七下实数辅导讲义(一)终极版

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实数第六章 实数 辅导讲义

【知识要点】

1、平方根

（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

即：如果x 2=a ，则x 叫做a

的平方根，记作“a 称为被开方数）。

（2）平方根的性质：

① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.

（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a

（5

a ≥0。 （6）公式：

2=a （a ≥0）；

2、立方根

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。数a 的立方根用符号

表示，读作“三次根号a ”。

（2）立方根的性质：

正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：

只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）

5、实数的分类

（1）按实数的定义分类：

（2）按实数的正负分类：

?????

?

?

?

?

???????????

????????

?负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）

零（既不是正数也不是正无理数正分数

正整数

正有理数正实数实数

（3）实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．

（4）、绝对值

①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。

一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。 注意：

题型规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3

有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴

)2=a （a ≥0

=（a 取任何数）。 5、区分

2=a （a ≥0），与

2a =a

6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 8、.识记常用平方表：（自行完成）

00

0a a a a a a >??

==??-

??

???<-=>==00

00

2a a a a a a a

9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）2a （2）2)(a （3）33

a 10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：

2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________ 7≈___________

【典型例题】

题型一、平方根定义的运用

例1、一个正数的平方根为a -3和32+a ，求这个数？

变式1、已知12-a 和2+-a 是m 的平方根，求m 的值？

变式2、已知某个数的平方根分别为3+a 和152-a ，求a 和这个数？

例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？

① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根

③ 任何数都有平方根 ④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数 例3、求下列各数的平方根：

(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)

变式3、.下列语句中，正确的是（ ）

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．一个实数的立方根不是正数就是负数

D ．立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）

A ．-2是（-2）2的算术平方根

B ．3是-9的算术平方根

C ．16的平方根是±4

D ．27的立方根是±3

题型三、化简求值

例1、已知30<

1,011）（化简：

x x x +=+++

14169

a 20

≥0a ≥例2已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22

()a a b c a b c --+-+-

变式2、实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2

)2(1-+-a a =

变式3如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A

的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2 B. 2－5 C. 5－3 D.3

－5

例3、当a<0时，化简

的结果是( )

A 0

B -1

C 1

D ?

例4、化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |

-|

【变式1】化简：

题型四、利用非负数的性质求代数式

三种常见的非负数：

注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；

(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例1、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2=0，则x-y 等于

【变式1】 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为

0(0)a a ≥≥

【变式2】已知那么a+b-c 的值为___________

【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。

求被开方数中的未知数的值

例2若y=5-x +x -5+2017，则x+y=

变式111x x --2

()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

变式2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值

变式3、已知2322234+-+-=a a b ,求b

a 1

1+的值？

题型五、解方程

(1) 04)2(2=-+x (2) 027)3(3

=++x

(3) 0125273

=+x (4) 25)12(2=

-x

题型六、整数部分和小数部分的探讨

例1、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 1

10x y --（）的平方根。

变式1设m 是137+的小数部分，n 为137-的小数部分，求2017

)(n m +的值？

题型六 关于平方根、立方根的求值

例1、求下列各式的值

（1）81±； （2）16-； （3）

25

9

； （4）2)4(- 解（1）因为8192

=，所以±81=±9.

例2（1）64的立方根是

（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。正确的有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

题型八、探索找规律

1 （盐城市）现规定一种新的运算“※”：a ※b =a b ，如3※2=32=9，则

1

2

※3＝（ ） 2 (资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!

的值为( ) A ．5049

B ．99!

C ．9900

D ．2！

3．如果有理数a ,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0，

试求)2)(2(1

)1)(1(11++++++b a b a ab +…+)

2016)(2016(1++b a 的值．

4.观察思考下列计算过程：∵ 112

=121，∴ 121=11；同样：

∵ 1112

=12321，∴ 12321=111；…由此猜想：76543211234567898=

题型八实数比较大小的方法

1、方法一：差值比较法

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。

.

102.22的值，求，小数部分是的整数部分是、已知变式b a b a +

例1、比较1-2与1-3的大小。 3、方法二：商值比较法

商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当b a ＜1时，a ＜b ；当b

a

＞1时，a ＞b ；当

b

a

=1时，a=b 。来比较a 与b 的大小。 例2、比较

8

313-与

8

1

的大小。 4、方法三：平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2

a ＞2

b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例3、比较27与33的大小

5、方法四：估算法

估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4、比较8

313-与

8

1

的大小。

综合演练

一、填空题

1、（-0.7）2的平方根是

2、若2a =25,b =3,则a+b=

3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是

4、ππ-+-43＝ ____________

5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________

6、若 a a -=2

，则a______0

7、若73-x 有意义，则x 的取值范围是 8、16的平方根是±4”用数学式子表示为

9、大于-2，小于10的整数有______个。

10、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。 11、当_______x 时，3x -有意义。 12、当_______x 时，32-x 有意义。

13、当_______x 时，x -11

有意义。

14、当________x 时，式子21

--x x 有意义。

15、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 二、选择题

1． 9的算术平方根是（ ）

A ．-3

B ．3

C ．±3

D ．81 2．下列计算正确的是（ ）

A

±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ）

A ．9的平方根是3 B

2

2 4． 64的平方根是（ ）

A ．±8

B ．±4

C ．±2

D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）

A ．4

B ．18

C ．-1

4 D ．14

6．下列结论正确的是（ ）

A 6)6(2-=--

B 9)3(2=-

C 16)16(2±=-

D 25

1625162

=???? ?

?

-

-

7．以下语句及写成式子正确的是（ ）

A 、7是49的算术平方根，即749±=

B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-

C 、7±是49的平方根，即749=±

D 、7±是

49的平方根，即±749±=

8．下列语句中正确的是（ ）

A 、9-的平方根是3-

B 、9的平方根是3

C 、 9的算术平方根是3±

D 、9的算术平方根是3

9．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的

有（ ） A ．3个 B ．2个

C ．1个

D ．4个

10．下列语句中正确的是（ ）

A 、任意算术平方根是正数

B 、只有正数才有算术平方根