初三-相似三角形复习讲义

G K

相似三角形综合复习

例1.如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，

BP CD ABC ==

3，，求△

的边长

例2. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，

（1）求证：△AEF ∽△CEA

（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°

例3.如图，在?ABC 中，点E 、F 在BC 边上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，四边形DEFG 是矩形，若矩形DEFG 的面积与?ADG 的面积相等，设?ABC 的BC 边上的高AH 与DG 相交于点K 。求BC

的值。

例4. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ，

AD=BD ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于F 。求证：（1）AF=BE ；

（2）EC AE AF ?=2

D E

1、在梯形ABCD 中AD ∥BC,AC 与BD 交于点O ，如果AD:BC=1:3，下列结论正确（） A.AOD COD S S ??=9 B.AOD ABC S S ??=9 C.AOD BOC S S ??=9 D. AOD DBC S S ??=9

2、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为1：4，那么两底的比为（）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D:1:16

3、一油桶高0.8m ，桶内未盛满油，一根木棒长1m ，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为__________m 。

4. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F 。求证：OE=OF

5. 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：

AG 2

=AF ·FC

6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

7．如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥B C ，AD=3cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B (1)求证：△ABP∽△PCE； (2)求等腰梯形的腰AB 的长；

C E

D O

A x

y (3)在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE ：EC=5：3？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．

8.．已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE=BE.

求证：（1）︵AB =︵

AF ；

（2）AH ·BC=2AB ·BE.

9．如图矩形ABCD 的边长AB=2，AD=3，点D 在直线2

32+-=x y 上，AB 在x 轴上。

（1）求矩形ABCD 四个顶点的坐标；（2）设直线2

32+-

=x y 与y 轴的交点为E ，M （x ，0）为x 轴上的一点（x ＞0）

，若ΔEOM ∽ΔCBM ，求点M 的坐标；

（3）设点P 沿y 轴在原点O （0，0），与H （0，-6）点之间移动，问过P 、A 、B 三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内部，请说名理由。

10、如图，正?ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连接DE ，交BC 于点P 。（1）求证：DP=PE ；

（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。

11、已知如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD 于点H ，P 为AD 上的一个动点（点P 与点A 、D 不重合），CP 与BD 交于点E ，若CH=60/13，DH ：CD=5：13，设AP=x ，四边形ABEP 的面积为y 。（1）求BD 的长；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）当四边形ABEP 的面积是ΔPED 面积的5倍时，连接PB ，判断ΔPAB 与ΔPDC 是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。

12、如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，FE ⊥EC 交AB 于F ，连接FC （AB ＞AE ）。（1）ΔAEF 与ΔEFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。（2）设

k BC

，是否存在这样的k 值，使得ΔAEF ∽ΔBCF ？若存在，证明你的结论并求出k 值；若不存在，请说明理由。

D G

H M

13. 如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，且AB=3AD ，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC ∽△CBD 。

14. 如图，BE 为△ABC 的外接圆O 的直径，CD 为△ABC 的高，求证：AC ·BC=BE ·CD

15. 如图，Rt △ABC

中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD=16，AB 45，（1）求证：CE=EF （2）求EG 的长

16．已知如图，ΔABC 的内接矩形EFGH 的一边在BC 上，

高AD=16，BC=48。

（1）若EF ：FG=5：9，求矩形EFGH 的面积；

（2）设EH=x ，矩形EFGH 的面积为y ，写出y 与x 的函数关系式；

（3）按题设要求得到的无数多个矩形中，是否能够找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ΔABC 的面积？若能

(2) B 找到，请你求出它们的边长EH ，若找不到，请你说明理由。

17如图（1），AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，我们可以证明

CD AB 1

11=

+成立（不要求证明），若将图中的垂直改为斜交，如图（2），AB ∥CD ，AD ，BC ，相交于点E ，过E 作EF ∥AB ，交BD 于F ，则：（1）

CD AB 1

11=

+还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）若AB 、CD 是方程0)12(2

=++-m x m x 的两根，设EF 为y ，求y 与m 之间的关系式及m 的取值范围。（3）请给出ABD S ?，BED S ?，BDC S ?间的关系式，并给出证明。

28、如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，弦AE 与CD 交于F ，则有结

论AD 2

=AE·AF 成立(不要求证明)．

(1)若将弦CD 向下平移至与⊙O 相切于B 点时，如图2，则AE ．AF 是否等于AG 2

?如果不相等，请探求AE·AF 等于哪两条线段的积?并给出证明．

(2)当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =

三角形全等相似知识点总结

三角形全等、相似知识点比较总结
三角形特点及相似全靠等的概：特点：三角形的稳定性，这一特征的本质就是“边长确定，大小、形状也就确定”，三角形的一个元素变化，相应的边和角都会跟着变化。概念：1、相似三角形是指形状相同的三角形。2、全等三角形指的是两个三角形的形状、大小完全相同。结论：1、可见全等三角形要在相似三角形的基础上多加几个个条件才能确定。2、判断三角形的全等与相似实际上是看由哪几个元素能确定一个唯一的一个大小或形状相同的三角形。3、要保证三角形相似（形状一样），对应角必须相等；要保证对应角相等，对应边变化必须成比例。
三角形全等
三角形相似
性
（1）全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。
质
（1）（SSS）三边对应相等的两个三
角形全等。?
√
（2）(AAA)
×
（3）(ASA)两角和它们的夹边对应
判相等的两个三角形全等。
√?
A
（4）(AAS)两角和其中一角的对边 A
对应相等的两个三角形全等。 √?
（5）（SAS)两边和它们的夹角对应 A
定相等的两个三角形全等。
√
（6）(SSA)
S
×
（7）斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等。
√
A
S
A S
S
A
S S
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。? (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比。? (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（1）(SSS)三边对应成比例，
两三角形相似。
√
A A
（2）(AA)两角对应相等，两三
角形相似。
√
A
A
（3）(SAS)两边对应成比例且平行线分线段成比例
夹角相等，两三角形相似 √
A
（4）(SSA)
×
D
E
B
F
C

初三相似三角形讲义

初三相似三角形讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△ A / B / C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b= c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，（4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．（4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

初三相似三角形的判定培优同步讲义

初三相似三角形的判定培优同步讲义学科教师辅导讲义体系搭建一、知识框架二、知识概念 (一)相似三角形的概念对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 1、相似三角形是相似多边形中的一种; 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; 3、相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; 4、母子型:已知∠ACB=90°,AB ⊥CD ,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD . 5、斜交型: 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)b5E2RGbCAP 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) 考点 1:三角形相似判定方法的运用例 1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点 D ,则图中相似三角形共有( ) A .1 对 B .2 对 C .3 对 D .4 对 p1EanqFDPw 例 2、如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( ) A .∠ABD=∠ACB B .∠ADB=∠ABCDXDiTa9E3d C .AB 2 =AD?AC D .= 典例分析 A B C D A B C D E 12 A

A B B C C D D E E 124 1 2 E C B D A B C D E A E
( )
A D C B 例 3、已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E 是 BC 的中点,连接 AE、 AC.RTCrpUDGiT (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1),求证:△AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2),求证:四边形 EFDG 是菱形. 例 4、如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数. 考点 2:网格图中相似三角形的判定例 1、下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是() A.B.C.D. 实战演练课堂狙击 1、下列命题中,是真命题的为() A.锐角三角形都相似

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

(完整版)初三数学相似三角形的判定

【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【典型例题】 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。例1. 如图，△ABC中，∠A= 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB 于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。

【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（）（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（）（7）所有的菱形均相似（）（8）所有的正方形均相似（） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ，求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。一、重要定理（比例的有关性质）：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理）

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

初三相似三角形知识点以及经典例题

相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段,,,a b c d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b = ②在比例式 (::)a c a b c d b d ==中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项,如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=等。（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?= ?? ?=?=? ??=?? ，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?= ．（4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若 c b a +＝a c b +＝b c a +＝－m 2，则m ＝______．知识点4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.(相似) 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念 1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ．相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ．三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即（AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2，即（AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

相似三角形知识点梳理及经典练习

相似三角形知识点梳理及经典练习知识点1：有关相似形的概念 1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2：比例线段的相关概念 1.线段比：如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 2.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段 d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． d 叫比例后项， d 叫第四比例项.如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有 2b ad =。 3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。知识点3：比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0） 1.基本性质：（1）bc ad d c b a =?=::；

（2）2::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，可化为： d c b a ::=，d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=， c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法． ②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

初三数学讲义相似三角形的B字型

初三数学讲义（6）相似专题二B 字型相似姓名引例已知：如图，在正方形ABCD 中，Q 是边CD 上的一点, QP ⊥AQ 交 BC 于Q, .求证：ΔADQ 与ΔQCP 相似。 1、如图，已知P 是等边ABC △的边BC 上一点，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°。求证：△ABP ∽△PCD 。 2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°. 求证：△ABD ∽△DCE 。解题总结： 1）请根据三道例题归纳出一个相似基本图形：练习1.如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设 BP= x, △ADQ 的面积为y. (1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少? A D C P B 60°

练习2.如图，梯形ABCD 中 AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC 上任取一点P ，作射线PE ⊥PD ，与线段AB 交于点E. （1）试确定CP=5时点E 的位置；（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围. 练习3．.矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使D 与CB 边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______ 练习4.在直角梯形ABCF 中，CB=14，CF=4, AB=6,CF ∥AB,在边CB 上找一点E,使以E 、A 、B 为顶点的三角形和以E 、C 、F 为顶点的三角形相似，则CE= 练习5.如图，点A 在反比例函数x y 4= 的图像上,点B 在反比例函数x k y =(k<0)的图像上,且∠AOB=90°，tan ∠OAB=4:3，则k 的值是练习6.如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°. （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出当BD 为何值时AE 取得最小值；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长。

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D

九年级数学上册相似三角形的判定-讲义

作品编号：0115230988859532558954500001 学校：秘强市景秀镇赛班家屯小学* 教师：丽景春* 班级：凤凰队参班* 学科：数学专题：相似三角形的判定重难点易错点解析判断三角形是否相似，要注意思维的完整性．题一题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．金题精讲题一题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想， (1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA； (2)求证：CD2=AD·AD； (3)求证：AC·BC=AB·CD．

三角形相似题二题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD=BE·EC．圆周角定理、相似三角形满分冲刺题一题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少? 相似多边形、二次函数题二题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．

利用平行线构造相似三角形题三题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．图13－2 相似三角形的判定

讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：6对．金题精讲题一答案：利用三角形相似证明．题二答案：提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ．满分冲刺题一答案：25= x 时，S 的最大值为252．题二答案：12 AF FB =．题三答案：如图13－3．图13－3 ∵AB ⊥BC ，PB ⊥BF ， ∴∠ABP =∠CBF ．

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b= c ： d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 n m b a =

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2）图（3）图（4）图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ， = ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.