选课问题、数学建模

2013-2014第一学期

数学建模课程设计

题目：学生选课

：金星

班级：网络工程\

2014年1月6日—1月10日

一．模型摘要

摘要：对于习惯了中小学课程（所有的课程由学校统一安排，而且科目从小学

到高中有连续性）的大学新生来说，大学的课程多得令他们眼花缭乱，课程分类也比较复杂，因此选课对他们而言还是一件新鲜而陌生的事物。但大学的学习与选课有莫大的关系，必须了解它，才能掌握主动权。而要了解选课制，首先要对大学的课程设置有所认识。

大学的课程按大类来说一般分为必修课和选修课。必修一般指学校或院系规定学生必须修习某课程，学校对必修课程一般有统一的要求和安排。选修是指根据学生个人兴趣或专业需要自由选择修习某课程。简言之，必修就是必须修读，选修就是选择性修读。一般来说，基础性的知识都作为必修课程。有些知识不是基础性的，与兴趣和研究方向有关，这部分知识可以选择。这是大学与中学最大的不同之处。

本文针对关于大学生选课时所需要考虑到的问题，根据学校规定的要求达到的学分与每门课的学分多少，运用排列组合的知识建立模型，通过分析输出各种情况下所需的选课方案

关键字：matlab，矩阵，排列组合

二．问题重述

某同学考虑下学期的选课，其中必修课只有一门（2学分），可供选修的限定选修课（限选课）有8门，任意选修课（任选课）有10门。由于有些课程之间相

按学校规定，学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分，因此该同学必须在上述18门课中至少选修18个学分，学校还规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。学院也规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。

1）为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？

2）若考虑在选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？选哪几门？

三．模型假设

（1）学生选修任何课程都是随机的，不存在主观意图。实际生活中选课程是有主观意图的，但是本问题中不考虑这一点。

（2）学生只要选修某门课程，就认为他能够获得该门课程的学分，不考虑实际生活中的考试不及格得不到学分的情况。

（3）学校所给的课程，不管任何课程，都应当是做过调研，一般情况下学生只要选择，就能选上，而不会出现连选几门都选不上的局面。也就是说选课所给的限制人数应当是合理的限制。

四．问题分析

根据提出的问题，学生要选修的课程必须同时满足下列四条：

（a ）任何学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分（包括2个必修学分），所以除了必修课程外，任何学生必须在上述18门课中至少选修18个学分（b ）学校规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。

（c ）同时选修的课必须同时选修，不能不选修。例如某学生选9号课，那么他

也必须同时选修8号课。同时选修的矩阵是??

????675468211413121110975 （d ）学校规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。即36总修学分任选课学分总修学分≤≤。注意，总修学分包括必修课的2学分。

两个个问题都需要选课方案。比如第一个问题，“为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？”学校规定最少学分是20分，去掉2分的必修学分，那么要从剩下18门课程中选择至少18个学分。问题问的是“最少应选几门课？”按照最少18分的限制，从1门、2门、3门、4门、5门……收入来思考，发现至少应该选5门课，因为如果选4门课，要达到最少学分势必需要选那些学分值大的课，只能选1、2、3、4这四门课，这四门课的学分加了起来正好是18分，但虽然学分数满足了，可是并不满足其余的三条，所以这种选法是不对的。选5门课就能得到要求。例如选1、2 、3 、6 、10 、14就其中一种选课方案，它满足上述4条。

四条规定相互制约，错综复杂，单靠人力来一组一组的确定是不可能完成的。

本问题的解答模型就是排列组合的知识。首先说明一点，因为课程有的与学分值的数目相同，为了避免在计算机上处理过程中出现紊乱，我们统一把课程加上10，课号1-18，就变成了11-28。

假设这个同学在符合学校规定要求的前提下要选n 门课，185≤≤n ：

第一步，首先把11-28门课程抽出n 门课进行组合，共有n C 18种。利用Matlab

的命令就是combntns([11:28],n)，这个命令产生的结果是一个矩阵，每一行就是n 门课的一个组合。令选课组合xkzuhe=combntns([11:28],n)

第二步以下分四个模块，每个模块使用一个矩阵来存储该模块筛选合格的数据。

（a ）第一个模块是判断每个n 门课组合的学分总和是否大于18分，如果大于等于18分，就保留，并且把该条n 门课组合添加到矩阵a 中。矩阵a 用来存储满足了大于18分的n 门课的组合。

（b ）第二个模块是判断矩阵a 中每个n 门课的组合是否是含有5，6，7，8至少一门课。如果是至少含有5，6，7，8至少一门课，就把该行记录添加到b 矩阵里，矩阵b 用来存储满足了含有5，6，7，8至少一门课的组合

（c ）第三个模块是c 模块，用来存放满足同时选修要求的n 门课的组合数

据。同时选修的矩阵是??

????16171514161812112413222120191715。先分析以下同时选修的要求，在一个n 门课的组合中，比如有15号课，就必须有11号课；有17号课，就必须有12号课；有19号课，就必须有18号课等等。一方面，要判断任意一个n 门课组合是不是符合上述要求，比如它含有15号课，又同时含有11号课，那么就保留这个n 门课组合；另一方面，经过上述的判断保留，b 矩阵就删除了一部分不符合要求的，但是保留的却也不是都适合，比如一个记录，含有15号课且含有11号课，保留下来了，但是如果这个记录同时含有17号课且不含有12号课，那么这个记录就不适合，需要再次删除。因此，第三个模块需要分成两个子模块来判断，就是上面的两个方面。第一个子模块先大围的保留基本适合的，8对同时选修课，只要含有至少一对就保留。第二个模块是分别对每对选修课进行检验，含有15号课不含有11号课的或者含有17号课不含有12号课的或者含有19号课不含有18号课的或者含有20号课不含有16号课的……等等，都全部删除。经过这两个子模块的判断，剩下的数据给c 矩阵。

（d ）第四个模块是判断上述c 矩阵的数据是否适合36总修学分任选课学分总修学分≤≤的规定。注意，总修学分包括必修课的2学分。适

合的就保留下来给d 矩阵。

最后的d 矩阵就是符合要求的n 门课的组合。

一、第一个问题“为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？应该选哪几门课？”

答：应该选5门课，在筛选程序给定n=5,可得到应该选的5门的组合：

1 2 6 10 14

1 4 6 10 11

2 4 6 10 11

选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？选哪几门？

把程序里面的s>=18改成s=18，然后依次把选课门数改成5、6、7、8等，可以看出最多选8门课，8门课的组合是：

1 3 5 1

2 15 16 17 18

1 3 6 14 15 16 17 18

1 4 5 1

2 15 16 17 18

1 4 6 14 15 16 17 18

1 5 6 8 1

2 15 16 17

1 5 6 8 1

2 15 16 18

1 5 6 8 1

2 15 17 18

1 5 6 8 1

2 16 17 18

1 5 6 8 14 15 16 17

1 5 6 8 14 15 16 18

1 5 6 8 14 15 17 18

1 5 6 8 14 16 17 18

2 3 6 14 15 16 17 18

2 3 7 8 15 16 17 18

2 3 7 13 15 16 17 18

2 4 6 14 15 16 17 18

2 4 7 8 15 16 17 18

2 4 7 1

3 15 16 17 18

2 6 7 8 1

3 15 16 17

2 6 7 8 1

3 15 16 18

2 6 7 8 1

3 15 17 18

2 6 7 8 1

3 16 17 18

2 6 7 8 14 15 16 17

2 6 7 8 14 15 16 18

2 6 7 8 14 15 17 18

2 6 7 8 14 16 17 18

3 4 6 8 14 15 16 17

3 4 6 8 14 15 16 18

3 4 6 8 14 15 17 18

3 4 6 8 14 16 17 18

七．模型分析与改进

1．模型分析与检验:

本题主要采用的是排列组合的方法，首先把11-28门课程抽出n门课进行种。利用Matlab的命令就是combntns([11:28],n)，这个命令产组合，共有n

生的结果是一个矩阵，每一行就是n门课的一个组合。令选课组合xkzuhe=combntns([11:28],n)。再将其分四个模块，每个模块使用一个矩阵来存储该模块筛选合格的数据。不断筛选满足要求的矩阵，最后剩余的矩阵即为符合要求的n门课的组合。

2．模型评价

2.1 模型优点：能够很快的解决简单的筛选问题。

2.2 模型缺点：对于条件比较多的筛选问题则很难快速的解决。

3 模型改进和推广：

1.还可以参照最小费用最大流算法适当地进行建模。

2.也可以使用多次背包算法，先把给出的图用拓扑排序算法构建成树，在树里面的每个结点使用背包算法，计算出当前点以下用一定时间能得到的最大学分，多个背包向父亲结点背包。

3.本文建立的模型可推广到各种复杂的筛选问题。

八．建模心得

数学建模，对于我们专业的大二学生来说是一个完全陌生的课程，然而在本学期末的课程设计中却开设了数学模型，这才使我们初步了解了什么叫做数学建模。使我们在学习之中，锻炼了我们的能力，获益非浅。真正用到了数学的理论知识去解决我们在实际生活上的一些问题。从最初的“建模”简介，我们了解到数学在实际生活中的应用之广、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技进步，人类生存。庞大的数学知识体系良好地规我们的生活，与我们每个人都息息相关，并随着科技的进步，数学与我们的关系也越来越密切。终于明白了，为