信号处理与数据分析第十章作业答案(B).邱天爽.

习题10.22已知心电图的频率上限约为50Hz ，因此以200s f =Hz 进行采样。如果要求的频率

分辨率2f ?=

Hz 。试确定做谱估计时每段数据的点数。

解： 频率分辨率与数据长度的关系为：/s f f N ?=

，其中N 为每段的数据长度。因此可得，/=100s N f f ≥?。所以做谱估计时每段数据的点数不少于100点。

习题10.23试证明：若保证一个p 阶AR 模型在白噪声的激励下的输出()x n 是一个平稳随机

过程，则该AR 模型的极点必须都位于单位圆内。

解：一个p 阶AR 模型的输入、输出关系是：

()()()1p

k k x n a x n k u n ==??+∑ 及 ()(z)()X z U H z =

式中()u n 是平稳白噪声序列，()U z 是其Z 变换，()11/(1)p

k k k H z a z ?==+∑是p 阶AR 模型

的转移函数。如果()H z 有一个极点在单位圆外，那么，()H z 将是不稳定的，表现在()h n 上是随着n 的增大而呈指数增长，即()h n 中包含e t α的项，1α>。这样，由于

()()()x n u n h n =?，

那么()x n 也必定是随n 增大的。这样，()x n 的均值必然是随时间变化的。自然，其方差也是随时间变化的，并且当n →∞时，其方差将趋于无穷。由于()x n 是时变的，所以其自相关函数将和分析的起点有关，而不是仅和两个时间点的差有关。综上所述，由平稳实际信号的定义，这时的()x n 必然不是宽平稳的。因此，若要保证()x n 是宽平稳的，()H z 的所有极点必须都在单位圆内。

编程题，可选做：

产生两个长度为8000的白噪声信号，和一个长度为8000的带有白噪声的1kHz 的正弦信号，求两个白噪声信号以及白噪声与带有白噪声的正弦信号的互功率谱，并绘制互功率谱曲线。FFT 所采用的长度为1024，采用500点的三角窗，并且没有重叠，采样频率为6kHz 。 解：

Clc;clear all;

Fs=6000;

X=randn(8000,1);

Y=randn(8000,1);

Z=2*sin(2*pi*1000*[1, 8000]’/Fs)+randn(8000,1);

[Pxy, f]=csd(x,y,1024,Fs,triang(500),0);

[Pxz,f]=csd(x,z,1024,Fs,triang(500),0);

subplot(211);plot(f,10*log10(Pxy)); grid;

subplot(212);plot(f,10*log10(Pxz));grid;