实数复习小结

第二章实数复习小结

知识结构

基础知识回顾

1．无理数的定义

2．有理数与无理数的区别

有理数总可以用分数或整数表示；反过来，任何整数或分数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

3.常见的无理数类型

(1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···

(2)看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数

逐次加1)。

(3)有特定意义的数，如：π=3.14159265···

,3。

(4).开方开不尽的数。如：35

4．算术平方根。

(1)定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根

(2)我们规定：0的算术平方根是0

(3)性质：算术平方根a具有双重非负性：

①被开方数a是非负数，即a≥0.

②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

也就是说，任何大于0的算术平方根是一个正数，

5．平方根

（1） 定义：

（2） 非负数a 的平方根的表示方法:

（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。

( )只有一个平方根，它是( )。

( )没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意：

a ≠±a 。 6.平方根与算术平方根的区别与联系：

区别：①定义不同

②个数不同：

③表示方法不同：

联系：①具有包含关系：

②存在条件相同：

③ 0的平方根和算术平方根都是0。

7．开方运算：

（1） 定义：

① 开平方运算：

② 开立方运算：

（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。

8．a 2的算术平方根的性质

①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2a =（ ）

一般的，当a<0时，2a =-a.

我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a.

综上所述，有 a (a ≥0)

2

a =│a │=

-a (a<0)

从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 9．立方根

（1） 定义：______________________________.

（2） 数a 的立方根的表示方法:_________

（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________

（4） 两个重要的公式

为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333==

10．实数

（1） 概念：________和________统称为实数。

（2） 分类 按定义

_______

________

_______

________ ___ 有限小数或________小数 _______

实数 ________

_______

________

按大小 正实数

实数 零

负实数

(3)实数的有关性质

⑴a 与b 互为相反数〈=〉a+b=0

⑵a 与b 互为倒数〈=〉ab=1

⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ≥0

⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =a -

⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.

（4）实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点是一一对应的关系

（5） 实数的大小比较

1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

（6） 实数中的非负数及其性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数我们已经学过的非负数有如下三种形式

⑴任何一个实数a 的绝对值是非负数，即a ≥0 ⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a ≥0； ⑶任何一个非负数a 的算术平方根是非负数，即a ≥0

非负数有以下性质

⑴非负数有最小值零

⑵有限个非负数之和仍然是非负数

⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

11..二次根式的两条运算法则

(4) ),0a )

0,0(>≥=≥≥=?b b a b a

b a ab b a （