八年级数学上册-13.4最短路径问题 教案
第十三章轴对称
13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】
教学目标知识
技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
过程
方法
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.
情感
态度
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【教学流程】
环节导学问题师生活动二次备课
情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，
走哪条路最近？你的理由是什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连
线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，
我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常
涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学
知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
教师出示问题，引导学生思
考、回答，引入课题。
自主探究
探究点一探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里
有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，
一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其
解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可
使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用
教师出示问题情境，激发学生
学习兴趣和探究欲望.
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后
来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1这是一个实际问题，你打算首先
做什么？
答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽
象为一条直线．
追问2你能用自己的语言说明这个问
题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然
后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多
处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段
的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到
B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出
使两条线段长度之和为最短的直线l上的
点．设C为直线上的一个动点，上面的问题
就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与
CB的和最小(如图)．
问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，
点C是直线上的一个动点，当点C在l的什
么位置时，AC与CB的和最小？
追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，
都保持CB与CB′的长度相等？
追问4：你能利用轴对称的有关知识，找
到上问中符合条件的点B′吗？
展示点评：作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l交于点C.
则点C即为所求．
追问5、你能用所学的知识证明AC＋
BC最短吗？
让学生将实际问题抽象为数
学问题，即将最短路径问题抽
象为“线段和最小问题”
学生尝试回答, 并互相补
充,最后达成共识:
教师引导学生，联想轴对
称知识解决，尝试作法，师生
共同矫正，
教师引导学生通过合作
交流完成证明；
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与
点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称
的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′.
即AC＋BC最短.
探究点二选址造桥问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要
在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到
B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行
的直线，桥要与河垂直．)
展示点评：从A到B要走的路线是
A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于
是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b
于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位
置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直
线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路
径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意
一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
学生证明后，教师提出下
面问题，引导学生小组讨论解
决：
证明AC＋BC最短时，为
什么要在直线l上任取一点
C′(与点C不重合)，
师生共总结方法：
运用轴对称变换及性质将不
在一条直线上的两条线段转
化到一条直线上，然后用“两
点之间线段最短”解决问
题．利用三角形的三边关系，
若直线l上任意一点(与点C
不重合)与A，B两点的距离和
都大于AC＋BC，就说明AC＋
BC最小. C′的代表的是除点
C以外直线l上的任意一点．
教师引导学生自主、合作探寻
解题思路，展示；
方法总结：解决连接河两岸的
两个点的最短路径问题时，可
以通过平移河岸的方法将河
的宽度为零，转化为求直线异
侧的两点到直线上一点所连
线段的和最小的问题．由两点
之间线段最短(或三角形两边
之和大于第三边)可知，求距
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B ∴AM＋NB＝A′N＋NB ∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B ∴AM＋NB ∵MN＝MN′ ∴AM＋MN＋NB 尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄. 欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两 地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表 示铺设的管道，则所需要管道最短的是（） 2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、 B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD, 若点A到河岸CD的中点的距离为500米， 则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所 走的最短距离是米. 4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两 点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最 小。 教师出示问题 学生先自主思考，后小组交流 ，最后展示答案，师生共同评 价： 答案：1、D； 2、1000； 3、A 4、答案如图所示： P点就是所求做的点 成果展示本节课你有什么收获？ ①学习了利用轴对称解决最短路径问题 ②感悟和体会转化的思想 师引导学生归纳总结. 梳理知识，并建立知识体 系. 补偿提高5、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往 山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路 径． 思路分析： 由于两点之间线段最短， 所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的 必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化 为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”． 作业设计作业： 教材第91页复习题13第15题. 学生认定作业，独立完成 最短路径问题 一、 学习目标 ①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容 自学课本85页，完成下列问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 三、探究学习 1、活动2：尝试解决数学问题 B 。 。A l B A l C 问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求 四、巩固测评 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和 最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B ′； （一）基础训练：1、最短路径问题 l B ′ C A B 初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短． 解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 A· B M N E 课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时） 内容分析 1.课标要求 “课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。 2.教材分析 知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。 能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。 思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思 想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性， 所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。 3.学情分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NB AM+ +最小?”需要将其转化为“当 MN 点N在直线2l的什么位置时，NB AM+最小?”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。 初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧 最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于 直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则 点C 就是所求的点． 、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边 OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A OM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在 连接A ′，A ″，分 别交 B 13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修 建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 最短路径问题探究 一、教材分析与学情分析 1．教材分析 （1）教学内容 《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课． 初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课 （2）地位和作用 近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用. 2．学情分析 （1）已有基础知识与生活经验分析 学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的. （2）学生起点能力分析 学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合. 二、教学目标： 依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标： ●知识与技能目标 1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题 2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题 ●方法与过程目标 1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯． 2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力 ●情感与态度目标 初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线 “街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是 所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何 处 才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与 河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉 作 物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 · · C D A B E a A· B M N E 13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 第五讲最短路径 一、知识点 二、课前练习 1、如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3) [ 2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 3、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 4、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 5、如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹） 6、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于________米． 7、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？ 8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 三、例题讲解 1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少 2、如图,在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED 的最小值 3、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB+MN最小，请找点M的位置，并求出MB+MN最小值. 4、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标 5、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，3 m）（m为非负数），求CA＋CB的最小值 三、练习 13．4课题学习：最短路径问题 教学目标: 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究,培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。 导学过程: 一、创设情景,引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。 二、自主学习,探究新知。 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中,不小心掉进茅厕坑,为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子,于是决定去河边先洗个澡,冲洗掉身上的脏物，然后再回家,如图所示，请你设计一种路线,教教可怜的灰太狼,告诉他走那条路线回家最近吗？ 茅厕 河边 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么? 将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线. 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗？ (1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡,然后到B 地; （２）在河边洗澡的地点有无穷多处,把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和; （3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在ｌ的什么位置时,ＡC 与CＢ的和最小(如图). 问题2 如图,点Ａ，B 在直线ｌ的同侧,点C 是直线上的一个动点，当点Ｃ在ｌ的什么位置时，AC与CB的和最小? 《最短路径问题（1）》教案 13.4.1 将军饮马问题 【一】教学目标 (一) 学习目标 1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题; 2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题; 3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 〔二〕教学重点 教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题. 〔三〕教学难点 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【二】教学过程 〔一〕课前设计 1．预习任务 前面我们研究过一些关于〝两点的所有连线中， 〞， 〝连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 〞 等的问题，我们称它们为问题． 【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径 2．预习自测 ⑴如下图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是. 【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短 【答案】②，两点之间，线段最短〔或者三角形中两边之和大于第三边〕 ⑵：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和〝两点之间，线段最短〞，那么AP+PB的最小值为线段AB的值. 【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】如图，那么点P就是所求的点. ⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测〔1〕，根据〝两点之间，线段最短〞，连接AB即可. 【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短. ⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，那么点P可能的个数为〔〕个 A. 3 B. 2 C. 1 D.0 【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质 【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B 在直线l的异侧〞，又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P. 【答案】C 【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．〔二〕课堂设计 1.知识回顾 ⑴两点的所有连线中，线段最短； ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边. 2.问题探究实际问题转化为数学问题 初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳 一、精心选一选 1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是() A. B. C. D. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：D. 解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D. 2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是() A.4 B.5 C.6 D.8 考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题. 答案：A. 解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE 的长，即等边△ABC的高，故选A. 3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：C. 解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C. 二、细心填一填 4.两点的所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实. 答案：线段. 解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段. 解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短. 6.如图，四边形ABCD中，△BAD=120°，△B=△D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时△AEF+△AFE的度数为. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键. 答案：120°. 解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知△A1=△DAF，△A2=△BAE，因为△A1+△A2=180°-△BAD=60°，所以△DAF+△DAF=△A1+△A2=60°，所以△EAF =60°，所以△AEF+△AFE=180°-△EAF=120°. 13．4 课题学习 最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】 两点的所有连线中，线段 最短 如图所示，在河a 两岸有A 、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？ (画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB 交直线a 于点P ，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由： 两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这 两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】 运用轴对称解决距离最短 问题 在图中直线l 上找到一点M ，使它 到A ，B 两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直 线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M ；(3)点M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A ，B ， 要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． (1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A 、B 两村的距离相等，即作出AB 的垂直平分线与EF 的交点即可， 个性化教学辅导教案 ——进门测评分_____ 1．如图，△ABC中，AB=AC=20，∠A=60°，则池塘的宽BC=． 2．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么∠CAB的值是． 3．如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是． 1．（2014秋?沙河市月考）如图，直线1表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河1上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（） A．B．C．D． 2．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．． 3．如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上） （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′； （2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）． （3）在MN上画出点Q，使得QA+QC最小． 精准突破一 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 例题讲解： 1．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为acm，那么直线l有点P，PA+PB 最短为cm． 2．如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使 △PMN的周长最小． 13.4课题学习：最短路径问题 教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。 导学过程： 一、创设情景，引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。 二、自主学习，探究新知。 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中，不小心掉进茅厕坑，为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子，于是决定去河边先洗个澡，冲洗掉身上的脏物，然后再回家，如图所示，请你设计一种路线，教教可怜的灰太狼，告诉他走那条路线回家最近吗？ 河边 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 厕 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A ，B 两地抽象为两个点，将河ｌ 抽象为一条直线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边ｌ洗澡，然后到B 地； （2）在河边洗澡的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到洗澡地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 问题2 如图，点A ，B 在直线ｌ 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 我们不妨先考略这个问题 : · A ｌ 初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题 】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文 第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】 教学目标知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想. 情感 态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】 环节导学问题师生活动二次备课 情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择， 走哪条路最近？你的理由是什么？ 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 教师出示问题，引导学生思 考、回答，引入课题。 自主探究 探究点一探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用 教师出示问题情境，激发学生 学习兴趣和探究欲望. 合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后 来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1这是一个实际问题，你打算首先 做什么？ 答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽 象为一条直线． 追问2你能用自己的语言说明这个问 题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然 后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多 处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段 的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到 B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出 使两条线段长度之和为最短的直线l上的 点．设C为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与 CB的和最小(如图)． 问题2：如图，点A，B在直线l的同侧， 点C是直线上的一个动点，当点C在l的什 么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C， 都保持CB与CB′的长度相等？ 追问4：你能利用轴对称的有关知识，找 到上问中符合条件的点B′吗？ 展示点评：作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l交于点C. 则点C即为所求． 追问5、你能用所学的知识证明AC＋ BC最短吗？ 让学生将实际问题抽象为数 学问题，即将最短路径问题抽 象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补 充,最后达成共识: 教师引导学生，联想轴对 称知识解决，尝试作法，师生 共同矫正， 教师引导学生通过合作 交流完成证明； 八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小. 练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。 练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 提高训练 一、题中出现一个动点。 1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。初二数学 最短路径问题
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