+3=27，叫做x=3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。

函数的值域是由对应法则f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合。关于求函数值域的问题，是可用初等手段来解决的问题，只要根据函数的对应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段就能得其解。

（6）区间

设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：

①满足不等式a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[],a b 。

②满足不等式a x b ＜＜的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(),a b 。

③满足不等式a x b ≤＜或a x b ≤＜的全体实数集合都叫做半开半闭区间，分别记作[),a b 或(],a b 。

④满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的全体实数x 的集合分别记作[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,a]，(-∞,a)。

注意：①区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用；②区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；③“∞”无穷大，是一个符号，不是一个数。

（7）映射

定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对A 内任一元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作f(x)。于是y=f(x)，x 称作y 的原象。映射f 也可记作f ：A →B 。其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域。

注意：映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性”，即：①映射的三要素：原象、象、对应关系；②A 中元素不可剩余，B 中元素可剩余；③多对一行，一对多不行；④映射具有方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射。

必修一

映射与函数的关系：

①联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义）的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此，要善于用映射的语言来叙述和解决函数问题。

②区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对映射而言，A和B不一定是数集。

一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

注意：一一映射就是一个特殊的映射，它不仅要求对于A中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；而且还要求对于B中的每一个元素，在A中有且只有一个原象，也就是只能是一对一的对应。

（8）同一函数的判定

一般的，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。

两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明：

①定义域不同，两个函数也就不同；

②对应关系不同，两个函数也是不同的；

③即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。

（9）由函数的解析式求定义域

求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。

必修一求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：

①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。

（10）如何确定象与原象

对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为象，而x叫做原象。

对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象。对于给出象求原象的问题，若可先假设原象，再代入对应关系中得到象，若它与已知的象是同一个元素，则求出了原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象。

（11）复合函数

定义：如果函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y=f[g(x)]为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内函数，y=f(x)叫做外函数。

求复合函数的解析式，常用途径有二：一是由里向外求；二是由外向里求。

复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的。

2. 函数的表示方法

（1）函数的表示方法

表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法三种。

①列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法叫做列表法。

②图象法：用函数的图象表示两个变量之间关系的方法叫做图象法。为了直观的了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象。作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤：

列表——先找出一些（有代表性的）自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函

数值f(x)，用表格的形式表示出来。

描点——从表中得到一系列的点，在坐标平面上描出这些点。

连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来。

注意：用图象法表示一个函数是数形结合的基础。函数的图象可以是一条直线（如正比例函数和一次函数），一条曲线（如抛物线），也可以是由一些点、一些线段、几条曲线（如反比例函数）构成。

③解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示出来，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，解析法就是用解析式表示函数的方法。中学里研究的函数主要是用解析式表示的。

注意：应用函数模型来解决实际问题时，常常希望写出函数的解析式来。

函数的三种表示方法的比较：

（2）分段函数

有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数。分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集，最好的求解方法是

“图象法”。重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的仍是一个函数。

求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式。

作分段函数图像时，则应按分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线做出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”。

分段函数是由几部分构成，但它代表的仍是一个函数。

（3）求函数解析式的方法

求函数的解析式的常用方法有：

①代入法；

②待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数即可；

③拼凑法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)时，可从f[g(x)]的解析式中拼凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x 代替即可；

④换元法：令t=g(x)，再求出x=f(t)的解析式，然后用t=g(x)，x=f(t)代替

f[g(x)]=F(x)两边所有的x 得到h(t)的解析式，最后将解析式左右两边所有的t 换成x 即可；

注：拼凑法与换元法各有优势，换元法适用于f(u)，其中u=g(x)为一次函数或易解出x 的类型。

⑤方程组法：已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，并且x=g[g(x)]，要求f(x)时，可用g(x)代替两边所有的x ，得到关于f(x)与f[g(x)]满足的关系式组，解之即可得出f(x)；

⑥赋值法：若依题目的特征，能够由特殊到一般寻找普遍规律，可将变量取特殊值，从而找出一般规律，求出解析式。

（4）函数图象的作法

①描点法：列表→描点→连线。

②变换作图法：

a. 平移：()()a y f x y f x a =??????→=-向右平移个单位； 必修一

()()b y f x y f x b =??????→=+向上平移个单位（a ，b ＞0）

b. 对称：()()x y f x y f x =?????→=-关于轴对称；

()()y y f x y f x =?????→=-关于轴对称；

()()y f x y f x =?????→=--关于原点对称

c. 其他：()|()|x x y f x y f x =???????→=保留轴上方图象，再把

轴下方图象对称到上方

； ()(||)y y y y f x y f x =????????→=保留轴右边图象，再把轴右边图象对称到轴左边。 3. 函数的单调性

（1）增函数和减函数

定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间D ?A ，如果取区间M 中的两个任意值1x ，2x ，当改变量?x=x 2-x 1＞0时，有?y=f(x 2)-f(x 1)＞0，那么就称函数y=f(x)在区间M 上是增函数；当改变量?x=x 2-x 1＞0时，有?y=f(x 2)-f(x 1)＜0，那么就称函数y=f(x)在区间M 上是减函数。

（2）单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明。

1x ，2x 的三个特征一定要予以重视。函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性，即任意取1x ，2x ，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定1x ＜2x ；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。

函数的单调性是函数在某个区间上的性质：①这个区间可以是整个定义域；②这个区间也可以是定义域的真子集；③有的函数不具备单调性。

区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点。

函数单调性的几何意义：反映在图象上，若f(x)是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的。

（3）函数单调性的判断

判断函数单调性的常用方法有：

①定义法：即“取值——作差（作商）——变形——定号——判断”。要注意的是：

当函数在其定义域上的单调区间是由几个区间组成，问题又未指明其单调区间，需要探求时，可从如下两个方面入手：a.定义域：若定义域是由几个区间组成，则其单调区间必是某个区间的子区间；b.从极端入手分析：当某个代数式的符号无法确定时，可取1x=2x，以此为界进行分类讨论。

②图象法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性。

③直接法：就是对于我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直

接写出它们的单调区间。

④常用结论：a.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反；b.函数f(x)与f(x)+c（c 为常数）具有相同的单调性；c.当c＞0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c

＜0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性；d.若f(x)≠0，则函数f(x)与

1 ()

f x具有

相反的单调性；e.若f(x)≥0，则函数f(x)

f.若f(x)，g(x)

具有相同的单调性，则f(x)+g(x)也与f(x)，g(x)具有相同的单调性；g.若f(x)，g(x)具有相反的单调性，则f(x)-g(x)具有与g(x)相反（与f(x)相同）的单调性。

当单调递增（或递减）区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应

该用“和”或“，”连接。

（4）函数单调性的证明

证明函数单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：

①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；②作差变形：作差f(x1)-f(x2)，

并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；③定号：确

定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；④判断：根据定义作出结论。

在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将f(x1)-f(x2)尽量分解写出x1-x2

因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式

符号的确定。

必修一

（5）复合函数单调性的判断

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增；相异时递减。因此复合函数的单调性可按下列步骤操作（以y=f[g(x)]为例）：

①将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u)，u=g(x)；

②分别确定各个函数的定义域；

③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；

若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数；若为一增一减或一减一增，则y=f[g(x)]为减函数。

注意：①单调区间必须在定义域内；②要确定内层函数u=g(x)的值域，否则就无法确定f(u)的单调性（特别当f(u)的单调区间是由几个区间组成时）。

（6）函数单调性的一般应用

单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用，具体体现在：

①利用单调性比较大小；②求参数的范围；③求值域或最值。

4. 函数的奇偶性

（1）函数的奇偶性

奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。

偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。

奇偶性：如果函数f(x)为奇函数或偶函数，那么，就说函数f(x)具有奇函数。

要正确理解奇函数和偶函数的定义，定义是判断或讨论函数奇偶性的依据。由定义知，若x是定义域中的一个数值，则-x也必然在定义域中，因此，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。

（2）奇偶性函数的性质

两个奇偶性函数四则运算的性质：

必修一

①两个基函数的和仍为奇函数；

②两个偶函数的和仍为偶函数；

③两个奇函数的积是偶函数；

④两个偶函数的积是偶函数；

⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

复合的奇偶函数的性质：

对于复合函数F(x)=f[g(x)]：若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；若g(x)为

奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数。

函数的分拆：任何一个函数f(x)都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和。

即f(x)=F(x)+G(x)，其中

()()()2f x f x F x +-=（偶函数），()()()2

f x f x G x --=（奇函数）。（3）奇、偶函数的图像的性质

①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心

对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

②如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；

反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要，如果我们知道一个函数是奇函

数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象。

③由于奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R 时，必有f(0)=0。

（4）函数的奇偶性与单调性间的关系

一般的，若f(x)为奇函数，则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性；若

f(x)为偶函数，则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。

（5）函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

①定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(-x)是否等于±f(x)，

或判断f(x)±f(-x)是否等于零，或判断

()

()

f x

f x-是否等于±1等。

②图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或y轴）对称，则通过函数的图象可直观看出函数的奇偶性。

③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域（关于原点对称）→验证f(-x)=±f(x)

→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f(x)±f(-x)=0或

()

()

f x

f x-=±1[f(x)≠0]

来判断。

利用定义判断函数的奇偶性时，既要判断f(x)与f(-x)的关系，又不能忽略与定义域有关的问题。

2.2 一次函数和二次函数

1.一次函数的性质与图象

（1）一次函数的概念

定义：函数y=kx+b（k≠0）叫做一次函数。它的图像是直线，以后简写成直线

y=kx+b，其中，k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

当k=0时，y=b，它不再是一次函数，图象是一条与y轴垂直的直线。

用运动的观点理解斜率k：函数的改变量(y2-y1)与自变量的改变量(x2-x1)的比值等于常数k。

从对单调性的影响理解斜率k：当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数。

必修一截距b：b是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，当b=0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数。这里截距是指在y轴上的截距，也叫做纵截距，若是在x轴上的截距，通常称为横截距，一般说来，没有指明截距的情况，通常认为是指在y轴上的截距。（2）一次函数的图像与性质

图象的画法：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两个点，再连成直线即可。

图像的特点：①正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线；②一次函数

y=kx+b 的图象是经过y 轴上点(0,b)的一条直线。

画法技巧：①画正比例函数y=kx 的图象，通常取(0,0)、(1,k)两点连线；②画一次函数y=kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0,b)(b k

-

,0)两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确，但由于b k -

多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的点。 2. 二次函数的性质与图象

（1）二次函数的定义

形如y=ax 2+bx+c （a ≠0）的函数叫做二次函数，其定义域是R 。

（2）二次函数的图象与性质

特殊二次函数y=ax 2（a ≠0）的性质和图象特征：

配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。

对任何二次函数y=f(x)=ax 2

+bx+c （a ≠0）都可通过配方化为：y=a(x+2b a )2+244ac b a -

=a(x-h)2

+k ，其中h=-2b a ，k=244ac b a -。 二次函数图象的画法：作出二次函数的图象一般用：描点作图法；平移变换法。 ①描点作图法：先找出顶点坐标，画出对称轴→找出抛物线上关于对称轴对称的四个点→把上述五点按从左到右的顺

序用平滑的曲线连接起来。

②平移规律：任意抛物线

y=ax 2+bx+c

都可转化为y=a(x+h)2+k 的形式，都可由y=ax

2图象经过适当的平移得到，具体

平移方法如图：

二次函数的图象和性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象是一条抛物线，对称

轴方程为x=-2b a ，顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -)；a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下。

抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸

必修一

（3）二次函数的解析式

①一般式：f(x)=ax2+bx+c（a≠0）；②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k（a≠0），顶点(h,k)；

③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），x1、x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标。

求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活的运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之。

一般说来，①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式f(x)=ax2+bx+c，a、b、c为常数，a≠0的形式。

②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，则设所求二次函数为顶点式f(x)=a(x-h)2+k，其中顶点为(h,k)，a为常数，且a≠0。

③若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a为常数，且a≠0。

3.待定系数法

（1）待定系数法

概念：一般的，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数。这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

理论依据：多项式恒等定理，也就是依据了若多项式f(x)=g(x)，则对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)，或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等。

利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式。运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

利用待定系数法解决问题的步骤：①设出含有待定系数的解析式；②根据恒等条件，列出含有待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）运用待定系数法求已学过的解析式的常见设法

①已知正比例函数，可设解析式为y=kx（k≠0），再利用一个独立条件求k。

②已知一次函数，可设解析式为y=kx+b（k≠0），再利用两个独立条件确定k与b。

③已知反比例函数，可设解析式为y=k

x（k≠0），再利用一个独立条件求k。

④已知二次函数，求其解析式。根据所给条件不同选择合适的待定系数，可使问题简化。常见方法有：

a.已知顶点坐标为(h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再利用一个独立条件求a；

b.已知对称轴方程为x=h，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再利用两个独立条件求a和k；

c.已知函数的最大值或最小值为k，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再利用两个独立条件求a和h；

d.已知函数与x轴仅有一个交点(h,0)，可设交点式y=a(x-h)2，再利用一个独立条件求a；

e.已知函数与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，可设交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)，再利用一个独立条件求a；

f.已知函数图象上两对称点(x1,m)，(x2,m)，可设对称点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)+m，再利用一个独立条件求a；

g.已知函数图象上的三个点，可设一般式f(x)=ax2+bx+c。

必修一

2.3 函数应用（I）

1.函数模型

在现实世界里，事物之间存在广泛的联系，许多联系可以用函数表示，用函数的观点看实际问题，是函数学习的重要内容。而函数模型是应用最广泛的数学模型之一，许多实际问题，一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数及其性质把握问题，使问题得到解决。

根据实际情景，划归为数学问题，建立函数模型，检验通过数学方法得出的数学结果是否合乎实际。若数学结果合乎实际，则说明了这个数学结果是可用的，这个函数模型是有效模型；若数学结果不合乎实际，则说明了这个数学结果是不正确的，必须重新建立函数模型。

目前常见的函数模型有正比例函数模型、反比例函数模型、一次函数模型、二次函数模型等。

一次函数模型：y=kx+b（k≠0）也称为线性函数模型，这种函数模型在实际中经常用到。

二次函数模型：生活中最常见的一种函数模型，因为二次函数可求其最大值（最小值），故最优、最省等最值问题常常是二次函数的模型。

2.解答应用问题的基本思想和程序

（1）基本思想

必修一（2）程序：“四步八字”

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③求模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将数学结论还原为实际问题的意义。

3.解答应用题的关键

解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意，又必须过好三关：

①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；

②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；

③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力。

2.4 函数与方程

1.函数的零点

（1）函数零点的概念

一般的，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做这个函数的零点。对于函数零点的另一叙述为：函数f(x)的图象与x轴的交点叫这个函数的零点。

方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有交点。若方程f(x)=0有二重根，则称函数y=f(x)有二阶零点。

（2）函数零点的性质

如果函数的图象是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号。但对于二次函数来说，如果它有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号不改变。

如果函数的图象是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。

注意：函数是否有零点是针对相应方程是否有实根而言的，若方程f(x)=0没有实数根，则函数y=f(x)没有零点。

（3）函数零点与方程根的关系

根据函数零点的定义知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)=0，所得实数根就是f(x)的零点。

二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系：

由此可见，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们转化为求函数y=f(x)的零点，从而求出方程的根，这也是求方程根的一种方法。

（4）函数零点的判断（零点分析法）

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解。这种利用函数性质判定方程实数解的方法也叫零点分析法。

零点分析法的几何意义是，在闭区间[a,b]上有连续曲线y=f(x)且连续曲线的始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则此连续曲线与x轴至少有一个交点。

零点分析法实现了函数与方程之间的相互转化，开辟了另一条判断方程解的途径。（5）零点性质、零点分析法的运用

①与函数的零点及其个数有关的问题；

②函数的零点与图象性质的有关问题。