二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析
_ Q
_ G
_
P
_ O
二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题
一、技巧提炼
1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式
(1)、【一般式】已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为 ,然后解三元方程组求解; (2)、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常设解析式为 求解; 2、二次函数y=ax 2
+bx+c 与x 轴是否有交点,可以用方程ax 2
+bx+c = 0是否有根的情况进行判定;
判别式ac b 42-=? 二次函数与x 轴的交点情况
一元二次方程根的情况
△ > 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根
△ < 0 与x 轴 交点 实数根 △ = 0
与x 轴 交点
方程有 的实数根
3、抛物线上有两个点为A (x 1,y ),B (x 2,y ) (1)对称轴是直线2
x 2
1x x +=
(2)两点之间距离公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:2
21221)()(y y x x PQ -+-=
练一练:已知A (0,5)和B (-2,3),则AB = 。 4、 常见考察形式
1)已知A (1,0),B (0,2),请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ,使△ABC 是等腰三角形; 总结:两圆一线
方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段,构造等腰三角形,用的是“两圆一线”:分别以线段的两个
端点为圆心,线段长度为半径作圆,再作线段的垂直平分线;
2)已知A (-2,0),B (1,3),请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ,使△ABC 是直角三角形;
总结: 两线一圆
方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段,构造直角三角形,用的是“两线一圆”:分别过已知线段的
两个端点作已知线段的垂线,再以已知线段为直径作圆; 5、求三角形的面积:
(1)直接用面积公式计算;(2)割补法;(3)铅垂高法; 如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线, 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h ). 我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
S △ABC =1
2ah ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
6、二次函数中三角形的存在性问题
解题思路:(1)先分类,罗列线段的长度;(2)再画图;(3)
后计算
B
C
铅垂高
水平宽
h a A
二、精讲精练
1.由动点产生的等腰三角形问题
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
例.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.