文科高考试题分类圆锥曲线

07 圆锥曲线

一、选择题

1．（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95

x =±”的（ A ） A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．（福建12）双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，

且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）

A.（1，3）

B.（1，3）

C.（3，+∞）

D. [3，+∞]

3．（宁夏2）双曲线

22

1102

x y -=的焦距为（ D ）

A ．

B ．

C ．

D ．4．（湖南10）．双曲线

)0,0(122

2

2>>=-b a b

y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )

A ．

B ．)+∞

C ．1]

D ．1,)+∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）

A ．(0,1)

B ．1

(0,]2 C ． D ． 6．（辽宁11）已知双曲线2

2

2

91(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1

5

，则m =（ D ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．

2

2

1+ B ．

2

3

1+ C ． 21+ D ．31+

8．（上海12）设p 是椭圆22

12516

x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ）

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

9．（四川11）已知双曲线22

:

1916

x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF

F ?的面积等于( C ) （Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96

10．(天津7) 设椭圆22221(00)x y m n m n

+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离

心率为

1

2

，则此椭圆的方程为（ B ） A ．

22

11216

x y += B ．

22

11612

x y += C ．

22

14864

x y += D ．

22

16448

x y += 11．（浙江8）若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的

离心率是( D )

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

12．(重庆8)若双曲线22

21613x y p

-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为( C ) (A)2

(B)3

(C)4

2

13．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点

P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④12

12

.c c a a < 其中正确式子的序号是 ( B )

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

14．(陕西9) 双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别

是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲

线的离心率为（ B ） A

B

C

D

．

3

二、填空题

1．（安徽14）．已知双曲线

22

112x y n n -=-

n ＝ 4 2．（宁夏15）过椭圆22

154

x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．

5

3 3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2，以O 为圆心，

a 为半径的圆，过点???

? ??0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =

2 4．（江西14）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>

的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．22

3144

x y -=

5．（全国Ⅰ14）已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

1

2

6．（全国Ⅰ15）在ABC △中，90A ∠=，3

tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ．

1

2

7．（全国Ⅱ15）已知F 是抛物线2

4C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的

中点为(22)M ，

，则ABF △的面积等于 ．2 8．(山东13) 已知圆2

2

:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线

的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．

22

1412

x y -= 9．（上海6）若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a = ．-1

10．（浙江13）已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点

若1222=+B F A F ，则AB = 。8

三、解答题 1．（安徽22）．（本小题满分14分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证： 22

2AB COS θ

=

-;

（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求

AB DE + 的最小值

解 ：（1）由题意得：

2

22

2222

8

44c a a c b a b c

=???=??=??=???

?=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2

2

e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =-

作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112

2

AF =

∴ 112

(cos )2FH AF θ=

+ 12

2cos 2

θ=

1AF =

∴

同理

1BF =

112

2cos AB AF BF θ

=+=+=-∴。 方法二： 当2

πθ≠

时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+

将其代入方程 2

2

28x y += 得 2

2

2

2

(12)88(1)0k x k x k +++-= 设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.

22121222

88(1),.1212k k x x x x k k -+=-

=++∴

AB ===

22

)

12k k +==

+ ................(1) 22

tan ,k θ=∵代入（1）式得

2

2cos AB θ

=

- ........................(2) 当2

πθ=

时，AB = 仍满足（2）式。

22cos AB θ

=

-∴

（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得

22cos AB θ=

-

，22sin DE θ

=-

2222212cos 2sin 2sin cos 2sin 24AB DE θθθθθ

+=

+==--++

当34

4

π

π

θθ=

=

或时，AB DE +

2．（北京19）（本小题共14分）

已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2

2

34x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．

设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，． 由2234x y y x

?+=?=?，得1x =±． 所以12222AB x =-=．

又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． 所以2h =

1

22

ABC S AB h =

=△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，

由2234x y y x m

?+=?=+?，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以2

12640m ?=-+>．

设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232m

x x +=-，212344m x x -=，

所以2

123262m AB x -=-=．

又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22

m BC -=

所以2

2

2

2

2

210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640?=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 3．(福建22)（本小题满分14分）

如图，椭圆22

22:1x y C a b

+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解法一：

（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,

所以椭圆C 前方程为13

42

2=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).

设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3

42

2n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.

设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②

n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③

由②，③得 x 0=

5

23,52850-=

--m n

y m m .

所以点M 恒在椭圆G 上.

(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入

3

42

2y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=

.4

39

,4362

212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4

33

3·344)(22212

21++=

-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则

1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(342

2

2

22222

2

22

2

222

020=--+-=

-+-=

-+--=-+

--=+m m

m m n m m n m m m n m m y x 由于

|y 1-y 2|＝

，

＋）－－（＝＋）－（＝－　4

1

2113411341

·3432λλλλ

λ 因为λ≥4，0<

时，

，＝，即＝所以当044

1

1,41≤1

=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.2

9

2323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：

（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).

设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13

42

2=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……② n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠5

23,528525-=

--=

x y

n x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3

42

2y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3

(1)02

3(4)0,2

n m y n m y ?--=????-++=??

解得0,

0,n y =??=?

与a ≠0矛盾.

所以点M 的轨迹方程为

22

1(0),43

x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上. （Ⅱ）同解法一.

4．（广东20）（本小题满分14分）

设b ≥0，椭圆方程为22

222x y b b

+=1，抛物线方程为x 2=8(y -b ).如图

6所示，过点F （0,b +2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交

点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A 1B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABC 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

解：（1）由()2

8x y b =-得 2

18

y x b =

+ 当2y b =+时，4x =±，∴G 点的坐标为（4，b ＋2） 1

4

y x '=

， 4

1x y ='=

过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令y ＝0得 2x b =- ，∴1F 点的坐标为 （2-b ，0）； 由椭圆方程得1F 点的坐标为（b ，0）， ∴ 2b b -= 即 b ＝1，

因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-．

（2）

过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,

∴以PAB ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 同理以PBA ∠为直角的Rt ABP 只有一个; 若以APB ∠为直角, 设P 点的坐标为2

1(,

1)8

x x +，则A 、B 坐标分别

为(

、

由2

22

12(1)08

AB AB x x =-++=得

42

1510644

x x +-=， 关于2x 的一元二次方程有一解，∴x 有二解，即以APB ∠为直角的Rt ABP 有二个;

因此抛物线上共存在4个点使ABP 为直角三角形．

5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）

已知曲线C 1：cos sin x y θθ=??=?，（θ为参数），曲线C 2

：22

x y ?=-??

?

?=

??

（t 为参数）． （Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出

12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你

的理由．

解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．

2分

1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C

的普通方程为0x y -+=．

因为圆心1C

到直线0x y -=的距离为1，

所以2C 与1C 只有一个公共点． ········································································· 4分 （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

1C '：cos 1sin 2

x y θθ=???=??，（θ为参数） 2C '

：24

x y ?

=-????=??

（t 为参数） ····················· 8分 化为普通方程为：1C '：2

2

41x y +=，2C '

：122

y x =+，

联立消元得2

210x ++=，

其判别式2

4210?=-??=，

所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．10分 6．（江西22）已知抛物线2

y x =和三个点

00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2

000(,0)y x y ≠>，过点M 的

一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线

C 于E F 、．

（1）证明E F N 、、三点共线；

（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．

（1）证明：设2

2

1122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、

则直线AB 的方程：()22

212

1112

x x y x x x x x -=-+-

即：1212()y x x x x x =+-

因00(,)M x y 在AB 上，所以012012

()y x x x x x =+-①

又直线AP 方程：210

01

x y y x y x -=+

由210

012x y y x y x x y

?-=+???=?

得：22

10010x y x x y x ---=

所以22

1000

12111,E E E x y y y x x x y x x x -+=?=-=

同理，200

222

,F F y y x y x x =-=

所以直线EF 的方程：2

012

01212

()y x x y y x x x x x +=--

令0x x =-得0

120012

[()]y y x x x y x x =

+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线

（2）解：由已知A B M N 、、、

共线，所以(

)

00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2

2

00x y y y +-=

由()22002x y y y x y

?+-=??=??得()22000210y y y y y --+-=

所以0y y =（舍去），01y y =-

要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥

所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y

则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=

7．(江苏选修) 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．

解： 因椭圆2213x y +=

的参数方程为 (sin x y φ

φφ

?=??=??为参数） 故可设动点P

的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.

因此1sin sin )2sin()23

S x y π

φφφφφ=+=+=+=+ 所以。当6

πφ=

是，S 取最大值2

8．（湖南19）(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.

解 （Ⅰ）设椭圆的方程为22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0).

由条件知c =2,且2

2a c

=λ,所以a 2=λ,

b 2=a 2-

c 2=λ-4.故椭圆的方程是

2

21(4).4

x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是y=k(x-1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F 2(x 0,y 0),则

00002(1),2

21.

2

y x k y

k x +?=-????=--??解得02022,12.1x k k y k ?=??+??=?+? 因为点F ′(x 0,y 0)在椭圆上，所以22

2222()()11 1.4

k k k λλ+++=-即 λ(λ-4)k 4+2λ(λ-6)k 2+(λ-4)2=0.

设k 2=t ,则λ(λ-4)t 2+2λ(λ-6)t +(λ-4)2=0.

因为λ＞4,所以2

(4)(4)

λλλ--＞0.

9．（辽宁21）．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，点P

到两点(0-，

，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．

（Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？

解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C

是以(0(0-，

为焦点，长半轴为2

的椭圆．它的短半轴1b =

=，

故曲线C 的方程为2

2

14

y x +=． ······································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足

2

214 1.y x y kx ?+

=??

?=+?

， 消去y 并整理得2

2

(4)230k x kx ++-=， 故121222

23

44

k x x x x k k +=-

=-++，． ····························································· 6分 OA OB ⊥，即12120x x y y +=．

而2

121212()1y y k x x k x x =+++，

于是2221212222233241

14444

k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1

2k =±

时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥． ················································ 8分 当12k =±时，12417x x +=，1212

17

x x =-．

(AB x ==

而22

212112()()4x x x x x x -=+-

2322

4434134171717??=+?=，

所以465

17

AB =

． 12分 10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1

l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、

、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：2

2

2

()()m d m m d -+=+

得：

14d m =，tan b AOF a ∠=，4

tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==

由倍角公式∴2

2431b

a b a =??- ???，解得

12b a

= 则离心率

2e =

．

（2）过F 直线方程为()

a

y x c b =-- 与双曲线方程22

2

21x y a b -=联立

将2a

b =，c

=代入，化简有22

152104x x b -+

=

124x =-=

将数值代入，有

4=解得3b =

最后求得双曲线方程为：22

1

369x y -=．

11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程2

2

(14)4k x +=，

故21x x =-=

由6ED DF =知01206()x x x x -=-

，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+．

所以

212k =+，

化简得2

242560k k -+=，

解得23k =

或3

8

k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB

的距离分别为

1h =

=

2h =

=

． ······················································· 9分

又AB =

=，所以四边形AEBF 的面积为

121

()2

S AB h h =

+ 15

2

5(1

4k =

+

=

=

≤

当21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为． ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△

222x y =+ ···································································································· 9分

=

=

=

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 12分

12．(山东22．（本小题满分14分）

已知曲线11(0)x y

C a b a b

+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径

为

3

．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；

（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．

（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．

解：

（Ⅰ）由题意得2ab ?=?

=

又0a b >>，

解得2

5a =，2

4b =．

因此所求椭圆的标准方程为22

154

x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，

()A A A x y ，．

解方程组22

154x y y kx ?+=???=?

，，

得22

2045A x k =+，22

22045A k y k =+， 所以222

2

2222

202020(1)

454545A

A

k k OA x y k k k

+=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，

所以2

2

2

MO OA λ=，即22

2

2

2

20(1)

45k x y k λ++=+，

因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1

y x k

=-， 即x k y

=-

， 因此2222

2222222

2

20120()4545x y x y x y x y x y

λλ??+ ?+??+==++， 又2

2

0x y +≠， 所以2

2

2

5420x y λ+=，

故22

245

x y λ+=．

又当0k =或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M 的轨迹方程为22

2(0)45

x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得2

2

2045A

x k

=+，22

22045A k y k =+， 由22

1541x y y x k ?+=????=-??

，，

解得2222054M k x k =+，2

2

2054M y k =+， 所以22

2

2220(1)45A

A

k OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，222

20(1)54k OM k

+=+． 解法一：由于22

2

14

AMB S AB OM =

△ 2222180(1)20(1)44554k k k k ++=??++ 2222400(1)(45)(54)

k k k +=++ 222

2

2

400(1)45542k k k +??+++ ?

??

≥

2

2222

1600(1)4081(1)9k k +??

== ?+??

， 当且仅当2

2

4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是40

9

AMB S =

△．

当0k =

，140

229

AMB S =?=>

△． 当k

不存在时，140

429

AMB S ==>△．

综上所述，AMB △的面积的最小值为40

9

．

解法二：因为

2

2

2222

1111

20(1)20(1)

4554k k OA

OM

k k +

=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，

又

2

2

112

OA OM

OA

OM

+

≥，409OA OM ≥，

当且仅当2

2

4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，

此时AMB △面积的最小值是409

AMB S =

△．

当0k =，140

229

AMB S =?=>△．

当k 不存在时，140

429

AMB S ==>△．

综上所述，AMB △的面积的最小值为40

9

．

13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知双曲线22

12

x C y -=：．

（1）求双曲线C 的渐近线方程；

（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记MP MQ λ=．求λ的取值范围；

（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．

【解】（1）所求渐近线方程为0,022

y x y x -=+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=?=-?---

22

200031 2.2

x y x =--+=-+ ……………7分

02x ≥

λ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分

（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，

则直线l 的斜率.k ?∈ ??

……………11分

由计算可得，当()1

(0,],2k s k ∈时

当(

)1,2k s k ?∈ ??

时 ……………15分

∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是(

)1(0,],21.2k s k k ∈=?∈ ???….16分

14．（四川22）（本小题满分14分）

设椭圆()22221,0x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F

，离心率2e =，点2F 到右准

线为l

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，1

20FM F N ?=， 证明：当MN 取最小值时，12220F F F M F N ++= 【解】：因为a

e c

=

，2F 到l 的距离a d c c =-，所以由题设得

2a c

a c c

?=????-=??

解得2c a == 由2

2

2

2b a c =-=

，得b =

（Ⅱ）由2c a =

=

得(

))

12

,F F ，l

的方程为x =

故可设(

)()

12,M y N y

由知1

2

0FM F N ?=知

(

)(

)

120y y ?=

得126y y =-，所以1221

60,y y y y ≠=-

121111

61MN y y y y y y =-=+

=+≥

当且仅当1y =时，上式取等号，此时21y y =-