2015年春最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案

16.1二次根式(1)

一、学习目标

1. 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2. 掌握二次根式有意义的条件。

3. 掌握二次根式的基本性质：ja 0(a 0)和(

二、学习重点.难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质很0(a 0)和(Ji)2a(a 0)。

三、学习过程

(一)复习回顾：

(1) 4的算术平方根为2，用式子表示为壬4 ______ ；正数a的算术平方根为

0的算术平方根为 ;式子显 0(a 0)的意义是。

(二)自主学习

(1) 6的算术平方根是;

(2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单位:

米)满足关系式h 5t2。如果用含h的式子表示t,贝U t=

(3) 圆的面积为S,则圆的半径是 ;

(4) 正方形的面积为b 3，则边长为

'■5兰，等式子的实际意义.说一说他们的共同特征

定义：一般地我们把形如石 (a 0 )叫做二次根式，a叫做。、厂称为。

1. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

J3 v'T6 新4~5住(2 0) Jx21

a

3

2. 当a为正数时拓指a的，而0的算术平方根是 ,负

数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式j a中，字母a必须满足, Va才有意义。

3. 根据算术平方根意义计算：

(1)(幅)2(2) (J3)2(3) (J05)2(4) (&2

根据计算结果，你能得出结论：3搭)2，其中a 0,

4. 由公式(JE)2a(a 0),我们可以得到公式a=^'a)2,利用此公式可以把任意一个非

负数写成一个数的平方的形式。

如（<5 ）2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=（ <5 ） 2.

练习：（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：①3 ②0.35（2）在实数范围内因式分解：①x27 ②4 a2-11

（三）合作探究展示：

例：当x是怎样的实数时，Jx 2在实数范围内有意义？

练习：1. x取何值时，下列各二次根式有意义？

① V3F^4 ②v2a~~3 ③1

V 2 x

2. （1）若J a 3 J3 a有意义,贝U a的值为.

（2）若J 在实数范围内有意义，贝U 乂为（）。

A.正数

B.负数

C. 非负数

D.非正数

3. （1）在式子一中，x的取值范围是_____________________ .

1 x

2

（2）已知V x 4 + J2x y = 0,贝U x y .

（3）已知y 03 x v x 3 2，则y x=。

（四）达标测试

2. 若V2x 1 y 1 0 ,那么x=, y =。

3. 一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为（）

A. a 3

B. ,a 3

C.、. a 3

D. a23

4. 二次根式Ja 1中，字母a的取值范围是（）

A. a< l

B. av 1

C. aA 1

D. a> 1

2. 已知Vx―3 0则x的值为A. x>-3 B. x<-3 C. x=-3 D. x的值不能确定

（五）小结反思：

16.1二次根式(2)

、学习目标

1. 掌握二次根式的基本性质：J a2a

2. 能利用上述性质对二次根式进行化简^

二、学习重点.难点

重点：二次根式的性质4a2 a .

难点：综合运用性质何 a进行化简和计算。

三、学习过程

(一)复习引入：

(1) 什么是二次根式，它有哪些性质？

(2) 二次根式J—有意义，则x 。

x 5

(3) 在实数范围内因式分解：x26 x2( ) 2= (x+ ) (y-)

(二)自主学习

1. 计算：_______________________ 侦42 V0.22j(4)2 J202

观察其结果与根号内藉底数的关系，归纳得到：当 a 0时，

2. 计算：—& 0.2)2J( 4)2—<( 20)2

5

观察其结果与根号内藉底数的关系，归纳得到：当 a 0H寸，后

3. 计算：<02当a 0时，播

(三)合作探究展示：

1. 归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

a a 0

V a7a 0 0

a a 0

2. 化简下列各式：

(1) 、0.32 (2) v( 0.5)2 (3) J( 6)2

3,请大家思考,讨论二次根式的性质（Ji ）2 a （a 0）与Ji a 有什么区别与联系。

（四）巩固练习

1. 化简下列各式

2,化简下列各式

a 可将二次根式被开方数中的完全平方式 “开方”出来，达到化简的目的,

进行化简的关键是准确确定“ a”的取值。 （五）达标测试：

1. (2x 1)2-( 2x 3)2 (x 2)=

2. .(

4)2

3. 化简：见课本4页练习第2题

4.化简：

a .

b .

c 为三角形的三条边，贝U 侦（a b c ）2 b a c 的值是多少。

（六）小结反思:

2

(4)寸 2a

(a 0)

(1) 4x 2(x

0)

(1)<(a 3)2

(a 3)

2

(2) q 2x 3

(x v -2 )

注：利用va 2

16.2二次根式的乘除法

16.2.1二次根式的乘法

、学习目标

理解 V a -扼=V ab (a>0, b>0), 4a b = 4a - JB (a>0, b>0),并利用它 们进行计算和化简 二、 学习重点.难点

重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、 学习过程

(一) 复习引入

1

.填空：(1) ^4 x 贿=, >/r _9 =

而 x V25_j16 25

V100 X T36—J100 36

(二) 合作探究展示：

1. 学生交流活动总结规律.

2.

一般地，对二次根式的乘法规定为

(三)

学生小组交流解疑，教师点拨 .拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)、,(4) (9)

,~4 ~9

(2)而 x ^25=, J16 25 =

(3) 7100x ^36=—, J100 36 = 扃-布=Tab . (a> 0, b>0反过来：

Tab ^a -扼(a> 0, b>0)

例1.计算

(1)

病 x J 7 (2) , x 姬

例2.化简

(1)

好76 (2)J1d

巩固练习

(1) 计算： ①依X 扼

(3) J81 100 (4) J9x 2y 2 (5) 754

②545 x 2 JT5

(2)化简：』赤;

718;

24 ;

54;

12a 2b 2

(2) 1412 X 廖=4xJ12 X J25=4 12 X 棒=4虐=8焰

:25 ' \ 25 ' \ 25 ' ^ '

（四）展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于如x 727的运算中不必把它变成^ 243后再进行计算，你有什么好办法？

注：1.当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2. 化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

（五）达标测试：

1.选择题

X1成立的条件是（）

(1)等式X 1?x 1 2

A.x> 1 B . x> -1C.-1 < x< 1 D . x> 1 或xv -1

(2)下列各等式成立的是（).

A. 4 扼X 2/5 =8 扼

B.5龙X 4^2=20 75

C. 4 73 X 3 捉=7后

D.5 的X 4 侦2 =20 J6

(3)二次根式技2）2 6的计算结果是（）

A.2扼 B . -2扼C.6 D . 12

2. 化简：

（1） <360 ; （2）』32X4；

3. 计算：

（1）屈成-（2）V3 J—；

.75

3. 不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

⑴-3

（六）小结反思:

16.2.2二次根式的除法

一、 学习目标

1. 掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、 学习重点.难点

重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、 学习过程 （一）复习回顾：

1. 写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

（二）合作探究展示：

1. 计算：（见课本8页例4）

.12

(1)

石(2)

2.计算:

（1）3 廿

8 x （-4 76）

(2) 12ab

6ab 3

3.填空:

规律:

9

16

般地, (2)

(3)

项

36 16 36

项

36

16 —；

36

.4

、4

一布

.36 .81

36

号一

.36 .81

对二次根式的除法规定:

?.「a

- b

-64 ⑷.E