2017年高考模拟试卷(9)参考答案

2017年高考模拟试卷(9)参考答案

南通市数学学科基地命题

一、填空题

1. {}2,5．

2. 15

. 3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-. 6. 60.

7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 100

5x+2y 120≥??≥?,

设x+y=34)(52)x y x y λ

μ+++（，解得，31==1414

λμ，，即可. 8.

. 9.

. 设CA=x,则

PQ=2CPcos

PQ ≤<. 10. 1e

. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=

在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，2

1ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.

11．9.

223331212922k x x x x x

=+

=++≥=,也可以求导. 12. 1

-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ?=+?=?，

若MP BP ，同向，则0OP BP ?>；若MP BP ，反向，则0OP BP ?<， 故OP BP ?的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||2MP BP +=

，2

||||1||||()216

MP BP OP BP MP BP +?=-?-=-≥， 当且仅当1

||||4

MP BP ==

时取等号，即OP BP ?的最小值是116-．

13

．

（方法一）由题意，得sin sin ααββ?=??=??

所以αβ，

是方程sin x x

即方程(

)

πsin 3x -5ππ()26k k αβ

+=+∈Z

，所以tan()αβ+=

（方法二）同上，αβ，

sin 0x x -的两根．

设()sin f x x x -

()cos f x x x '=-．

令()0f x '=

，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以

（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =

因为OC 60COH ∠=?，即1502

αβ

+=?，

所以tan()tan300αβ+=?=

14．9?-???

.32()322x x a x f x x a x a x ?--?=??--+-

，≥，，，

当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，

结合图形知，

① 当1a <-时，313x -，

，成等差数列，则35x =-，代入3220x a --+-=得，9a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x

--+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，

， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x ，又342(1)x x a +=-，所以a .

③ 当3a >时，显然不符合. 所以a 的取值集合95?-???

. 二?解答题:本大题共6小题，共90分．

15． (1)因为tan α＝2，所以sin α

cos α＝2，即sin α＝2cos α．

又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝1

5． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－3

5．

(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π

2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝4

5．

又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π

2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π

2)．

因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－2

2， 所以2α－β＝－π

4．

16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，

在△ABC 中，因为120ABC ∠=?， 所以30BAC ∠=?．

因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=?， 所以90BAD ∠=?，即AD AB ⊥．

因为=1AB ，120ABC ∠

=?，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=?，即AD AP ⊥． 因为AB AP ?，平面PAB ，AB AP A =，

所以AD ⊥平面PAB ．

（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH ． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ?平面PAB ，HN ?平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．

由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，

所以CH AD ⊥．

由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ?平面PAB ，CH ?平面PAB ，

H

P

A B

C

D

M

N

所以CH ∥平面PAB ． 因为CH HN ?，平面CNH ，CH HN H =，

所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ?平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．

（方法二）取PA 的中点S ，

过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．

因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12

SN AD =，

因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=?，

得CT =

由（1）知，AD =12CT AD =，

所以CT SN =．

所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．

因为TS ?平面PAB ，CN ?平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．

17．（1）由题意知，124()2b b =-=，

解得a =1b =，

所以椭圆的方程为2212

x y +=. （2）① 由(2)N t ，，(01)A ，

，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+，

直线NB 的方程为31y x t

=-.

P A B

C

D

M

N

T

S

由221122y x t x y ?=+???+=?，得，222422.2t x t t y t ?=-?+?-?=+?

，

，故()

2224222t t t t P --

++，. 由223122y x t x y ?=-???+=?，得，22

2121818.18t x t t y t ?=?+?-?=+?

，

，故()

222

12181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率22

2

2162482

PM

t t t k t t t ---+==

-+， 直线QM 的斜率222

181261812818

QM

t t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.

② 由①知，11k t =，213k t =，2

368t k t

-=.

所以2

1323122

463182t k k k k k k t t t

-+-=?-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值12

-.

18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l

2θ

，所以

S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π

2

)．

(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以 l 2≥2ab －2ab cos2θ．

所以 ab ≤l 2

2(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．

所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ

，即S 2＝l 2

4tan θ．

(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π

2

)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θ

cos 2θ

．

当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π

2

)上单调增．

所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1

S 1

＞0，即S 1＞S 2．

答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．