陕西省西安中学2021届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题

西安中学高2021届高三第二次模考

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 满足{}1{1,A ??2，3}的集合A 的个数是( ) A. 2 B. 3

C. 4

D. 8

C

由条件{}1A ??{1,2,3}，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．

由题意，可得满足{}1{1,A ??2，3}的集合A 为：{}1，{}1,2，{}1,3，{1,2，3}，共4个．故选C ．

本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( ) A. 1500元 B. 1550元 C. 1750元 D. 1800元

A

设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合5025y =>，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．

设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，

由题设可知：()()0,0800

0.05800,80013000.1130025,1300x y x x x x ?<≤?

=-<≤??-+>?

，

因为5025y =>，所以1300x >，所以()0.113002550x ?-+=，解得1550x =，

故此人购物实际所付金额为1550501500

-=（元），故选A．

本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．

3. 在△ABC中，

1

2

BD DC

=，则AD=（）

A. 13

44

AB AC

+ B.

21

33

AB AC

+

C. 12

33

AB AC

+ D.

12

33

AB AC

-

B

△ABC中，

1

2

BD DC

=有1

3

BD BC

=，由向量加减的三角形法则有A AB BD

D=+、

BC AC AB

=-即可得AD、AB、AC间的等量关系

如下图，

1

2 BD DC

=

∴向量加法的三角形法则：A AB BD

D=+

∵

1

3

BD BC

=，又BC AC AB

=-

∴

1

()

3

BD AC AB

=-

即

112

()

333

AD AB AC AB AC AB

=+-=+故选：B

本题考查了向量加减法的几何应用，结合向量加减法的三角形法则得到几何图形中各边对应向量的数量关系

4. 若{} n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（ ） A. 公比为3e 的等比数列 B. 公比为3的等比数列 C. 公差为3e 的等差数列 D. 公差为3的等差数列

D

先根据等比数列的通项公式可知11n n a a e -=，再由313(1)1n n lna lna ----为常数，可判定31{}n lna -是公差为3的等差数列，故而得解．

解：因为{}n a 是公比为e 的正项等比数列，所以11n n a a e -=，且10a > 因为32

3311313(1)1

35

3413n n n n n n a a e lna lna ln ln lne a a e

--------====，为常数， 所以31{}n lna -是公差为3的等差数列，故选：D ．

本题考查等比数列的通项公式和等差数列的判定方法，还涉及对数的运算法则，考查学生的运算能力，属于基础题．

5. 已知双曲线()2

2

2210x y

a b a b -=>>

的渐近线与圆223204x x y -++=相切，则此双曲线的离心

率等于（ ） C.

3

D. 2

C

求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可． 圆x 2﹣2x+y 2+

34=0的圆心（1，0），半径为：1

2

， 双曲线的渐近线方程为：

y=±b

a

x ，由点到直线的距离可得到：12b ，解得b a

即2213b a =，222

1

3c a a -=，可得e=c a =3

．故选C ． 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值

和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A. (1022

1

2

π

+

+ B.

13

6

π

C. (112

1

2

π

+ D.

(1122

1

2

π

+

+

C

由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为

2 2π＋1＋2π×2＋

3

2

π＝

(112

2

π

+

＋1.

故答案为; C.

7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是

A.

1

15

B.

2

15

C.

2

45

D.

4

45

D

由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.

不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，

根据素数对(p，p+2)称为孪生素数，

则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，

共有4组，能够组成孪生素数的概率为2104445

P C =

=，故选D 本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力. 8. 设α，β是两平面，a ，b 是两直线．下列说法正确的是（ ） ①若//,//a b a c ，则//b c ②若a α⊥，b α⊥，则//a b ③若a α⊥，a β⊥，则//αβ ④若a β⊥，b αβ=，a α?，a b ⊥，则a β⊥

A. ①③

B. ②③④

C. ①②④

D. ①②③④

D

根据空间中平行和垂直的相关命题逐一判断即可. 由平行公理知①对，

垂直于同一平面的两条直线平行，故②对， 垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对．故选：D

本题考查的是空间中平行和垂直的相关命题的判断，较简单

9. 某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（ ） A. 320种 B. 252种 C. 182种 D. 120种

C

分析】分成3人、5人或者4人、4人，先分组再分配即可求解.

分成3人、5人两组时，有352

852112C C A =种，

分成4人、4人两组时，有44

2

84222

70C C A A =种，

所以共有11272182+=种，故选：C

10. 在等差数列{}n a 中100a <，110a >，且1110a a >，则在0n S <中，n 的最大值为（ ） A. 17 B. 18

C. 19

D. 20

C

【分析】由题可得190S <，200S >，即可判断. 设公差为d ，

100a <，110a >，0d ∴>，

1110a a >，则1110a a >-，即10110a a +>，

()119191019+1902a a S a =

=<，()

()11020101120+10+02

a a S a a ==>， 则0n S <时，n 的最大值为19.故选：C.

11. 已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF =3FB ，则直线l 的斜率为（ ） A. 2 B.

1

2

C.

3 D. 3

D

作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 1

2

=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.

作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ， 连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E .

∵AF =3FB ，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，

由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m . 因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 1

2

=

，得∠BAE ＝60° 所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，

得直线AB 的斜率k ＝tan 60°= D.

本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目. 12. 设函数()()2

1

ln 11f x x x =+-

+，则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围是（ ） A. 113?? ???， B. ()113?

?-∞?+∞ ???，，

C. 1133??- ???

， D. 1133????-∞-?+∞ ? ?????

，

， B

【分析】先利用定义判断()f x 的奇偶性，再由函数单调性的性质判断单调性，利用函数的单调性和函数的奇偶性脱掉f 解不等式即可求解. 函数()()21

ln 11f x x x =+-

+的定义域为R ， ()()()2

1

ln 11f x x f x x -=+-=+，可得()f x 是偶函数，

所以()()21f x f x <-等价于()()21f x f x <-

当0x >时，()()21ln 11f x x x =+-

+ 因为()=ln 1y x +单调递增，2

1

1y x =+单调递减，

所以()()2

1

ln 11f x x x =+-+为单调递增函数，

所以21x x <-，即()2

221x x <-，整理可得23410x x -+>， 解得：1x >或13

x <

， 所以使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围是()113??-∞?+∞ ??

?，，

，故选：B 思路点睛：本题解不等式的思路是先判断函数的奇偶性和单调性，即可根据函数的性质去掉f 转化为等价的不等式即可.

第二卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数()sin 202y x π???

?=+<< ??

?图象的一条对称轴是12x π=，则?的值是__________．

3

π

∵函数()sin 202y x π???

?=+<< ???图象的一条对称轴是12x π=，

∴2k πk Z 12

2

，π

π

??

+=

+∈

即k πk Z 3

π

?=+∈，，又02

π

?<<

∴3

π

?=

故答案为

3

π

14. 设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=+，则12||z z -=__________.

方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得

2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -.

方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，

12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，

1

a c

b d ?+=?∴?+=??12||=||=2z z ，所以224a b +=，224

c

d +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=

2ac bd ∴+=-

12()()z z a c b d i ∴-=-+-==

==

故答案为：

方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,

∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=?，

222221212121

||||||2||||cos12022222()122

Z Z OZ OZ OZ OZ =+-?=+-???-=

∴1212z 23z Z Z -==.

方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 15. 给出下列命题:

①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③命题“x R ?∈，使得210x x +-<”的否定是:“x R ?∈，均有210x x +->”；④命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_________. ④

①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断；②利用充分条件和必要条件的定义判断；③利用特称命题的否定判断；④利用逆否命题的等价性进行判断． 解：①根据否命题的定义可知，

命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误． ②由2560x x --=得1x =-或6x =，

所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误． ③根据特称命题的否定是全称命题，

得命题“x R ?∈，使得210x x +-<”的否定是： “x R ?∈，均有210x x +-”，所以③错误．

④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，

所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确． 故答案为：④．

本题考查命题的真假判断，以及充分必要条件、四种命题的关系和真假性的判断，属于基础题．

16. 若函数()2

1f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为______

e

设公切线与f （x ）、g （x ）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a 的取值范围．

解：设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（1x ，2

11x +），

与曲线C ：g （x ）＝2ln 1a x +切于点（2x ，22ln 1a x +），

∴2()()

2

2

2121122121

2ln 112ln 2a x x a x x a x x x x x x +-+-===

--， 化简可得，22

12211212ln x x x x x x x -=-，

∴122222?ln x x x x =- ∵212

2a x x =

， a 222

2222?ln x x x =-， 设h （x ）2222?lnx x x =-（x ＞0），则h ′（x ）()2x 12lnx =-， ∴h （x ）在（0

，

+∞）上递减， ∴h （x ）max ＝h

）e =， ∴实数a 的的最大值为e ， 故答案为e ．

本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．

三、解答题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答. (一）必考题，共60分

17. 在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若

DC =，求BC .

（1；（2）5.

（1）根据正弦定理可以得到

sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得sin ADB ∠=，结合角

的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos ADB ∠==

（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ?中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. （1）在ABD ?中，由正弦定理得sin sin BD AB

A ADB

=∠∠.

由题设知，

52sin45sin ADB =∠，所以sin 5

ADB ∠=.

由题设知，90ADB ∠<，所以cos ADB ∠==

（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ?中，由余弦定理得

2222cos 25825255

BC BD DC BD DC BDC =+-???∠=+-??=. 所以5BC =.

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，

D 为BC 的中点.

（1）证明：BC ⊥平面1A AD .

（2）若1A AD ?是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. （1）证明见解析，（2）

213

13

（1）根据等腰三角形三线合一证明1BC A D ⊥和BC AD ⊥即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角. （1）证明：连接1A B .

因为11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，11AA AA =，所以11A AB A AC ???，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.

因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因

1A D

AD D =，所以BC ⊥平面1A AD .

（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O ，因为1A AD ?是等边三角形，所以1A O AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.

因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以23AD =因为1A AD ?是等边三角形，所以1

3AO =.

所以)

A

，()10,0,3A

，()

B

，()2,0C -，则()

1AA =-

，

()

2,0AC =--.

设平面1AA C 的法向量(),,n x y z =，

则1330220

n AA z n AC y ??=-+=???=--=??，令1z =，得(

)

3,3,1n =-.

易知平面1A AD 的一个法向量为()0,4,0BC =

-，

记二面角1D AA C --为θ

，则

cos 13n BC n BC

θ?=

=

= 故sin 13

θ==

. 此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.

19. 某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p .

（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ①当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；

②是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. （Ⅰ）0.243； （Ⅱ）①见解析，②当1P ->

时，用分组的办法能减少检验次数. （Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果. （Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，

设事件A ：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()12

30.10.90.243P A C =??=

（Ⅱ）①当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的

次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为6

5

次，故ξ

的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下

()11k P P k ξ?

?==- ??

?

()1111k P P k ξ?

?=+=-- ???

∴()()()111111111k k k E P P P k k k ξ??

??=

?-++--=--+ ??

???

不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1

111k

P k

--+

< 即 1

P ->

所以当1

P ->

时，用分组的办法能减少检验次数. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.

20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2

，其长轴长为（1）求椭圆E 的方程；

（2）直线11:l y k x =交E 于A 、C 两点，直线22:l y k x =交E 于B 、D 两点，若121

2

k k ?=-.求

四边形ABCD 的面积.

（1）2

212

x y +=；（2）（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆E 的

方程；

（2）求出AC 以及点B 到直线AC 的距离d ，可得出四边形ABCD 的面积关于1k 、2k 的表达式，将21

1

2k k =-

代入四边形ABCD 的面积的表达式，化简即可得解. （1

）由已知得2c a a b ?=???=??=???

，解得11a b c ?=?=??=?， 因此，椭圆E 的方程为2

212

x y +=；

（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,C x y --、()22,D x y --，

联立1222

122

2222

y k x x k x x y =??+=?+=?，则2121212x k =+， (

)111AC x x ∴=--==

，同理可得2

222

2

12x k =

+， 且B 到直线1l

的距离d =

=

=

，

所以2ABC ABCD S S AC d ==?=

=

△四边形

又1221

1122k k k k =-

?=-

所以ABCD S =

=

=

=

=四边形. 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21. 已知函数()e sin 1x

f x ax x =-+-.

（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当12a ≤<时，证明：函数()f x 有2个零点.

（Ⅰ）()f x 在(],0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增；（Ⅱ）证明见解析.

（Ⅰ）代入a 的值，求出函数的导数，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间； （Ⅱ）0x =是()f x 的一个零点，通过讨论x 的范围，结合a 的取值范围，求出()f x '的单调性，得到()f x 在(),0π-上有1个零点，从而证明结论.

（Ⅰ）当2a =时，()e 2sin 1x f x x x =-+-，则()e 2cos x f x x '=-+，可得()e sin x

f x x ''=-.

当()0,x ∈+∞时，e 1x >，()1sin 0f x x ''∴>-≥，()f x '∴在()0,∞+单调递增，

()()00f x f ''∴>=，()f x ∴在()0,∞+单调递增.

当(],0x ∈-∞时，可得e 1x ≤，()e 2cos 1cos 0x

f x x x '∴=-+≤-+≤，()f x ∴在(],0-∞单调递

减；

综上，()f x 在(],0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.

（Ⅱ）当0x =时，()0

0e 01sin00f =--+=，0x ∴=是()f x 的一个零点， 由()e cos x f x a x '=-+，可得()e sin x

f x x ''=-.

因为12a ≤<，

①当()0,x ∈+∞时，e 1x >，()1sin 0f x x ''∴>-≥，()f x '∴在()0,∞+单调递增，

()()020f x f a ''∴>=->，

()f x ∴在()0,∞+单调递增，()()00f x f ∴>=，此时()f x 在()0,∞+无零点.

②当(],x π∈-∞-时，ax π-≥，有()e sin 1e sin 10x x

f x ax x x π=-+-≥++->， 此时()f x 在

(],π-∞-无零点.

③当(),0x π∈-时，sin 0x <，()e sin 0x

f x x ''=->，()f x '∴在(),0π-单调递增，又

()020f a '=->，()e 10f a ππ-'=--<，

由零点存在性定理知，存在唯一()0,0x π∈-，使得()00f x '=.

当()0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 在()0,x π-单调递减；当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在

()0,0x 单调递增；

又()e 10f a π

ππ--=+->，()()000f x f <=，所以()f x 在(),0π-上有1个零点.

综上，当12a ≤<时，()f x 有2个零点.

方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，利用导数研究函数的零点的方法是构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数，考查了学生的逻辑推理能力，转化与化归能力，分类讨论思想，属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任意选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

221121t x t

t y t ?-=??+??=?+?

（t 为参数），以坐标原点O 为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos sin 40ρθθ+＝．

（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最大值．

（1）221(1)x y x +=≠-

；40x ++=；（2）3.

（1）根据参数方程，消去参数，即可得到C 的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可得l 的直角坐标方程；

（2）由（1）先设C 的参数方程，根据点到直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值.

（1）由2

2

21121t x t t

y t ?-=??+??=?+?（t 为参数），因为22

1111t t --<≤+，且22222

222()14111t t x y t t ??-+=+= ?++??， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．

由cos sin 40ρθθ+=

，得40x +=． 即直线l

直角坐标方程为得40x +=；

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos sin x y α

α=??=?

（α为参数，παπ-<<），

则C 上的点()cos ,sin αα

到40x ++=

2cos 432πα?

?-+ ???=

． 当3π

α=

时，2cos 43πα?

?-+ ??

?取得最大值6，故C 上的点到l 距离的最大值为3．

思路点睛：

求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解.需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以及三角函数的性质等.

23. 已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若

2

214

211x x a b

+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55

114a b a b ??++≥ ???

.

（1）99

{|}22

x x -≤≤；（2）见解析.

分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +2

4

b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；

（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．

详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ??≥?

?

=---=-≤

?

?

-

由222a b +=，得

()

2

2112

a b +=. 故()

22

2222141142a b a b a b ??+=++ ??? 222214142b a a b ??=+++ ???

19

1422?≥++= ?

. 所以9

2112

x x ≥---.

当1x ≥时，92x ≤，得9

12

x ≤≤；

当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112

x ≤<；

当12x <

时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<； 综上，99

22

x -≤≤.

（2）()55

11a b a b ??++ ???

55

4

4

b a a b a b

=+++，

(

)

55

2

22

222b a a b

a b a b

=+++-，

(

)

()

2

2

22

2222

24a b

a b a b ≥++=+=.