2007年江苏高考数学试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（江苏卷）

参考公式：

n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k k n k

n n P k C p p -=-

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．

是符合题目要求的。 1．下列函数中，周期为

2

π

的是（D ）

A ．sin

2

x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4

x y = D ．cos 4y x =

2．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（A ）

A ．{1,2}-

B ．{1,0}-

C ．{0,1}

D ．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为

20x y -=，则它的离心率为（A ）

A ．5

B ．52

C ．3

D ．2

4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（C ）

①//,m n m n αα⊥?⊥ ②//,,//m n m n αβαβ??? ③//,////m n m n αα? ④//,//,m n m n αβαβ⊥?⊥ 其中正确命题的序号是

A ．①③

B ．②④

C ．①④

D ．②③ 5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-

∈-的单调递增区间是（D ）

A ．5[,]6

ππ--

B ．5[,]6

6

ππ

-

-

C ．[,0]3

π

-

D ．[,0]6

π

-

6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，

则有（B ）

A ．132()()()3

2

3

f f f << B ．231()()()323f f f <<

C ．213

()()()3

3

2

f f f << D ．321

()()()2

3

3

f f f <<

7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 8．设2()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（A ）

A ．(1,0)-

B ．(0,1)

C ．(,0)-∞

D ．(,0)(1,)-∞+∞ 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有

()0f x ≥，则

(1)'(0)

f f 的最小值为（C ）

A ．3

B ．52

C ．2

D ．32

10．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（B ） A ．2 B ．1 C ．

12

D ．

14

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 11．若13cos(),cos()5

5

αβαβ+=

-=

，.则tan tan αβ= 1/2 .

12．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）

13．已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则

M m -= 32 .

14．正三棱锥P A B C -高为2，侧棱与底面所成角为45

，则点A 到侧面P B C 的距离是

655

.

15．在平面直角坐标系xOy 中，已知A B C ?顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆

2

2

125

16

x

y

+

=上，则

sin sin sin A C

B

+= 5/4 .

16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = 10s i n 60

t

π ，其中[0,60]t ∈。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分） 解：（1）2

3

2

5

441611100.055525125p C ????=-=??≈ ? ????

?

（2）4

1

5441110.00640.9955P C ??=-?-=-≈ ???

（3）3

14

444

10.02555

P C ??=?-?≈ ???

18．（本小题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1A A 上，点F 在1C C 上，且11AE FC ==， （1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分） （2）若点G 在B C 上，23

B G =

，点M 在1B B 上，

G M B F ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分）

（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ。（4分）

解：（1）证明：在DD 1上取一点N 使得DN=1，连接CN ，EN ，显然四边形CFD 1N 是平行

1

D

1

A

A

B

C

D

1

C

1

B

M

E

F

H

G

四边形，所以D 1F//CN ，同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN//AD ，且EN=AD ，又 BC//AD ，且AD=BC ，所以EN//BC ，EN=BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形，所以 CN//BE ，所以D 1F//BE ，所以1,,,E B F D 四点共面。

（2）因为G M B F ⊥所以B C F ?∽?MBG ，所以

M B B G B C

C F

=

，即2

33

2

M B =

，所以MB=1，

因为AE=1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1 ，且EM 在平面ABB 1A 1内，所以EM ⊥面11BCC B

（3）EM ⊥面11BCC B ，所以EM ⊥BF ，EM ⊥MH ，G M B F ⊥，所以∠MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角，∠EMH=90?，所以t a n M E M H

θ=，

ME=AB=3，B C F ?∽?MHB ，所以3：MH=BF ：1，BF=2

2

2313+=

，

所以MH=313

，

所以tan M E M H

θ==13

19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段A B 和直线:l y c =-交于,P Q ， （1）若2OA OB ?=

，求c 的值；（5分）

（2）若P 为线段A B 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

解：（1）设过C 点的直线为y k x c =+，所以()2

0x k x c c =+>，即

2

0x k x c --=，设A ()()

1122,,,x y B x y ，O A

=()11,x y ，()22,OB x y = ，因为

2O A O B ?= ，所以

12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，()2

2

1212122x x k x x kc x x c +-++=

所以22

2c k c kc k c --++= ，即220,c c --=所以()21c c ==-舍去

（2）设过Q 的切线为()111y y k x x -=-，/

2y x =，所以112k x =，即

B

A

x

y

O

C Q

l

P

22

11111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11

,22x c c x ??--

???，又2121

2,,2222x x y y k k P c ??++??=+ ? ?????

，所以Q ,2k c ??- ?

??，因为12x x c =-,所以21c x x -=，所以M 12

,,2

22

x x k c c ????

+

-=- ?

?????,所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。 （3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ,2k

c ??-

???，因为PQ ⊥x 轴，所以,2P k P y ??

???

因为

12

2

2

x x k +=

，所以P 为AB 的中点。

20．（本小题满分16分）已知 {}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，

11221

,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和， （1）若(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（4分）

（2）若3(i b a i =是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分） 解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()1

1d a

q =-（1

0a ≠）

（1）因为k m b a =，所以()()1

11111k a q a m a q -=+--，

()()()1

11121k q

m q m m q -=+--=-+-，

所以()

()()

()1

111111111k k a q

a m m q S m a q

q

------=

=

=--

（2）()()2

3111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，

所以()()()()2

2

111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，

所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为

()1

1n n b a q

n N -+

=∈，设数列{}n

a

中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--

现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()1

11111n a q a m a q -=+--中m

有正整数解即可，()()1

1

2

2

1

111,111

n n n q

q

m q m q q q q ----=+---=

=+++- ，所以

22

2n m q q q

-=+++ ，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3

i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为

()1

1n n b a q

n N -+

=∈与数列{}n

a

的第22

2n q q q

-+++ 项相等，从而结论成立。

（3）设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列，则有

2111

111,n m p a q

a q a q ---=+设(),,,n m x p n y x y N +-=-=∈，所以21y

x

q q

=+，令

1,2x y ==，

则3

210,q q -+=()()2

110q q

q -+-=，因为1q ≠，所以2

10q q +-=，

所以()512

q -=

舍去负值，即存在512

q -=

使得{}n b 中有三项

()13,,m m m b b b m N +

++∈成等差数列。

21．（本小题满分16分）已知,,,a b c d 是不全为0的实数，函数2

()f x bx cx d =++，

3

2

()g x ax bx cx d =+++，方程()0f x =有实根，且()0f x =的实数根都是

(())0g f x =的根，反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根，

（1）求d 的值；（3分）

（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分） （3）若1,(1)0a f ==，求c 的取值范围。（7分）

解（1）设0x 是()0f x =的根，那么()00f x =，则0x 是(())0g f x =的根，则

()00,g f

x =????

即()00g =，所以0d =。

（2）因为0a =，所以()()22

,f x bx cx g x bx cx =+=+，则()(

)(()

g f x f x b f x c =+

???

?

=()()222bx cx b x bcx c +++=0的根也是()()0f x x bx c =+=的根。 （a ）若0b =，则0c ≠，此时()0f x =的根为0，而(())0

g f x =的根也是0，所以0c ≠，

（b ）若0b ≠，当0c =时，()0f x =的根为0，而(())0g f x =的根也是0，当0c ≠时， ()0f x =的根为0和c b

-

，而()0b f x c +

=的根不可能为0和c b

-

，所以()0bf x c +=必

无实数根，所以()2

2

40,bc b c ?=-<所以240,04c c c -<<<，从而04c ≤<

所以当0b =时，0c ≠；当0b ≠时，04c ≤<。

（3）1,(1)0a f ==，所以0b c +=，即()0f x =的根为0和1， 所以()()2

22cx cx c cx cx c -+--++=0必无实数根，

（a ）当0c >时，t =2cx cx -+=2

1244c c c x ??--+≤ ??

?，即函数()2

h t t ct c =-+在4c t ≤，

()0h t >恒成立，又()2

2

224c c h t t ct c t c ?

?=-+=-+- ??

?，所以()m i n 04c h t h ??=> ???，

即

2

2

0,16

4

c

c

c -

+>所以1603

c <<

；

（b ）当0c <时，t =2cx cx -+=2

1244c c c x ??--+≥ ??

?，即函数()2

h t t ct c =-+在4c t ≥，

()0h t >恒成立，又()2

2

2

24c c h t t ct c t c ?

?=-+=-+- ??

?，所以()m in 02c h t h ??=> ???，

2

4

c

c -

0>，而0c <，所以2

4

c

c -

0<，所以c 不可能小于0，

（c ）0,c =则0,b =这时()0f x =的根为一切实数，而()0g f x =????，所以0,c =符合要求。 所以1603

c ≤<