【学案】用二次函数的图像解一元二次方程

【一】明确学习目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2、经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图像法求方程近似根的体验与方法.

3、理解二次函数的图像和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根.

4、进一步发展学生的估算能力，体验数形结合思想.

【二】自主预习

预习教材，自学〝思考〞与〝例题〞，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图像求对应一元二次方程的近似解，并尝试完成自主预习区。

【三】合作探究

活动1 小组交流讨论，归纳，填表，在此基础上教师小结。

要求①二次函数与一元二次方程之间的关系

要求②：抛物线与x 轴的交点个数同一元二次方程的根的情况之间的关系

活动2 反馈练习

①观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程022=-+x x 的根是____________；

方程0962=+-x x 的根是___________；

方程012=+-x x 的根是____________；

②如下图，你能直观看出哪些方程的根？

教师点拨：此题充分表达二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数322++-=x x y 中，y 为某一确定值m 〔如4、3、0〕时，相应x 值是方程)034(322、、m m x x ==++-的根.

③抛物线c bx ax y ++=2如下图，那么关于x 的方程032=-++c bx ax 的根是_______________.

教师点拨：此题解法较多，但是根据图像来解是最简单的方法. 活动3 新知应用

例1 二次函数12)14(222-++-=k x k x y 的图像与x 轴交于两点，求k 的取值范围.

教师点拨：根据交点的个数来确定ac b 42-的正、负是解题的关键，并熟悉它们之间的对应关系.

活动4 自学教材，例题总结，用图像法求相应一元二次方程的近似根.

【四】当堂检测

〔1〕基础练习

〔2〕提升练习

1、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的公共点是〔－1，0〕、〔3，0〕，求抛物线的对称轴.

2、画出函数322--=x x y 的图像，根据图像回答：

①方程0322=--x x 的解是什么？

②x 取什么值时，函数值大于0；x 取什么值时，函数值小于0？

3、用函数的图像求以下方程的解：

4、抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 〔x1，0〕、B 〔x2，0〕)(21x x <，顶点M 的纵坐标为－4，假设x1，x2是方程07)1(222=-+--m x m x 的两个根，且.102

221=+x x ①求A 、B 两点的坐标；

②求抛物线的关系式及点C 的坐标；

③在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于四边形ACMB 面积的2倍？假设存在，求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由.

【五】拓展提升

如图，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过A 〔3，0〕、B 〔4，4〕两点. 〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标.

六、课后作业

【一】选择题

1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么以下关系式错误的选项是〔〕

A 、0>a

B 、0

C 、042>-ac b

D 、0>++c b a 第1题图第3题图第5题图

2、二次函数22)(2c b ax x y ++-=，其中a 、b 、c 是△ABC 的边长，那么函数与x 轴交点情况是〔〕

A 、无交点

B 、有一个交点

C 、有两个交点

D 、交点个数无法确定 3、二次函数bx ax y +=2的图像如图，假设一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，那么m 的最大值为〔〕

A 、－3

B 、3

C 、－6

D 、9

4、二次函数)(32为常数m m x x y +-=的图像与x 轴的一个交点为〔1，0〕，那么关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是〔〕

A 、x1=1, x2=－1

B 、x1=1, x2=2

C 、x1=1, x2=0

D 、x1=1, x2=3

【二】填空题

5、二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么A 〔ac b 42-，a b -〕在第_______象限.

6、二次函数c bx ax y ++=2中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：〔1〕二次函数图像的开口方向是__________，它的顶点坐标是________.

〔2〕一元二次方程),,,0(02是常数c b a a c bx ax ≠=++的两个根x1, x2的取值范围是______(填序号).

【三】解答题

7、函数)(162是常数m x mx y +-=.

〔1〕求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；〔2〕假设该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值