(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题三数列与不等式第4讲不等式学案

第4讲不等式

[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大．

热点一基本不等式

利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值

s2(简记为：和定，积有最大值)．

例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a>b>0，当

＋

b(a－b)

取得最小值c时，函数f(x)＝|x－a|＋|x －b|＋|x－c|的最小值为( )

A．3 B．2 2 C．5 D．4 2

答案 A

解析

＋

b(a－b)

＝

[b＋(a－b)]2

＋

b(a－b)

≥2b(a－b)＋

b(a－b)

≥22b(a－b)·

b(a－b)

＝4，

当且仅当a＝2b＝2时，上面不等式中两个等号同时成立，

所以

＋

b(a－b)

的最小值为4，此时a＝2，b＝1，c＝4，

则f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－4|

＝

??7－3x，x<1，

5－x，1≤x≤2，

x＋1，2

3x－7，x>4，

所以当x＝2时，函数f(x)取得最小值f(2)＝5－2＝3，故选A.

(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值为________．

答案62－1

解析由(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，得a ＋b ＝9a ＋2b ＋1，则3a ＋4b ＝2(a ＋b )＋a ＋2b ＝18

a ＋2

b ＋1

＋(a ＋2b ＋1)

－1≥2

18a ＋2b ＋1×(a ＋2b ＋1)－1＝62－1，当且仅当18

a ＋2

b ＋1

＝a ＋2b ＋1>0时，等号成立，所以3a ＋4b 的

最小值为62－1.

思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．

跟踪演练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9

的最小值为( )

A ．8

B ．9

C ．12

D ．16 答案 D

解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝()x ＋y lg 2， ∴x ＋y ＝1，

∴1x ＋9y

＝()x ＋y ? ??

??1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y

≥10＋2

y x ·9x

＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝3

4时取等号，

故1x ＋9

的最小值为16，故选D.

(2) 已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →

|＝|AB →

|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．4 2 答案 C

解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →

|，又|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2

＝2, ∴x 2

＋y 2

＝4，

∵(x ＋y )2

＝x 2

＋y 2

＋2xy ≤2(x 2

＋y 2

)＝8，当且仅当x ＝y 时取等号，

∴x ＋y ≤22，即x ＋y 的最大值为22，故选C.

热点二简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行

域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．

例 2 (1)(2018·浙江)若x ，y 满足约束条件????

x －y ≥0，2x ＋y ≤6，

x ＋y ≥2，

则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是

________．答案－2 8

解析由????

x －y ≥0，2x ＋y ≤6

x ＋y ≥2

，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．

由?

2x ＋y ＝6，

x ＋y ＝2，解得A (4，－2)，

由?

x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)，

将目标函数y ＝－1

x 平移可知，

当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2；当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8.

(2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x ，y 满足?

－x ＋y <1，

y ≥|2x －1|，则x 2＋y 2

的取值范围是( )

A.????

??12，13

B.??????14，13

C.??

55，13 D.????

??15，13 答案 D

解析在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP ，设z ＝

x 2＋y 2，求z ＝x 2＋y 2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围．

由图可知，作OH ⊥MN 于点H ，

由N (0,1)，M ? ??

??12，0，得OH ＝

OM ·ON MN ＝5

， ∴z min ＝1

又∵OP 2

＝22

＋32

＝13，但点P 不在图中阴影部分内， ∴z ＝x 2

＋y 2

取不到13，

∴x 2＋y 2

的取值范围是????

??15，13，故选D.

思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．

(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

跟踪演练2 (1)(2018·浙江省名校协作体联考)若不等式组????

x ≤1，y ≤3，

λx －y ＋2λ－2≥0

表示的平面区域经过四个

象限，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－1,1] C ．[－1,2) D ．(1，＋∞)

答案 D

解析在平面直角坐标系内画出不等式组?

x ≤1，

y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．

直线λx －y ＋2λ－2＝0恒过定点(－2，－2)，由图易得不等式组????

x ≤1，y ≤3，

λx －y ＋2λ－2≥0

表示的平面区域为

阴影部分在直线λx －y ＋2λ－2＝0下方的部分，当λ>1时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；当2

3<λ≤1

时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当0≤λ≤2

3时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；

当λ<0时，不等式组表示的平面区域不经过第一象限，所以实数λ的取值范围是(1，＋∞)，故选D.

(2)(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组????

x ≤m ，x ＋y ≥0，

2x －y ≥0(m >0)表示的平面区域为

Ω，P (x ，y )为Ω上的点，当2x ＋y 的最大值为8时，Ω的面积为( )

A ．12

B ．8

C ．4

D ．6 答案 D

解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m ，－m )，(m,2m )为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(m,2m )时，z ＝2x ＋y 取得最大值，所以2m ＋2m ＝8，解得m ＝2，则此时平面区域Ω的面积为1

2×2×(4＋2)＝6，故选D.

热点三绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法

(1)|ax ＋b |≤c (c >0)?－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c (c >0)?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .

(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式

(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立．

(2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．

例3 (1)(2018·宁波期末)若函数f (x )＝????

??|x |－1x 在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M

－m 等于( ) A.74 B ．2 C.94 D.11

4 答案 C

解析因为f (x )＝??????|x |－1x ≥0，当x ＝1时，等号成立，所以m ＝0.又因为f (x )＝??????|x |－1x ≤||x ||＋????

?1x ＝|x |＋1|x |，当x <0时等号成立．设t ＝|x |，g (t )＝t ＋1t (1≤t ≤4)，则g ′(t )＝12t －1t 2＝3

2t t

-,令g ′(t )＝

222t t

-＝0，得t ＝34，所以函数g (x )在[1，34]上单调递减，在(3

4，4]上单调递增，且g (1)＝2，g (4)＝94，所以g (t )在[1,4]上的最大值为94，所以当x ＝－4时，f (x )＝?

?????|x |－1x 取得最大值M ＝94，所以M －m ＝94，故选

(2)已知m ∈R ，要使函数f (x )＝|x 2

－4x ＋9－2m |＋2m 在区间[0,4]上的最大值是9，则m 的取值范围是__________．答案 ? ??

??－∞，72

解析不等式即为|x 2

－4x ＋9－2m |＋2m ≤9，x ∈[0,4]，等价于|x 2

－4x ＋9－2m |≤9－2m ，x ∈[0,4]， 2m －9≤x 2－4x ＋9－2m ≤9－2m ，x ∈[0,4]， 4m －18≤x 2－4x ≤0，x ∈[0,4]，结合函数的定义域可得(x 2

－4x )min ＝－4，据此可得4m －18≤－4，m ≤7

2，

即m 的取值范围是?

????－∞，72. 思维升华 (1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件．

(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定．

跟踪演练3 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C

解析 |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x |＋|(y －1)－(y ＋1)|＝3，当且仅当0

(2)(2018·杭州质检)设函数f (x )(x ∈R )满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2

|≤34，则f (1)＝________.

答案 3

解析由题意得|f (1)－12

|≤14，①

|f (1)＋1－12

|≤34

，②

由①得34≤f (1)≤54，由②得－34≤f (1)≤34，

所以f (1)＝3

真题体验

1．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为__________．

答案(2,4)

解析由－1

2．(2017·浙江改编)若x，y满足约束条件

x≥0，

x＋y－3≥0，

x－2y≤0，

则z＝x＋2y的取值范围是____________．

答案[4，＋∞)

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示．

由题意可知，当直线y＝－

x＋

过点A(2,1)时，z取得最小值，即z min＝2＋2×1＝4.

所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．

3．(2016·浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是________．(填序号)

①若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100；

②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100；

③若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100；

④若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100.

答案④

解析对①，当a＝b＝10，c＝－110时，此式不成立；

对②，当a＝10，b＝－100，c＝0时，此式不成立；

对③，当a＝10，b＝－10，c＝0时，此式不成立．

故填④.

4．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则

a4＋4b4＋1

的最小值为________．

答案 4

解析∵a，b∈R，ab>0，

∴

a4＋4b4＋1

≥

4a2b2＋1

＝4ab＋

≥24ab·

＝4，

当且仅当

a2＝2b2，

4ab＝

，

即

??a2＝22，

b2＝

时取得等号．

故

a 4＋4

b 4

＋1

的最小值为4. 押题预测

1．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1

＝5，则x ＋y 的最大值是( )

A ．3 B.72 C ．4

D.92

押题依据基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合．答案 C

解析由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y

，

∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋

x ＋y ? ??

?x ＋y 22

＝x ＋y ＋4

x ＋y ，

当且仅当x ＝y 时取等号． ∴(x ＋y )2

－5(x ＋y )＋4≤0，

解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.

2．在R 上定义运算：??

????

b c

d ＝ad －bc ，若不等式????

x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，

则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.3

押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式．答案 D

解析由定义知，不等式??

??x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2

－a －2)≥1，

∴x 2

－x ＋1≥a 2

－a 对任意实数x 恒成立．

∵x 2

－x ＋1＝? ????x －122＋34≥34

，

∴a 2

－a ≤34，解得－12≤a ≤32，

则实数a 的最大值为3

3．设变量x ，y 满足约束条件????

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，

y －3≤0，

则目标函数z ＝4x ＋y 的最小值为( )

A ．－6

B ．6

C ．7

D ．8

押题依据线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点．答案 C

解析由x ，y 满足的约束条件????

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，

y －3≤0

画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，

当直线z ＝4x ＋y 过点C (1,3)时，z 取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.

4．若不等式x 2

＋2x

＋16b a

对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )

押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点．答案 A

解析不等式x 2＋2x

＋16b a

对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2

＋2x

??a b ＋16b a min .

因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b

＋16b

≥2

a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16b

，即a ＝4b >0时取等号)，所以x 2

＋2x <8，解得－4

A 组专题通关

1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )

解析方法一 ∵a >b >0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.

∵b 2a ＝1

2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a

∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a

·ln 2 ＝－a －2

·2－a

(1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．

∴f (a )

∵a ＋1

＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，

∴b 2a

. 故选B.

方法二 ∵a >b >0，ab ＝1， ∴取a ＝2，b ＝12

，

此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝1

，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，

∴b 2a

. 故选B.

2．(2018·嘉兴市、丽水市测试)已知p ：不等式(ax －1)·(x －1)>0的解集为? ????1a ，1，q ：a <12，则p 是q 的( )

解析由不等式(ax －1)(x －1)>0的解集为? ??

??1a

，1，得a <0且1a

<1，解得a <0，所以“不等式(ax －1)(x －1)>0的

解集为? ??

??1a ，1”是“a <12”的充分不必要条件，故选A. 3．(2018·绍兴市柯桥区质检)若x ，y 满足约束条件????

解析作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，平移直线y ＝2x ＋z ，当其过点B (1,2)，

C (2,0)时，目标函数z 分别取到最大值0和最小值－4，故选A.

4．(2018·诸暨模拟)已知a ，b ∈R ，|a －sin 2

θ |≤1，|b ＋cos 2

θ|≤1，则( ) A ．a ＋b 的取值范围是[－1,3] B ．a ＋b 的取值范围是[－3,1] C ．a －b 的取值范围是[－1,3] D ．a －b 的取值范围是[－3,1] 答案 C

θ)≤2，即－2≤a －b －1≤2，所以－1≤a －b ≤3，故选C. 5．已知正项等比数列{a n }的公比为3，若a m a n ＝9a 2

2，则2m ＋12n 的最小值等于( )

A ．1 B.12 C.34 D.3

答案 C

解析 ∵正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 2

∴16×(m ＋n )? ????2m ＋12n ＝16×? ????2＋m 2n ＋2n m ＋12≥16×? ????52＋2＝34

，当且仅当m ＝2n ＝4时取等号．故选C. 6．(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)若关于x 的不等式|x ＋t 2

＋2t －1)|＝|2t ＋1|，则由关于x 的不等式|x ＋t 2

－2|＋|x ＋t 2

＋2t －1|<3t 无解，得|2t ＋1|≥3t ，解得t ≤1，故实数t 的取值范围为t ≤1，故选C. 7．(2018·嘉兴市、丽水市测试)已知x ＋y ＝1x ＋4

＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )

解析由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8，得x ＋y －8＝1x ＋4

，

则(x ＋y －8)(x ＋y )＝? ??

令t ＝x ＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥9，所以x ＋y 的最小值为9，故选B.

8．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( ) A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6 答案 A

解析由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.

9．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,4]

解析 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 10．已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2

解析方法一由x ＋y ＝1，得y ＝1－x .

又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2

－2x ＋1＝2? ????x －122＋12.

由0≤x ≤1，得0≤? ????x －122≤1

，

即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2

已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2

＋y 2

＝1－2xy . 因为1＝x ＋y ≥2xy ，所以0≤xy ≤14，

可视为原点与线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2

＋y 2

)min ＝?

??|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max ＝OA 2＝OB 2

11．(2018·台州市联考)若实数x ，y 满足x 2

＋4y 2

＋4xy ＋4x 2y 2

＝32，则x ＋2y 的最小值为________，7(x ＋2y )＋2xy 的最大值为__________．答案－4 2 16

＋2y 的最小值为－4 2.由(x ＋2y )2

sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝7

，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x ＋2y )＋2xy 取得最大值16.

12．(2018·浙江省衢州二中模拟)已知实数x ，y 满足x >1，y >0，且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y

y ＝10－[(x －1)＋4y ]，则?

????1x －1＋1y 2＝? ???

?1x －1＋1y {10－[(x －1)＋4y ]}

＝10? ????1x －1＋1y －? ????5＋4y x －1＋x －1y

≤10? ????1x －1＋1y －? ??

，即2y ＝x －1>0时，等号成立，令t ＝

13．(2018·台州市联考)设实数x ，y 满足条件????

x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，

解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z ＝2x 2

－y －2与平面区域内的边界x －y ＋1＝0(x ≥0)相切时，z ＝2x 2

－y －2取得最小值，联立

z ＝2x 2

－y －2，x －y ＋1＝0，消去y 化简得2x 2－x －3－z ＝0，因为曲线z ＝2x 2

－y －2与x －y ＋1＝0(x ≥0)相切，所以关

于x 的一元二次方程2x 2－x －3－z ＝0有两个相等的正实数根，则(－1)2

－4×2×(－3－z )＝0，解得z ＝－258，

满足题意，即目标函数z ＝2x 2

－y －2的最小值为－258，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目

标函数无最大值，故选A.

14．(2018·浙江省杭州第二中学等五校联考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，有以下四个命题： ①以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； ②以2a ,2b ,2c

④以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B

解析由题意不妨设a ≥b ≥c ，则b ＋c >a .对于①，(b ＋c )2

－(a )2

＝b ＋c ＋2bc －a >0，所以以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在，①正确；对于②，令a ＝5，b ＝c ＝3，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而2a ＝32,2b

＝2c ＝8，则2a ,2b ,2c 不能构成三角形，②错误；对于③，取a ＝3，b ＝c ＝2，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而a

不能构成三角形，③错误；对于④，因为|a －b |＋c ＝a ＋c －b ，|b －c |＋a ＝|c －a |＋b ＝a ＋b －c ，且a ＋b －c ≥a ＋c －b ，所以|b －c |＋a ＋|c －a |＋b >|a －b |＋c ，所以以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在，④正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选B.

15．(2018·浙江省台州中学统练)设m ，k 为整数，方程mx 2

－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根，则当m ＋k 取到最小值时，m ＝________，k ＝________. 答案 6 7

解析设f (x )＝mx 2

－kx ＋2，则方程mx 2

－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f (x )＝mx 2

－kx ＋2在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f (0)＝2>0，

以m 为横坐标，k 为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组?????

影部分(不包括边界)所示，又因为m ，k 为整数，则由图易得当目标函数z ＝m ＋k 经过平面区域内的点(6,7)时，

z ＝m ＋k 取得最小值z min ＝6＋7＝13，此时m ＝6，k ＝7.

16．已知a >b ，二次三项式ax 2

＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使ax 20

解析由题意，得a >b ，二次三项式ax 2

＋2x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，所以a >0，且Δ＝4－4ab ≤0，所以

ab ≥1.由存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，可得Δ＝0，所以ab ＝1，所以a >1，所以a 2

?a 4＋1a 3－a 2＝a 8＋1＋2a 4

＝? ????a 2＋1a 22? ????a 2＋1a 2－2＝? ????a 2＋1a 2－22＋4? ????a 2＋1a 2－4? ??

＋4(t －2)＋4t －2＝(t －2)＋4t －2＋4 ≥2

(t －2)·

t －2

＋4＝4＋4＝8，当且仅当t ＝4时取等号，所以? ??

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

广东省高考数学复习专题汇编不等式(试题)

不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》真题汇编附答案

【高中数学】数学《不等式》复习资料一、选择题 1．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒成立，则实数t 的取值范围是（）. A ．33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B ．2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C ．23,3?? +∞ ? ??? D ．3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0u u u r u u u r 两边平方得2 222 ()2()1k AB kt AB BC t BC +?+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2210k kt t -+->，构造函数2 2 ()1f k k tk t =-+-，由题意，( ) 2 2 410t t ?--<=，解得23t <-或23 t > . 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题. 2．若直线过点，则的最小值等于（） A ．5 B ． C ．6 D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，，，

当且仅当时，等号成立，故选C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】【分析】由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.

2017-18全国卷高考真题数学不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题数学不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，，当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ．当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=．综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ．（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a >，222ba b +==2.证明：（1）()22()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

2019高考数学不等式：基本不等式

基本不等式【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)．【考点突破】考点一、配凑法求最值【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0，

＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1，所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ，因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5，即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当

(完整版)高中数学不等式习题及详细答案

第三章不等式一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为

高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2；当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3，解得－33。 4。若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B 。若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2

高考数学之基本不等式

基本不等式基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案－2

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题： 1.（2015文）已知x，y满足约束条件 40 1 x y x y y -≥ ? ? +-≤ ? ?≥ ? ，则y x z+ - =2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）1 2.（2015理）若x，y满足 1 x y x y x - ? ? + ? ? ? ≤， ≤， ≥，则2 z x y =+的最大值为（） A．0 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2 z x y =+，则 11 22 y x z =-+，令0 Z=，

作直线 1 2 y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2. 考点：线性规划； 3．（2015文）若直线1(0,0) x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 考点：基本不等式． 4．（2015理）若变量,x y满足约束条件 20, 0, 220, x y x y x y +≥ ? ? -≤ ? ?-+≥ ? 则2 z x y =-的最小值等于 ( ) A． 5 2 - B．2- C． 3 2 - D．2 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2 y x z =-，当z最小时，直线2 y x z =-的纵截距最大，故将直线2 y x =经过可行域，尽可能向上移到过点 1 (1,) 2 B-时，z取到最小值，最小值为 15 2(1) 22 z=?--=-，故选A．考点：线性规划． 5．（2015文）变量,x y满足约束条件 220 x y x y mx y +≥ ? ? -+≥ ? ?-≤ ? ，若2 z x y =-的最大值为2，则实数m等于（）A．2 - B．1 -C．1 D．2 【答案】C 【解析】

2018年高考数学—不等式专题

不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0，则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案－5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.

(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )

2020高考数学模拟试题(理)《不等式》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编 1．（2020?桥东区校级模拟）已知函数()2|1|f x x mx =-+，m R ∈．（1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集；（2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值． 2．（2020?眉山模拟）已知函数()|1||21|f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x +…；（2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 3．（2020?内蒙古模拟）已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-．（1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围． 4．（2020?五华区校级模拟）已知()|4||8|f x ax ax =--+．（1）当2a =时，解不等式()2f x <；（2）求()f x 的最大值． 5．（2020?龙岩一模）已知函数()|1||2|f x x x a =++-．（1）若1a =，解不等式()4f x <；

（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 6．（2020?芮城县模拟）已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（1）若f （1）2<，求实数a 的取值范围；（2）若1a -?，x R ∈，求证：()4f x …． 7．（2020?临汾模拟）设函数()|2|f x x a =+（其中0)a <．（1）解不等式：()3f x …；（2）若1a =-，解不等式1 ()||2f x x a +-<． 8．（2020?长治一模）设函数()|22||2|f x x x =+-的最大值m ．（1）求m 的值．（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求22 11 a b b a + ++的最小值． 9．（2020?吉林二模）已知函数()16|21|f x x =--．（1）解不等式()|2|f x x +?；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．

不等式-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题20 不等式训练【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。【温馨小提示】在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B

4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，所以，，故A、B正确；由已知得，，所以，所以C错误；由，得，，所以成立，所以D正确．故选C．

高中数学高考题详解-基本不等式

考点29 基本不等式一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，

则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥

(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题三数列与不等式第4讲不等式学案