习题word版：第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？
解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋1
2
c 2，
∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.
知识点2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．5
7．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2．
8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．
【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．
知识点3赵爽弦图
9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B)
,A) ,B) ,C) ,D)
10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．
易错点直角边不确定时漏解
11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)
A．3 B.41
C．3或41 D．9或41
02中档题
12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)
A．8 3 B．6 3
C．18 D．12
13．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 3 B．6
C．3 2 D.21
14．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大
于1
2AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长
为(A)
A．2 2 B．4
C．3 D.10
15．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)
16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.
由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.
∴S △ABC ＝12BC·AD ＝1
2
×14×12＝84.
, 03 综合题) 18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长度．
解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，
在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°.
∴AB ＝2AC ＝20，BC ＝AB 2－AC 2＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.
∴BM ＝12BC ＝1
2
×103＝5 3.
∴CM ＝BC 2－BM 2＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.
∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.
第2课时勾股定理的应用
01基础题
知识点1勾股定理在平面图形中的应用
1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．
2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高为1.6米．
求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．
答：风筝的高度CE为21.6米．
3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？
解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．
答：甲、乙两渔船相距15海里．
知识点2两次勾股定理的应用
4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米
C．2.2米D．2.4米
5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC 上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．
知识点3利用勾股定理求两点间的距离
6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．
7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．
8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.
∴∠ABQ＝30°.
∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，
∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.
答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°.
∴∠CAM＝60°－45°＝15°.
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
02中档题
9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)
A．4米B．8米
C．9米D．7米
10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.
11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．
解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.
解得x＝3.
答：秋千支柱AD的高为3 m.
12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠P AO＝30°.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.
∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.
∴此车超过80 km/h的限制速度．
03综合题
13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
∴BC＝4 cm.
(2)由题意，知BP＝t cm，
①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.
解得t ＝25
4
.
∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或25
4
.
第3课时 利用勾股定理作图
01 基础题
知识点1 在数轴上表示无理数 1．(教材P 27练习T 1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D )
A ．2.2
B . 2
C . 3
D . 5
2．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．
知识点2 网格中的无理数
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C ) A . 2 B . 3 C . 5 D ．3
4．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A ) A .255 B .355 C .455 D .45
5．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.
解：如图所示．
知识点3 等腰三角形中的勾股定理
6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm .
7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B ) A ．(1，1) B ．(1，3) C ．(3，1) D ．(3，3)
8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ，
∴BD ＝CD ＝12BC ＝1
2
×10
＝5(cm)．
∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52 ＝12(cm)，
即等腰三角形底边上的高为12 cm.
∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1
2
×10×12＝60(cm 2)．
02 中档题 9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B )
A ．16
B ．12＋4 2
C ．7＋7 2
D ．5＋11 2
11．(教材P 27练习T 1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．
12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为3
5
5．
13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．
解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，
∠CDE ＝∠DCE ＝60°.
∴∠BDC ＝∠DBC ＝1
2
∠DCE ＝30°.
∴∠BDE ＝90°.
在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8， ∴BD ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.
14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段MN ＝13；
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD ，使它的面积为10.
解：(1)如图． (2)如图．
03 综合题
15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1
＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2
＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3
＝32
； …
(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；
(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 2
10的值．
解：(1)OA 2n
＝(n －1)2＋1＝n ，
S n ＝
n
2
(n 为正整数)． (2)OA 210
＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.
(3)S 21＋
S 22＋S 23＋…＋S 2
10 ＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104
＝1＋10
2×104
＝554
.
小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题T12的变式与应用
【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)
【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA ′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．
解：如图，由题意可得：
AA ′＝12，A ′B ＝1
2
×2π×3＝9.
在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理，得 AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225. ∴AB ＝15.
∴需要爬行的最短路程是15 cm.
图例
圆柱
――→
展开
长
方 体
阶梯 问题
基本 思路
将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→
构造直角三角形→利用勾股定理求解.
1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)
2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．
3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.
(1)点A1到点C2之间的距离是多少？
(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？
解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，
∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．
∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．
(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．
如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．
如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．
∵52＜213＜82，
∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.
小专题(三)方程思想在勾股定理中的应用
——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用
【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)
解：设AB＝x尺，根据题意，得
∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，
∴BC ＝(10－x )尺． ∵AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴32＋x 2＝(10－x )2，
解得x ＝411
20
.
答：折断处离地面411
20
尺．
在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．
类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数 量关系
1．求下列直角三角形中未知的边长．
解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AB ＝2x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，
∴(2x)2＝x 2＋32.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝3，AB ＝2 3.
如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，
∴BC ＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2
，
∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝BC ＝3.
类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系
2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C )
A .53
B .52
C .83
D ．5
3．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．
4．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为25．
类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标
5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x 轴上找一点P ，使△OAP 为等腰三角形，求出P 点的坐标．
解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B. ∵A(1，3)，∴OB ＝1，AB ＝3. ∴OA ＝12＋32＝10.
当AO ＝AP 时，以A 为圆心，AO 长为半径画弧与x 轴交于点O 与点P 1， ∵AB ⊥x 轴，∴BP 1＝BO ＝1，即P 1(2，0)；
当OA ＝OP 时，以O 为圆心，OA 长为半径画弧与x 轴交于点P 2，P 3， ∵OA ＝10，∴P 2(10，0)，P 3(－10，0)；
当PA ＝PO 时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4. 设OP 4＝x ，则BP 4＝x －1，AP 4＝OP 4＝x.
在Rt △ABP 4中，AP 24＝AB 2＋BP 24
， ∴x 2＝32＋(x －1)2.
解得x ＝5，即P 4(5，0)．
综上所述，使△OAP 为等腰三角形的点P 有：P 1(2，0)，P 2(10，0)，P 3(－10，0)，P 4(5，0)．
17.2 勾股定理的逆定理
01 基础题 知识点1 互逆命题
1．下列各命题的逆命题不成立的是(C ) A ．两直线平行，同旁内角互补
B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C ．对顶角相等
D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 2．(2019·安徽)命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)
知识点2 勾股定理的逆定理 3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A ) A ．3，4，5 B ．0.3，0.4，0.5 C ．32，42，52 D ．6，7，8 4．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是(D ) A ．a 2－b 2＝c 2
B ．a ＝54，b ＝1，c ＝3
4
C ．a ＝2，b ＝3，c ＝7
D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 5．(2019·益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．
7．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．
(1)a＝3，b＝22，c＝5；
(2)a＝5，b＝7，c＝9；
(3)a＝5，b＝26，c＝1.
解：(1)是，∠B是直角．
(2)不是．
(3)是，∠A是直角．
8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.
∴AC＝5.
∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，
AD2＝132＝169，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，
即∠ACD＝90°.
02中档题
9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)
A．10 B．11 C．12 D．13
10．下列定理中，没有逆定理的是(B)
A．等腰三角形的两个底角相等
B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等
D．直角三角形两个锐角的和等于90°
11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)
A．7.5平方千米B．15平方千米
C．75平方千米D．750平方千米
12．如图，方格中的点A，B称为格点(横线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
13．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．
14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝2 9
DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．
证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a. ∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝9a. ∵BE ＝2CE ，
∴BE ＝6a ，EC ＝3a.
在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2. 在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2. ∵13a 2＋117a 2＝130a 2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.
∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．
15．(教材P 34习题T 5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求： (1)∠BAD 的度数；
(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)；
(3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，如图所示，连接B′D ，求四边形ACB′D 的面积．
解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.
∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.
(2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝1
2，
S △ADC ＝12AD·AC ＝2
2
，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋2
2
.
(3)过点D 作DE ⊥AB′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.
根据折叠可知∠B′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB′＝1，S △AB′C ＝S △ABC ＝12
.
∴∠DAE ＝∠DAC －∠B′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.
设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.
∴x ＝2
2
.
∴S △ADB′＝12×1×22＝2
4
.
∴S 四边形ACB′D ＝S △AB′C ＋S △ADB′＝12＋24＝2＋2
4
.
03 综合题
16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c.
(1)若a ，b ，c 满足a
a －
b ＋c
＝1
2（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形；
(2)若a ＝m －n ，b ＝2mn ，c ＝m ＋n ，(其中m ，n 都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．
证明：(1)原式可变形为a
a ＋c －b
＝a ＋b ＋c 2c ，
∴(a ＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac. ∴a 2＋c 2＝b 2.
∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．
(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2， ∴(m －n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．
章末复习(二)勾股定理
01分点突破
知识点1勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选) 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)
A．6 B．6 2
C．6 3 D．12
2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.
证明：连接AC.
∵在△ABC中，∠B＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°.
∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，
∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2.
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC.
知识点2勾股定理的应用
4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)
A．12 m
B．13 m
C．16 m
D．17 m
5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．
6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．
知识点3逆命题及逆定理
7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．
知识点4勾股定理的逆定理及其应用
8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)
A．∠C是直角B．∠B是直角
C．∠A是直角D．∠A是锐角
02易错题集训
10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．
11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03河南常考题型演练
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)
A.3－1
B.3＋1
C.5－1
D.5＋1
13．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)
A．8 cm B．6 cm
C．5.5 cm D．1 cm
14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH
C．AB，CD，EF D．GH，AB，CD
15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)
A．8 B．9.6 C．10 D．4 5
16．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．
17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．
18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为20km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13km.
19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．
解：连接AC.
∵∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形．
∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.
解得AC＝10.
又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.
∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD
＝1
2×10×24－
1
2×6×8
＝96(m2)．
故这块空白地的面积为96 m2.
04核心素养专练
20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．
周测(第十七章)
(时间：40分钟满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C)
A．8，15，17 B.2，3， 5
C.3，2， 5 D．1，2， 5
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)
A．该命题为假命题
B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题
D．该命题没有逆命题
3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)
A．3 B．4 C．5 D．7
4．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(B)
A ．1.4 B. 2 C. 3 D ．2
5．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形
6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D ) A ．8 B ．6 C .433 D .833
7．下面各三角形中，面积为无理数的是(C )
8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B )
A ．10
B ．13
C ．15
D ．无法求出
9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B ) A ．0.25 B ．0.5 C ．1 D ．2 3
10．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A )
A .92
B .94
C ．3
D ．9 二、填空题(每小题4分，共20分)
11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．
12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．
13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为8
5
．