成都美视国际学校数学全等三角形(篇)(Word版 含解析)

成都美视国际学校数学全等三角形（篇）（Word版含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．

-

【答案】10310

【解析】

解：连接BD，在菱形ABCD中，

∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP

-；

最小，最小值为10310

③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

-（cm）．

综上所述，PA的最小值为10310

-．

故答案为：10310

点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且

△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0,

4?? ???

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．

【详解】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；

∴D （0，5）；

②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，

∴P （0，4）；

③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，

由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，

∴OC ＝54

， ∴C （0，54

）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,

4?

? ???．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

4．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连

结DE ，若50C ∠=?，设 ABC x CDE y ∠=?∠=?,

，则y 关于x 的函数表达式为_____________．

【答案】80y x =-

【解析】

【分析】

根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．

【详解】

∵BD 是ABC ?的角平分线，AE BD ⊥ ∴1122

ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=?，90AFB EFB ∠=∠=? ∴1902BAF BEF x ∠=∠=?-

? ∴AB BE =

∴AF EF =

∴AD ED =

∴DAF DEF ∠=∠

∵180BAC ABC C ∠=?-∠-∠，50C ∠=?

∴130BAC x ∠=?-?

∴130BED BAD x ∠=∠=?-?

∵CDE BED C ∠=∠-∠

∴1305080y x x ?=-?-?=?-?

∴80y x =-，

故答案为：80y x =-．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．

5．如图，在ABC ?和DBC ?中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ?的周长为_______.

【答案】4

【解析】

【分析】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

【详解】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠BCD=∠DBC=20°．

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠DBA=∠DCA=90°．

在Rt△BDF和Rt△CND中，

∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，

∴△BDF≌△CDN，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．

∵∠MDN=70°，

∴∠BDM+∠CDN=70°，

∴∠BDM+∠BDF=70°，

∴∠FDM=70°=∠MDN．

∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，

∴△DMN≌△DMF，

∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．

故答案为：4．

【点睛】

本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．

6．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．

【答案】22

【解析】

【分析】

等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；

【详解】

解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，

∴腰的不应为4，而应为9，

∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.

故答案为22.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，

123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1

,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________

【答案】()8,0-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n 个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA 19=9-1=8,

∴19A 的坐标为()8,0-

故答案是()8,0-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键

8．在△ABC 中，∠ACB ＝90o，D 、E 分别在 AC 、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形， 则∠BAC 的度数为_________．

【答案】45°或60°

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，设∠BAC 的度数为x ，则∠B=90°-x ，∠EFB =135°-x ，∠BEF=2x-45°，

当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.

【详解】

∵∠ACB＝90o，△CFD是等腰三角形，

∴∠CDF=∠CFD=45°，

设∠BAC的度数为x，

∴∠B=90°-x，

∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，

∴∠DFE=∠BAC=x，

∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，

∵∠ADE=∠FDE，

∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，

∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，

∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：

①当FE=FB时，如图1，

则∠BEF=∠B，

∴90-x=2x-45，解得：x=45；

②当BF=BE时，

则∠EFB=∠BEF，

∴135-x=2x-45，

解得：x=60，

③当EB=EF时，如图2，

则∠B=∠EFB，

∴135-x=90-x，无解，

∴这种情况不存在.

综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.

故答案是：45°或60°.

图1 图 2

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.

9．如图，ABC ?中，AB AC =，点D 是ABC ?内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°

【答案】80

【解析】

【分析】

根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.

【详解】

∵CD 平分∠ACE ，

∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，

∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，

∵∠AEC=100°，

∴∠ABC+∠ECB=100°，

∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠ACB,

∴2∠ACB －2∠ACD=100°，

∴∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，

∵DB=DC ，

∴∠DBC=∠DCB ，

∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.

【点睛】

本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握

基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.

10．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．

34

【解析】

【分析】

如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝

C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为

C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．

【详解】

解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，

则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝

∠COD′＝45°，

∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，

当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，

作C′T⊥D′O于点T，

则C′T＝OT2，

∴D′T＝2，

∴C′D34

∴CP+PM+DM34

34

【点睛】

本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）

A ．511a 32?

（） B ．511a 23?（） C ．611a 32?（） D ．611a 23

?（） 【答案】A

【解析】 连接AD 、DB 、DF ，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL 证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD ∥EF ∥GI ，过F 作FZ ⊥GI ，过E 作EN ⊥GI 于N ，得出平行四边形FZNE 得出

EF=ZN=

13a ，求出GI 的长，求出第一个正六边形的边长是13a ，是等边三角形QKM 的边长的13；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI 的边长的13；求出第五个等边三角形的边长，乘以

13

即可得出第六个正六边形的边长． 连接AD 、DF 、DB ．

∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE ，AB=AF ，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD ，

∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，

∵∠AFE=∠ABC=120°，

∴∠AFD=∠ABD=90°，

在Rt△ABD和RtAFD中

AF=AB

{

AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），

∴∠BAD=∠FAD=1

2

×120°=60°，

∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，

∴AD∥EF，

∵G、I分别为AF、DE中点，

∴GI∥EF∥AD，

∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，

∴ED=EM，

同理AF=QF，

即AF=QF=EF=EM，

∵等边三角形QKM的边长是a，

∴第一个正六边形ABCDEF的边长是1

3a，即等边三角形QKM的边长的

1

3

，

过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，

∵EF∥GI，

∴四边形FZNE是平行四边形，

∴EF=ZN=1

3

a，

∵GF=1

2AF=

1

2

×

1

3

a=

1

6

a，∠FGI=60°（已证），

∴∠GFZ=30°，

∴GZ=1

2GF=

1

12

a，

同理IN=

1

12

a，

∴GI=

1

12

a+

1

3

a+

1

12

a=

1

2

a，即第二个等边三角形的边长是

1

2

a，与上面求出的第一个正六

边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是1

3

×

1

2

a；

同理第第三个等边三角形的边长是1

2

×

1

2

a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类

似，可求出第三个正六边形的边长是1

3

×

1

2

×

1

2

a；

同理第四个等边三角形的边长是1

2

×

1

2

×

1

2

a，第四个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；

第五个等边三角形的边长是1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第五个正六边形的边长是

1 3×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；

第六个等边三角形的边长是1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第六个正六边形的边长是

1 3×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，

即第六个正六边形的边长是1

3

×5

1

2

（）a，

故选A．

12．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．

【详解】

根据题意，BPC 36060290150∠=-?-= ，

BP PC =，

()

PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；

根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；

∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，

∴AD//BC ，②正确；

∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，

∴PC ⊥AB ，③正确，

所以四个命题都正确，

故选D ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.

13．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）

A ．1个

B ．4个

C ．7个

D ．10个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．

解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，

可知P 点为等边△ABC 的垂心；

因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，

每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．

故选D ．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．

14．如图，30MON ∠=?．点1A ，2A ，3A ，?，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，?，在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334

A B A ?，?均为等边三角形，若11OA =，

则201920192020A B A ?的边长为（ ）

A ．20172

B ．20182

C ．20192

D ．20202

【答案】B

【解析】

【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=?，可求得1130∠=?OB A ，进而证得11OA B ?是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得

规律333、

、=???=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】

解：∵30MON ∠=?，112A B A ?是等边三角形，

∴11260∠=?B A A ，1112A B A A =

∴1111230∠=∠-∠=?OB A B A A MON ，

∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ?是等腰三角形，

∴111=A B OA ，

∵11OA =，

∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，

同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA =2，

同理得23342==A B 、34482==A B ，

根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ?的边长为20182，

故选：B ．

【点睛】

本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．

15．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B

【解析】

【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．

【详解】

∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，

∴∠ABQ ＝∠EBQ ，

∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，

∴∠BAQ ＝∠BEQ ，

∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，

∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），

∴PQ 是△ADE 的中位线，

∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，

∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，

∴PQ ＝12

DE ＝4． 故选：B ．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．

16．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，

30BDC ∠=，则DBC ∠=（ ）°

A ．15

B ．18

C ．20

D ．25

【答案】A

【解析】

【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，

得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.【详解】

如图，延长BD到M使得DM=DC.

∵∠ADB=75°，

∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.

∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，

∴∠ADM=∠ADC.

在△ADM和△ADC中，

∵

AD AD

ADM ADC DM DC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADM≌△ADC，

∴AM=AC.

∵AC=AB，

∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.

∵∠ABD=60°，

∴△AMB是等边三角形，

∴∠M=∠DCA=60°.

∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠ODC=30°.

∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，

∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，

∴∠CBD=15°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.

17．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－

α;③△CMN 是等边三角形；④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE （SAS ），由全等三角形的性质得到AD=BE ；故①正确；

②设CD 与BE 交于F ，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ，得到

∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．

【详解】

解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，

∴∠ACD=∠BCE ，

在△ACD 和△BCE 中

AC BC ACD BCE CD CE ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），

∴AD=BE ；故①正确；

②设CD 与BE 交于F ，

∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠ADC=∠BEC ，

∵∠CFE=∠DFO ，

∴∠DOE=∠DCE=α，

∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；

③∵△ACD ≌△BCE ，

∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC

又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，

∴

AM=

12AD ，BN=12

BE ， ∴AM=BN ，

在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ?∠??

∠??＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），

∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，

又∠ACB=α，

∴∠ACM+∠MCB=α，

∴∠BCN+∠MCB=α，

∴∠

MCN=α，

∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；

④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，

∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，

∴△CGE ≌△CHD （AAS ），

∴CH=CG ，

∴OC 平分∠AOE ，故④正确，

故选：B ．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．

18．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．

∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．

故本选项正确；

②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；

③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分

∠BAC．故本选项正确；

④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．

故本选项正确；

其中正确的是①③④．

故选C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．

19．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）

A．13B．15C．18D．21

【答案】A

【解析】

根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到

AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．

故选A．

点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )