上海教育版数学八下第二十一章《代数方程》word知识点汇总
第二十一章代数方程
21.1 一元整式方程
1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程
2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程
3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程
21.2 二项方程
1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样
的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数）
2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根
3、 对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ≠≠）
（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根
（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根
21.3可化为一元二次方程的分式方程
1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解
2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）
3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用
21.4无理方程
1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程
2、 整式方程和分式方程统称为有理方程
3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程
4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤
5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根
21.5 二元二次方程和方程组
1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程
2、 关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：220ax bxy cy dx ey f +++++=
（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不是零；当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零）
3、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。像这样
的方程组叫做二元二次方程组
4、 能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程
5、 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解
21.6 二元二次方程组的解法
1、 代入消元法
2、 因式分解法
21.7 列方程（组）解应用题
上海教育版六年级数学(上册)期中考试试卷C卷 (附答案)
上海教育版六年级数学(上册)期中考试试卷C卷 (附答案)班级:_________ 姓名:_________ 学号:_________ 考试须知： 1、考试时间为120分钟，本卷满分100分。 2、请用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔在指定区域内写上学校、班别、姓名等内容。 3、考生不得提前交卷，若对题有异议请举手示意。 一、填空题（每题2分，共计12分） 1、五月份销售额比四月份增加15%，五月份销售额是四月份的（）%，四月份销售额比五月份少（）%。 2、甲数的2/5是乙数的5/6，乙数是12，甲数是（）。 3、（）÷36=20：（）= 1/4 =( )(填小数) =（）% =（）折 4、一个三角形的三个内角度数比是1：2:3.这是一个（）三角形。 5、甲乙两个圆的周长比是2:3，其中一个圆的面积是36平方厘米，则另一个圆的面积可能是（）平方厘米。 6、小红把2000元存入银行，存期一年，年利率为2.68%，利息税是5%，那么到期时可得利息（）元。 二、选择题（每题3分，共计24分） 1、有30本故事书，连环画是故事书的4/5，连环画有（）。 A、36 B、30 C、25 2、在2，4，7，8，中互质数有（）对。
A、2 B、3 C、4 3、一袋纯牛奶1.50元，购买纯牛奶的袋数和总钱数( )。 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 4、一种商品现价90元，比原价降低了10元，降低了（）。 A．1/9 B．10% C．9% 5、一件商品，先提价20%，以后又降价20%，现在的价格与原来相比（）。 A．提高了 B．降低了 C．不变 D．无法确定 6、王宏4月5日在银行存了活期储蓄2000元，月利率是0.12%，到6月5日，他可以得到税后利息是多少元？（税后利息为5%）正确的列式是（）。 A、2000×0.12%×（1-5%） B、2000×0.12%×2 C、2000×0.12%×2×（1-5%） D、2000+2000×0.12%×2×（1-5%） 7、把浓度为20%、30%、40%的三种盐水按2：3：5的比例混合在一起，得到的盐水浓度为（）。 A．32% B．33% C．34% D．35% 8、用一块长是10厘米，宽是8厘米的长方形厚纸板，剪出一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）平方厘米。 A、80 B、40 C、64 三、判断题（每题2分，共计12分） 1、（）任何不小于1的数，它的倒数都小于1。 2、（）任意两个奇数的和，一定是偶数。 3、( )出勤率不可能超过100%。 4、（）一条路，修了的米数和未修的米数成反比例。 5、（）大于零的数除以真分数，商一定比这个数大。 6、（）任何一个质数加1，必定得到一个合数。 四、计算题（每题8分，共计16分）
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
冀教版初中数学知识点
年级学科重点学习内容学习目标同 步 精 讲 查 漏 补 缺 冲刺 拔高 综 合 应 用 七年级上 ★ 第一章、有理数 1.1正数和负数 1.2数轴 1.3绝对值与相反数 1.4有理数的大小 1.5有理数的加法 1.6有理数的减法 1.7有理数的加减混合运算 1.8有理数的乘法 1.9有理数的除法 1.10有理数的乘法 1.11有理数的混合运算 1.12计算器的使用 1、理解有理数的概念，熟练掌 握有理数的运算 2、认识线段、射线、直线、角， 掌握线段及角的计算，了解立 体图形展开图 3、了解整式的相关概念，理解 整式的加法和减法的法则 4、熟练掌握整式的加减运算 5、了解一元一次方程的有关概 念 6、熟练掌握一元一次方程的解 法，会运用一元一次方程解决 简单的实际问题 4224★ 第二章、几何图形的初步认识 2.1从生活中认识几何图形 2.2点和线 2.3线段的长短 2.4线段的和与差 2.5角以及角的度量 2.6角的大小 2.7角的和与差 2.8平面图形的旋转 2334★★ 第三章、代数式 3.1用字母表示数 4424
3.2代数式 3.3代数式的值 ★★第四章、整式的加减 4.1整式 4.2合并同类项 4.3去括号 4.4整式的加减 2224 ★★★第五章、一元一次方程 5.1一元一次方程 5.2等式的基本性质 5.3解一元一次方程 5.4一元一次方程的应用 4424 七年级下★★★ 第六章、二元一次方程组 6.1二元一次方程组 6.2二元一次方程组的解法 6.3二元一次方程组的应用 6.4简单的三元一次方程组 1、掌握代入消元法和加减消元 法，能选择适当的方法解二元 一次方程组，会运用二元一次 方程组解决简单的实际问题 2、了解相交线的概念及性质， 掌握平行线的性质与判定，能 运用平移的知识解决简单问题 3、理解整式乘除法的运算法 则，会进行简单的整式乘除法 运算，选择适当的方法进行因 式分解 4、会解一元一次不等式和由两 个一元一次不等式组成的不等 式组，能根据具体问题中的数 量关系，用列出一元一次不等 式解决简单问题。 2222★★★ 第七章、相交线与平行线 7.1命题 7.2相交线 7.3平行线 7.4平行线的判定 7.5平行线的性质 7.6图形的平移 2424★★★ 第八章、整式的乘法 8.1同底数幂的乘法 8.2幂的乘方与积的乘方 8.3同底数幂的除法 4424
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，
上海教育版2019-2020学年六年级上学期数学期末考试试卷
上海教育版2019-2020学年六年级上学期数学期末考试试卷 小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的! 一、填空题 (共10题；共10分) 1. （1分）看图填空． d=_______ 2. （1分）站在不同的位置观察物体，看到的形状是_______的。从某方向观察正方体，最多能看到它的_______个面。 3. （1分）制作能反映出我校三好学生占全校人数的百分之几的统计图应选择_______统计图。 4. （1分）一个立体图形从上面看是，从左面看是。要搭成这样的立体图形，至少要用_______个小正方体，最多可以用_______个小正方体。 5. （1分）写出下列各数 （1）百分之二十点一写作_______％ （2）百分之二十点六写作_______％ 6. （1分）_______=4÷_______=0.25=_______% 7. （1分）一批水果卖了70％，还剩_______． 8. （1分）把2：0.4化成最简整数比是_______，它的比值是_______． 9. （1分）直接写出得数．
_______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ 10. （1分）一种外套原价90元，现价是原价的90%，现价_______元。 二、判断题 (共5题；共5分) 11. （1分）半圆的周长就是半圆所在圆的周长的一半。 12. （1分）一个长方形的长增加50%，宽减少，长方形的面积不变. 13. （1分）观察一个正方体，最多能同时看见3个面。 14. （1分）把573缩小到原来的是5.73。（） 15. （1分）从甲地到乙地，小明骑车要小时，小刚骑车要小时，小明和小刚的速度比是5：6（） 三、选择题 (共5题；共5分) 16. （1分）如图 （1）小华应选择（）表示一天的气温变化情况; A . 折线统计图 B . 扇形统计图 C . 条形统计图
高二数学知识点总结归纳
高二数学知识点总结归纳 【一】 一、集合概念 (1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集;整数集;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 函数 一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:①对应法则;②定义域(两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
(3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式; ②逆求法(反求法):通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如:; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:，利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。【二】 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。 判别方法:定义法，图像法，复合函数法
上海教育版初中数学八年级下册期末测试题
（满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 直线3+=x y 与y 轴的交点坐标是( ) （A ）(0，3)； （B ）(0，1)； （C ）(3，0)； （D ）(1，0). 2. 1=x 是下列哪个方程的根（ ） （A ）05.0)1(=--x x ； （B ）0623 =-x ； （C ）01=+x ； （D ）1 1 12+=+x x x ． 3. 某校计划修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成 任务. 如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） （A ）210400400=--x x ； （B ）240010400=--x x ；（C ）210 400400=+-x x ；（D ） 2400 10400=-+x x ． 4. 下列四个命题中，假命题为（ ） （A ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （B ）对角线相等且互相平分的四边形是正方形； （C ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （D ）对角线相等的梯形是等腰梯形. 5. 下列事件属于必然事件的是（ ） （A ）10只鸟关在3个笼子里，至少有1个笼子里关的鸟超过3只； （B ）某种彩票的中奖概率为 100 1 ，购买100张彩票一定中奖； （C ）掷一枚骰子，点数为6的一面向上； （D ）夹在两条互相平行的直线之间的线段相等. 6. 已知四边形ABCD 中，90A B C ===∠∠∠，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） （A ）90D =∠； （B ）AB CD =； （C ）AD BC =； （D ）BC CD =. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知12)(-=x x f ，且3)(=a f ，则=a ． 8. 已知点)0,2(-A 在直线2+=kx y 上，=k . 9. 已知一次函数y kx b =+的图像如图1所示.当2 乡镇（街道） 学校 班级 姓名 学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题… 绝密★启用前 上海教育版2020年六年级数学【下册】强化训练试题 附答案 题 号 填空题 选择题 判断题 计算题 综合题 应用题 总分 得 分 考试须知： 1、考试时间：100分钟，本卷满分为100分。 2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。 3、请在试卷指定位置作答，在试卷密封线外作答无效，不予评分。 一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分） 1、8公顷 ＝（ ）平方米， （ ）日＝72小时， 7.08平方米＝（ ）平方分米，（ ）毫升＝3.08立方分 2、等腰三角形的其中两个角的比2：5，则其顶角可能是（ ）或（ ）。 3、填上适当的单位或数字：数学试卷的长度约是60________；你的脉搏一分钟大约跳________次；8个鸡蛋大约有 500________；小刚跑一百米的时间大约是14________；一间教室的占地面积大约是40________；7.2小时=________ 小时________分：2千克60克=________千克。 4、一根铁丝长25.12米，把它焊接成一个圆，圆的半径是（ ），面积是（ ）平方米。 5、把周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）厘米。 6、圆的半径扩大3倍，则周长扩大（ ）倍，面积扩大（ ）倍。 7、在比例尺是1∶15000000的地图上，图上3厘米表示实际距离( )千米。 8、2.05L=（ ）L （ ）mL 3小时45分=（ ）时 9、小红把2000元存入银行，存期一年，年利率为2.68%，利息税是5%，那么到期时可得利息（ ）元。 10、张师傅生产了200个零件，其中有两个零件不合格，张师傅生产的零件合格率为（ ）。 二、选择题（共10小题，每题1.5分，共计15分） 1、某种商品打九折出售，说明现在售价比原来降低了（ ）。 A 、90% B 、9% C 、1/9 D 、10% 2、甲是乙的2.5倍，那么甲与乙的最简比是（ ）。 A 、25：10 B 、10：25 C 、2：5 D 、5：2 3、一个三角形，他的三个内角的度数比是3：2:1，则这个三角形是（ ）。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4、在2、3、4、5这四个数中，一共可以找出（ ）对互质数。 A 、4 B 、5 C 、6 5、小正方形的边长为m 米，大正方形的边长为3m 米，则小正方形与大正方形的面积比是（ ）。 Α、3:1 Β1:2 С1：9 D.无法确定 6、把一个边长3厘米的正方形按2:1放大后正方形的面积是（ ）平方厘米。 A 、12 B 、18 C 、36 7、在圆内剪去一个圆心角为45的扇形，余下部分的面积是剪去部分面积的（ ）倍。 A 、 B 、8 C 、7 8、一件商品，先提价20%，后又降价20%，现在的价格与原来相比，（ ）。 A 、提高了 B 、降低了 C 、不变 D 、无法确定 9、两根同样长的电线，第一根用去3/4米，第二根用去3/4，两根电线剩下的部分相比（ ）。 A 、第一根的长 B 、第二根的长 C 、一样长 D 、不确定 10、把浓度为20%、30%、40%的三种盐水按2：3：5的比例混合在一起，得到的盐水浓度为（ ）。 A ．32% B ．33% C ．34% D ．35% 三、判断题（共10小题，每题1.5分，共计15分） 1、（ ）底相同的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 2、（ ）一件商品原价200元，先提价20%，再八折出售，仍卖200元。 3、（ ）任意两个奇数的和，一定是偶数。 4、（ ）“A的1/6是B”。是把B 看作单位“1”。 5、（ ）出勤率不可能超过100%。 6、（ ）0.25和4互为倒数。 7、（ ）圆柱的底面半径和高都扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的9倍。 8、（ ）折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示数量增减变化的情况。 9、（ ）甲比乙多25%，则乙比甲少20%。 10、（ ）任何不小于1的数，它的倒数都小于1。 四、计算题（共3小题，每题5分，共计15分） 1、解方程。 冀教版六年级数学下册重点知识点 第一单元生活中的负数 一、正负数 ①正数:比0大的数。 表示方法:在数字前面添上“+”号,可以省略, 如+5、20,读作:正5、二十。 ②负数:比0小的数。 表示方法:在数字前面添上“-”号,不可省略, 如-2、-10,读作:负2、负10。 ③0:既不是正数,也不是负数。 ④数的比较:正数> 0 > 负数 【注意】用正数、负数表示实际问题时, 要确定以什么作为标准(即:以什么作为0点)。 二、温度 ①零上温度:0℃以上的温度。 表示方法:用正数表示,“+”可以省略, 如+5℃、10℃,通常读作:零上5摄氏度、10摄氏度。 ②0℃:水结冰的临界点。 ③零下温度:0℃以下的温度。 表示方法:用负数表示,“-”不可省略, 如-2℃、-30℃,通常读作:零下2摄氏度、零下30摄氏度。 ④温度的比较:零上温度> 0℃> 零下温度 【注意】比较两个零下温度的高低时, 零下温度的数字越大表示温度越低,如:-20℃<-5℃。 第二单元位置 一、数对 1、数对的表示方法:先表示横的方向,后表示纵的方向,即根据直角坐标系,确定某一点的坐标(x,y)。 2、数对的写法:先横向观察,在第几位就在小括号里先写几,再点上逗号;然后再纵向观察,在第几位,就在小括号里面写上几。如小青的位置在第三组,第二个座位,用数对表示为(3,2)。 3、能根据数对说出相应的实际位置。如某个同学在(5,6)这个位置。他的实际位置是,班级中(从左往右数)第五组第六个座位。确定位置 第三单元正比例反比例 （重点） 1、按比例分配:在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。 2、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 初中数学几何性质、定理、推论 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等（等量代换） 4 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 6 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 7 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 8定理三角形两边的和大于第三边 推论三角形两边的差小于第三边 9 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 10推论 1 直角三角形的两个锐角互余（等量代换） 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 11 全等三角形的对应边、对应角相等 12边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 13 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 14 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 15 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 16定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 - = ? ? ? 八年级(下)数学第二十一章代数方程练习 一．选择题（每题 3 分，共 18 分） 1. 下列关于 x 的方程中，高次方程是 ( ) （A ） ax 2 -1 = 0(a ≠ 0) ; （B ） x 3 + 25x = 0 ; （C ） 1 x 5 + x 3 = 2 ; （D ） x 2 + 5 = 0 . 2. 如果关于 x 的方程(m + 3)x = 6 有解,那么 m 的取值范围是 ( ) （A ） m > -3 ; （B ） m = -3 ; （C ） m ≠ -3 ; （D ）任意实数. 3. 下列方程中,有实数根的是 ( ) （A = -x ;（B +1 = 0 ;（ C = 0 ;（D = x - 3 . 4. 用换元法解方程 x 2 +1 3x 2x x 2 +1 5 ，设 x 2 +1 x = y ,则得到关于 y 的整式方程为 ( ) （A ） 2 y 2 - 5 y - 3 = 0 ; （B ） 6 y 2 +10 y -1 = 0 ; （C ） 3y 2 + 5 y - 2 = 0 ; （D ） y 2 -10 y - 6 = 0 . ? 2 + 1 = 0 ?xy = 8 ?xz + y = 1 ?x 2 + x = 3 ? x y 5.下列方程组， ?x - y = 2 ； ?2xy = y + x ； ?2 y = 6 ； ?3 1 . 其中， 二元二次方程组的个数是 ? ? ? ? x - y = 5 ( ) （A ） 1； （B ） 2； （C ） 3； （D ） 4. ??x 2 - 2xy - 3y 2 = 0 6.方程组??x 2 + 6 y = -2 的解的个数是 ( ) （A ） 1 ; （B ） 2 ; （C ） 3 ; （D ） 4. 二、填空（每空 2 分，共 24 分） 7.方程 x 3 -1 = 0 的根是 . 8.方程2x 4 - 7x 2 - 4 = 0 的根是 . 9. = 3 的解是 . 10. 把二次方程9x 2 - 6xy + y 2 = 4 化成两个一次方程,这两个一次方程是 . 11. 已知关于 x 的方程2x 2 + mx + 3 = 0 是二项方程,那么 m = . 12. 当 m 时,关于 x 的方程(m + 2)x = m 2 - 4 的根是 x = m - 2 . 13.方程( x )2 + 6 = 5( x ) 的整数解是 . x -1 ?x + y = 4 14. 方程组?xy = -5 x -1 的解是 . 2019-2020年上海教育版六年级数学（上）目录 第一章 数的整除 第一周 1.1 整数与整除的意义-1.3 能被2，5整除的数.............................................1 第二周 1.4 素数、合数与分解素因数.....................................................................5 第三周 1.5 公因数与最大公因数（1）-1.6 公倍数与最小公倍数.............................. 9 一月一考 第一章 数的整除 (13) 第二章 分数 第四周 2.1 分数与除法（1）-2.2 分数的基本性质（2）.......................................... 17 第五周 2.2 分数的基本性质（3）-2.3 分数的大小比较.............................................21 第六周 2.4 分数的加减法（1）-（3）.................................................................. 25 第七周 2.4 分数的加减法（4）-（5）.................................................................. 29 一月一考 第二章 分数 （2.1 分数与除法-2.4 分数的加减法）................................. 33 第八周 2.5 分数的乘法-2.6 分数的除法...............................................................37 第九周 2.7 分数与小数的互化-2.8 分数、小数的四则运算（2）.............................. 41 第十周 2.8 分数、小数的四则运算（3）-2.9 分数运算的应用................................. 45 一月一考 第二章 分数（2.5分数的乘法-2.9分数运算的应用） (49) 第三章 比和比例 第十一周 3.1 比的意义-3.2 比的基本性质......................................................... 53 第十二周 3.3 比例-3.4 百分比的意义..................................................................57 第十三周 3.5 百分比的应用（1）-3.5 百分比的应用（3）.......................................61 第十四周 3.5 百分比的应用（4）-3.6 等可能事件................................................ 65 一月一考 第三章 比和比例 (69) 第四章 圆和扇形 第十五周 4.1 圆的周长-4.3 圆的面积（1）......................................................... 73 第十六周 4.3 圆的面积（2）-4.4 扇形的面积...................................................... 77 一月一考 第四章 圆和扇形 (81) 期中测试......................................................................................................... 85 期末测试 (89) 参考答案…………………………………………………………………………………………… 93 第一章 数的整除 第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+= 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2 冀教版初一上册数学知识点总结 有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数；a＞0 ? a是正数；a＜0 ? a是负数； a≥0 ? a是正数或0 ? a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 ? a是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论； (3) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|, . 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) =a ≥0,b>0） n ≥0) 第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a -+-= , = ； △=24b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根上海教育版2020年六年级数学【下册】强化训练试题 附答案
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