狭义相对论练习(答案版)

狭义相对论练习

4-1 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m 。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？（3）宇航员测得两位观察者相距多远？

【解】（1）)(4.5699.01400/12220m c u l l =-=-=

（2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m 。

（3）上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为

)(96.799.014.56/12220m c u l l =-=-=

所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m 。

4-2 一艘飞船原长为l 0，以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为u ，求地面观察者测得小球运动的时间。

【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为)','11t x （，小球到达头部的时空坐标为

)','22t x （。地面上测得小球运动的时间为： )

''(/11)'

'(/11)''(/11

22

2211222222

212c x v t c v c vx t c

v c vx t c v t t t ?+?-=+--+

-=

-=?

012''l x x =- ，u l t t /''012=-

2220222/1)

/1()''(/11

c

v u c uv l c x u t c u t -+=

?+?-=?∴

4-3 在实验室中测得两个粒子均以0.75c 的速度沿同一方向飞行，它们先后击中同一静止靶子的时间间隔为5×10-8 s 。求击中靶子前两个粒子相互间的距离。 【解】(m)25.11=?=?t u x

4-4 一星体与地球之间的距离是16光年。一观察者乘坐以0.8c 速度飞行的飞船从地球出发向着星体飞去。该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？试解释计算结果。

【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为：

)(6.98.01/1L '02220光年=-=-=L c u L

)(128.0'

'年==

?c

L t 地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为：)(208.00

年==

?c

L t 飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。

4-5 一根固有长度为1 m 的尺子静止在S′系中，与O ′x′轴成30°角。如果在S 系中测得该尺与Ox 轴成45°角，则S′ 系相对于S 系的速度u 是多少？S 系测得该尺的长度是多少？

【解】在'S 系中，米尺在x′ 轴方向的投影长度为：(m)2

3

30cos '0=

=

L x

在y ′ 轴方向的投影长度为：(m)5.030sin '0== L y 在S 系中，米尺在y 轴方向的投影长度不变，)(5.0'm y y == 由于米尺在S 系中测得该尺与Ox 轴的夹角为45°，则在x 轴方向的投影长度为：)(5.0m x =，即

2222/12

3

5.0'/1c u x c u x -=

?-= S′ 系相对于S 系的速度为：c u 3

2=

S 系中测得该尺的长度为：(m)707.05.02=?=L

4-6 一立方体的质量和体积分别为m 0和V 0。求立方体沿其一棱的方向以速速u 运动时的体积和密度。

【解】 设立方体沿x 方向运动，立方体的一条棱边平行于x 轴。 立方体的原边长为300V a =

运动时，沿x 轴方向边长为：02

2/1'a c u a -=

因此物体的体积为：2

2000022/1/1'c u V a a a c u V -=??-=

运动时，物体的质量为：02

2

/11m c

u m -=

因此运动时物体的密度为：

1220022002

2)/1(/1/11''--=--==

c u V m c u V m c u V m ρ

4-7 天津和北京相距120 km 。在北京于某日上午9时整有一工厂因过载而断电。同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。试求在以c 8.0沿北京到天津方向飞行的飞船中的观察者看来，这两个事件相距多远？这两个事件之间的时间间隔是多少？哪一事件发生的更早？

【解】（1）设飞船为'S 系，地球为S 系，北京发生事件1，天津发生事件2。飞船测得这两个事件的距离为：

2

2

2

2

202

2

1012/1/1/1'''c

u t u x c

u ut x c

u ut x x x x -?-?=

---

--=

-=?

)(80)(10808.010003

.01038.01012032

83km m =?=-???-?=

（2）飞船测得这两个事件的时间间隔为：

)(/11'2

2

2c x

u t c u t ?-

?-=

? )(1033.3))103(101201038.00003.0(8.011

52

83

82

s -?-=?????--= 0'

4-8 地球上的观察者发现，一艘以c 6.0的速度航行的宇宙飞船在5 s 后同一个以c 8.0的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。（1）飞船上的人看到彗星以多大速率向他们接近。（2）按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许它离开原来的航线以避免相撞？

【解】（1）设地球为S 系，飞船为'S 系。由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星速度为：

c c c c uv u v v 95.06

.0)8.0(16.08.0/1'2-=?----=--=

即彗星以c 95.0的速率向飞船接近。

（2）飞船上测得测得离发生碰撞的时间间隔为：

)(46.015/1'222s t c u t =-?=?-=?

4-9 一原子核以0.6c 的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向后发射一光子，向前发射一电子。电子相对于核的速度为0.8c 。对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？

【解】设观察者所在参考系为S 系，原子核为S ’系。 洛伦兹速度变换式2

/1'c vu u

v v ++=

由题意可知，c u 6.0=，电子c v 8.0'=，光子c v -=' 电子的速度 c c

c c vu u v v 946.06

.08.016.08.0/1'2

=?++=++=电子 光子的速度 c c

c c vu u v v -=?-++-=++=6

.0)1(16.0/1'2

光子 4-10

（1）火箭A 以0.8c 的速度相对于地球向正东飞行，火箭B 以0.6c 的

速度相对于地球向正西飞行，求火箭B 测得火箭Ａ的速度大小和方向。（2）如果火箭A 向正北飞行，火箭B 仍向正西飞行，由火箭B 测得火箭Ａ的速度大小和方向又是如何？

【解】取正东为x 轴的正向，正北为y 轴的正向，根据洛伦兹速度相对变换式

2/1'c u v u v v x x x --=， 222/1/1'c u v c u v v x y y --=， 2

22/1/1'c

u v c u v v x z z --= （1）将c u 6.0-=，c v x 8.0=，0=y v ，0=z v 代入，得：

c c c c u v u v v x x x 95.0.6)

0(8.01)6.0(8.0/1'2=-?---=--=

0/1/1'2

22=--=

c u v c u v v x y y

0/1/1'2

2

2=--=c

u v c u v v x z z 即在火箭B 上测得火箭Ａ的速度大小为c 95.0，方向为正东。 （2）将c u 6.0-=，0=x v ，c v y .80=，0=z v 代入，得：

c c c u v u v v x x x 6.0.6)0(01)

6.0(0/1'2=-?---=--=

c c c u v c u v v x y y 64.0)

6.0(016.018.0/1/1'22

22=-?--?=--=

0/1/1'2

2

2=--=c

u v c u v v x z z c v v v y x 87.0''22=+=， 8.466.064.0==c

c

arctg

θ 即在火箭B 上测得火箭Ａ的速度大小为c 87.0，方向为东偏北

8.46。 4-11

北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到能量为eV 1000.39

?。

求：（1）这个电子的质量是其静止质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多大？和光速相比相差多少？（3）这个电子的动量有多大？ 【解】（1）根据20202

20k /11-c m c m c u E E E --=

=，

eV 1051.0620?=c m 可得：

588311051.01000.31/11

69

022=+??=+=-E E c u k

002

2

5883/11m m c

u m =-=

即这个电子的质量是其静止质量的5883倍。

（2）由上式可计算出这个电子的速率为：c u 60.99999998= 与光速相比，相差：)/(3.34101.44-8s m c u =?=?

（3）电子的动量为：c

c m E E p k k 2

02

2+=

由

于

2

0c m E k >>，

所

以

有

)/(106.110

3106.1103188

199s m kg c E p k ??=????=≈-- 4-12 一个电子的总能量是它静能的5倍，求它的速率、动量、总能分别是

多少？

【解】（1）根据k 0E E E +=，2

mc E =，200c m E =可得：

00

05m m m m

E E =?=

由02

2

/11m c

v m -=

，求得电子的速率为：

)/(1094.25

24

8s m c v ?==

（2）电子的动量：)(1034.1c 5

24

5210m/s kg m mv p ??=?

==- （3）电子的能量：)(1028.3413

2

00k J c m E E E -?==-=

4-13 （1）把一个静止质量为m 0的粒子由静止加速到0.1c 所需的功是多

少？（2）由速率0.89c 加速到0.99c 所需的功又是多少？（3）两次加速得到的速度增量是一样的，哪一次需要的功更多，并说明其原因。

【解】（1）由相对论的功能关系，电子由静止加速到0.1c 所需的功为：

20202

22021005.0)1/11(

-c m c m c v c m mc W =--==

（2）同理，电子由速率0.89c 加速到0.99c 所需的功为：

202

2

12

2

221222)/11/11(

-c m c v c v c m c m W --

-==

20202

2

.94)9.80119.9011(

c m c m =--

-=

4-14

一个电子由静止出发，经过电势差为1.0×104 V 的均匀电场，电子被

加速。已知电子静止质量为m 0=9.11×10-31 kg ，求：（1）电子被加速后的动能；（2）电子被加速后质量增加的百分比；（3）电子被加速后的速率。 【解】（1）根据)(106.11010

6.115419

k J V e E --?=??=?=

（2）由相对论的动能表达式202k -c m mc E =，可得质量的增量为：

)(1078.132

20kg c

E m m m k -?==

-=? 电子质量增加的百分比为：

%21011.91078.131

32

0=??=?--m m （3）电子加速后质量为：)(10

29.931

0kg m m m -?=+?=

由质速关系式02

2

/11m c

v m -=

，可得：

)/(1085.5)29

.911.9(1103)(

172

820s m m m c v ?=-??=-= 4-15

太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当于热

核反应：e He H H H H 1

0421********+→+++。

已知：一个质子（H 11）的静止质量是kg 1065672.127P -?=m ，一个氦核

（He 4

2）的静止质量是kg 1050642.627H e -?=m ，一个正电子（e 10）的静

止质量是kg 1011.931e -?=m 。求：这一反应所释放的能量是多少？（2）消耗1kg 的质子可以释放的能量是多少？（3）目前太阳辐射的总功率为

W 109.326?=P ，它一秒钟消耗多少千克质子？

【解】（1）释放能量为：

28-31-27-27210(3)109.112-106.64250-10651.672(4）

???????=?=?mc E )(105.14-12

J ?=

（2）消耗1kg 的质子释放的能量为：

)/(1020.6)1067265.14/(105.141427-12kg J ?=???-

（3）太阳一秒钟消耗质子的质量为：

)/(1029.6)1020.6/(109.3111426s kg ?=??

4-16

两个静止质量都是m 0 的小球，其中一个静止，另一个以v =0.8c 运动。

它们对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。

【解】两小球碰撞前后能量守恒，则有：

2220c m mc c m 合=+ 合m m c

v m =-+

?02

2

0/11

两小球碰撞前后动量守恒，则有：

'v m mv 合= ')1/11(

/11102

2

02

2

v m c

v v m c

v +-=--?

将c v 8.0=代入，解得：03

8

m m =合， c v 5.0'= 因为02

2

/'11合合m c

v m -=

，所以有：

02022031.25.013

8

/'1m m c v m m =-=-=合合

即碰撞后合成小球的静止质量为031.2m 。