二次根式的性质 公开课教案

第2课时 二次根式的性质

1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点) 一、情境导入 a 2等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．

22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…

你能概括一下a 2的值吗？

二、合作探究

探究点一：二次根式的性质

【类型一】行计算

化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.

解析：根据二次根式的性质进行计算即可．

解：(1)(

5)2＝5；(2)

52＝5；

(3)（－5）2＝5；(4)(

－5)2＝5.

方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．

【类型二】 在实数范围内分解因式．

(1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式． 解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)；

(2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a

－5)；

(3)x 4－

4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x

－2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内

无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成

平方的形式． 探究点二：二次根式性质的综合应用

【类型一】

结合数轴利用二次根式的

性质求值或化简

已知实数a ，b 在数轴上的位置如

图所示，化简：（a ＋1）2＋2（b －1）2－|a －b |.

解析：根据数轴确定a 和b 的取值范围，进而确定a ＋1、b －1和a －b 的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．

解：从数轴上a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－

|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.

方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．

【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合

已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简（a ＋b ＋c ）2－（b ＋c －a ）2＋（c －b －a ）2. 解析：根据三角形的三边关系得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．

解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .

方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．

【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简

已知x为实数时，化简x2－2x＋1

＋x2.

解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性

质，将x的取值范围分段进行讨论解答．

解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋

x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式

＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－

1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1

＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.

方法总结：利用二次根式的性质进行化

简时，要结合具体问题，先确定出被开方数

的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无

法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到

不重不漏．

【类型四】二次根式的规律探究性问

题

细心观察，认真分析下列各式，

然后解答问题．

(1)2＋1＝2，S1＝

1

2，

(2)2＋1＝3，S2＝

2

2，

(3)2＋1＝4，S3＝

3

2.

(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上

述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

(3)求出S21＋S22＋S23＋…＋S210的值．

解析：利用直角三角形的面积公式，观

察上述结论，会发现第n个三角形的一直角

边长就是n，另一条直角边长为1，然后利

用面积公式可得．

解：(1)(n)2＋1＝n＋1，S n＝

n

2(n是正

整数)；

(2)∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝

3，…∴OA10＝10；

(3)S21＋S22＋S23＋…＋S210＝????

1

2

2

＋????

2

2

2

＋????

3

2

2

＋…＋????

10

2

2

＝

1

4(1＋2＋3＋ (10)

＝

55

4.

方法总结：解题时通过分析找到各部分

的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律

要认真观察、仔细思考，善用联想．

探究点三：代数式的定义及简单应用

按照下列程序计算，表格内应输

出的代数式是____________．

n→立方→＋n→÷n→－n

→答案

解析：根据程序所给的运算，用代数式

表示即可，

根据程序所给的运算可得输出的代数

式为

n3＋n

n－n.故答案为

n3＋n

n－n.

方法总结：根据实际问题列代数式的一

般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代

表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形

表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的

运算关系及运算顺序写出代数式．

三、板书设计

1．二次根式的性质1：(a)2＝a(a≥0)；

2．二次根式的性质2：a2＝a(a≥0)．

3．代数式的定义

用基本运算符号(基本运算符号包括

加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示

数的字母连接起来的式子叫做代数式．

新的教学理念要求教师在课堂教学中

注意引导学生进行探究学习，在课堂教学

中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励

学生自由发言，但在师生互动方面做得还不

够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中

应多培养学生合作交流的意识，这样有助于

他们今后的学习和生活．

17．1勾股定理

第1课时勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，

体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单

的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方

法．(难点)

一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态

优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它

由若干个图形组成，而每个图形的基本元素

是三个正方形和一个直角三角形．各组图形

大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说

说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】直接运用勾股定理

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝

90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理

即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面

积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得

到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝

12cm；

(2)S△ABC＝

1

2CB·AC＝

1

2×5×12＝

30(cm2)；

(3)∵S△ABC＝

1

2AC·BC＝

1

2CD·AB，∴CD

＝

AC·BC

AB＝

60

13cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利

用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法

表示出同一个直角三角形的面积，然后根据

面积相等得出一个方程，再解这个方程即

可．

【类型二】分类讨论思想在勾股定理

中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，

BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

解析：本题应分△ABC为锐角三角形和

钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋

9

＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5

＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴

当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长

为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】勾股定理的证明

探索与研究：

方法1：如图

：

对任意的符合条件的直角三角形ABC

绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所

以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正

方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，

而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和

Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾

股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全

等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根

据图示再写出一种证明勾股定理的方法

吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE面积

等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行

解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的

面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之

和解答．

解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE

＋S△BFE，即b2＝

1

2c

2＋1

2(b＋a)(b－a)，整理

得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；

方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其

直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得

到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD

＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋

S△BCD，即

1

2b

2＋1

2ab＝

1

2c

2＋1

2a(b－a)，整理得

b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，

∴a2＋b2＝c2.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全

等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后

利用大图形的面积等于几个小图形的面积

和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面

积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的

面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得

正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D

的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1

＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A、B、C、

D的边长正好是两个直角三角形的四条直

角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、

B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．

三、板书设计

1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别

为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、

“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯

图”．

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让

学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效

率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也

是本节课的难点，为了突破这一难点，设计

一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从

形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，

师生共同探究突破本节课的难点．

六、词语点将（据意写词）。

1．看望；访问。（）

2．互相商量解决彼此间相关的问题。（）

3．竭力保持庄重。（）

4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。（）

5．弯弯曲曲地延伸的样子。（）

七、对号入座（选词填空）。

冷静寂静幽静恬静安静

１．蒙娜丽莎脸上流露出（）的微笑。

2．贝多芬在一条（）的小路上散步。

3．同学们（）地坐在教室里。

4．四周一片（），听不到一点声响。

5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。

八、句子工厂。

1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）____________________________________ ____________________________________ ___

2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）

____________________________________ ____________________________________ ___

3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）

____________________________________ ____________________________________ ___

____________________________________ ____________________________________ _____

4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。

“把”字句：

____________________________________ _____________________________

“被”字句：

____________________________________ _____________________________

九、要点梳理（课文回放）。

作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和

__________，以及她__________、

__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。

综合能力日日新

十、理解感悟。

（一）

蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。