函数的基本性质

一、单调性定义

1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M?A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1

2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．

二、单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．

2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则

f x

为减

(增)函数，f x为增(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

三、函数单调性的应用有：

(1)比较函数值或自变量值的大小．

(2)求某些函数的值域或最值．

(3)解证不等式．

(4)作函数图象．

四、函数的最大(小)值：

定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：

(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；

(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.

称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．

五、复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

1．函数单调性的证明方法

(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D，且x 1

②作差f(x 1)－f(x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．

(2)设函数y ＝f(x)在某区间D 内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D 内为减函数．

2．函数最值的求法

(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．

1.(2010·天津模拟)函数y ＝log 12 (－x 2

－2x ＋3)的单调递增区间为________．

2.(文)函数y ＝a x

在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( )

A .12

B ．2

C ．4

D .14

3.(文)(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413 ，y 2＝0.513 ，y 3＝0.514

，则( )

A ．y 3

B ．y 1

C ．y 2

D ．y 1

4．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ? ??

????????1x

B ．(0,1)

C ．(－1,0)∪(0,1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( )

A ．y ＝log 0.5(1－x )

B ．y ＝x 0.5

C ．y ＝0.5

1－x

D ．y ＝12

(1－x 2

)

6．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝? ??

??120.3

，

则( )

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．b ＜c ＜a

D ．b ＜a ＜c

7．(文)(2011·北京模拟)设函数f (x )＝?????

3x －1 x ≥0

x x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取

值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0,1)

8．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x

＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )

A.12

B.1

C ．2

D ．4 9．(文)如果函数f (x )＝ax 2

＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．

10.(文)(2011·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有

f x 2－f x 1

x 2－x 1

<0，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义

设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝______ (或f (－x )＝_____)成立，则称f (x )为奇函数(或偶函数)． 2．关于奇偶性的结论与注意事项

(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数

也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．

(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．

(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．

(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．二、函数的周期性

(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得对定义域内的每一个x 值，都满足

f (x ＋T )＝____，那么函数f (x )叫做周期函数．T 叫做这个函数的一个周期．如果在周期函

数f (x )的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．

(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T 是f (x )的周期，则kT (k ∈N *

)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．

1.(2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )

A ．y ＝2|x |

B ．y ＝x 2

－x C ．y ＝2x D ．y ＝x

2.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( )

A ．y ＝x 2

－2x B ．y ＝2x

C ．y ＝cos2x

D ．y ＝

|x |－1

3.(文)(2011·辽宁文，6)若函数f (x )＝

2x ＋1

x －a

为奇函数，则a ＝( )

A.12

B.23

C.3

D ．1 4.(文)(2011·湖南文，12)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.

5．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x

－3，则f (－2)的值等于( )

A ．－1

B.114 C ．1 D ．－11

6.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝(12

，则f (1)，

g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．

7．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4

)的所有x 之和为( )

A ．－9

B ．－7

C ．－8

D ．8

8．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，

f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.

9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )

A．－1 B．1 C．－2 D．2

10．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为( )

A．a B．－a C．0 D．2a

11．(2011·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝2－3，且对任意的x都有

f(x＋3)＝1

－f x

，则f(2010)的值为( )

A．－2－ 3 B．－2＋ 3 C．2－ 3 D．－3－3

12．(文)已知函数f(x)＝1－

2a x＋a

(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的值域；

(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版

基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方, 在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

函数概念及其基本性质

第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.

函数的基本性质解析

1 第二讲函数的性质（一）一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数函数称为幂函数。如，，，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与为例绘出图形，如图1-1-4。图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数，其定义域，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。图1-1-5 4.三角函数有，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

函数的基本性质专题训练

函数的基本性质【巩固练习】 1．下列判断正确的是（） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。

基本初等函数图像及性质大全

一、一次函数与二次函数（一）一次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质

①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质

函数的基本性质练习题(重要)

（高中数学必修1）函数的基本性质 [B 组] 一、选择题 1．下列判断正确的是（） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．( ]2,∞- B ．(]2,0 C ．[ )+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数； (2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 2 23y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）二、填空题

1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时，()f x = . 3．若函数2 ()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。三、解答题 1．判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈-- 2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数。 3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。

(完整word版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(