第七章 习题

第七章 习题

1、对于7.1节蜘蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较。

（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定。试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解：（1）简单地假设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，模型为

?????>-=->??? ??-+-=-+++0

),(0,2001_0101ββααy y x x x x x y y k k k k k 得022)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++，与7.1节（B ）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为αβ<2.

(2)设k x 也由k y 和1-k y 的平均值决定，模型为

???

????>??? ??-+=->??? ??-+-=--+++0,20,20101_0101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 得c x x x x k k k k =++++++αβαβαβ12324，c 由00,,,y x βα决定，其特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ，该方程所有特征根1<λ的条件（即平衡点稳定的条件）仍为2<αβ。

2、验证阻滞增长模型（7.3节）的（15）～（18）式。

解：在7.3节（13）式中令1-x=y,得011323=-+

-b y b y y （1） 已知b x 11*-=，即b

y 1*=使（1）的一个平衡点，于是（1）式化为 01)11()1(22=??

????+---b y b y b y （2） 方程（2）的另外两根为b

b b b y 23212*

2,1--±-=，*2,1*2,11y x -=，即为（15）式。 注意到b>3,(16)式之间可证。

（17）式由f 的表达式及复合函数求导法则导出。

将（15）式代入（17）式，则稳定条件

613,1)32-11)(2*2,1)2(+<<<--

化为，即（18）式。

5、在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3组，各组繁殖率为1b =0，2b =4，3b =3,存活率为2/11=s ,4/12=s ,开始3组各有1000只。求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种，群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布。

解：15年后各组分别有14375只、1375只、875只。固有增长率是1.5稳定的按年龄组的

分布为T ）

，（18/1,3/11.

6、在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若总和繁殖率R>1，则种群增长，若R<1则种群减少。

解：由7.4 节定理1及（11）式可知，R=1是1=λ的充分条件。又因（11）式可写作：s s s s b s b b n n n λλλ12121

21

...1-+++=，所以当1>λ时，必有R>1;当λ<1时，R <1;反之亦有

R>1时1>λ；R <1时λ<1。再由（15）式即得R>1时，种群增长；R <1时种群减少。

7、在按年龄分组的种群增长模型基础上，建立种群的稳定收获模型。

（1）设年龄组区间、时段长度都正好等于种群繁殖周期，种群的按年龄组发布。、Leslie 矩阵及增长规律仍用7.4节的x(k+1)=Lx(k)表示。如果时段k 第i 年龄组种群的增加量就是这个时段的收获量，表示为)(k x i -),()()1(k x k h k x i i i =-i=1,2,3, …,n,k=1,2, 3, …,其中)(k h i 为收获系数。

所谓稳定收获是指，各时段同一年龄组的收获量不变，即)(k h i 和)(k x i （在收获之后）与k 无关。用H 表示以i h 为对角元素的对角阵，证明稳定收获模型可表为Lx-x=HLx ，其中x 是种群的按年龄组的稳定分布。

（2）证明获得稳定收获的充要条件是： i h 满足

1)]1)...(1)...(1(......)1()[1(2112121111=---++-+--k n n h h h s s s b h s b b h 且x=c *x (c 是大于零的常数)，其中*x =[1, )1(21h s -,…T k h h s s )]1)...(1...(221--

（3）利用第五题的数据至少给

H 和x 的两组解，并计算按年龄组稳定收获的分布。 解：（1）利用x(k+1)=Lx(k)可将)(k x i

-表示为Lx(k)-x(k-1)=H(k)Lx(k-1),其中H （k ）表

示以)(k h i 为对角元素的对角矩阵。在稳定收获下H k H =)(,X k x =)(,于是得

HLx x Lx =-

(2)上述模型可写作x Lx H I =-)(,即L H I )(-的特征根1=λ

又???????

?????????-------=--- 0 )1( 0 0 0 0 )1( 0 0 0 0 )1()1()1()1()1()(132211111211n n n n h s h s h s h b h b h b h b L H I 与7.4节的L 矩阵相比，L 中的i b 相当于（I-H ）L 中的),...3,2,1)(1(1n i h b i =-，L 中的i s 相当于（I-H ）L 中的),...3,2,1)(1(1n i h s i i =-+,根据定理1和第七题R=1的充要条件，将 （I-H ）L 中的R=1表示出来，即为所要求的证明。

（3）按照（2）的结果，以第五题的数据1b =0，2b =4，3b =3， 2/11=s ,4/12=s 代入，

i h 应满足1)]1)(1(8

3)1(2)[1(3221=--+--h h h h （1） 且T h h x cx x )]1)(1(2

1,1[,32**--==,*x 为种群的稳定分布，而收获量按年龄组的稳定分布为HL *

x .

满足（1）式的解很多，如 T T HLx x h h h )16/1,4/1,0(,)16/1,4/1,1(,1,2/1,0**321=====可得； T T HLx x h h h )36/1,6/1,2/1(,)18/1/3/1,1(,3/1**321====可得。

<1>稳定收获充要条件为1)......()-111121=+++-n n s s b s b b h ）（,对于所给数据，的h=1/19,T T HLx x )0,0,152/209(,)8/1,2/1,1(*==.

<2>稳定收获充要条件为1])1(......)1([1111121=-++-+---n n n h s s b h s b b h ）（.对于所给数据得T T HLx x h )36/1,6/1,2/1(,)18/1,3/1,1(,3/1**===