双曲线培优经典讲义学生版
第二节 双曲线
考点一 用双曲线的定义解决相关问题
1.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )
(A)
14 (B)35 (C)34 (D)45
2.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( )
(A)
2 (B)2
3.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
4.已知F 是双曲线24x -2
12
y =1的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .?
考点二 双曲线标准方程的求法
1.已知双曲线C:22x a -2
2y b
=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )
(A) 220x -25y =1 (B) 25x -220y =1 (C) 280x -2
20y =1
(D) 220x -2
80
y =1
2.已知双曲线22x a -2
2y b
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆
心,则该双曲线的方程为( )
(A)
2
5
x
-
2
4
y
=1 (B)
2
4
x
-
2
5
y
=1 (C)
2
3
x
-
2
6
y
=1 (D)
2
6
x
-
2
3
y
=1
3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
(A)
2
3
x
-
2
6
y
=1 (B)
2
4
x
-
2
5
y
=1 (C)
2
6
x
-
2
3
y
=1 (D)
2
5
x
-
2
4
y
=1
4.已知双曲线C
1:
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1(a>0,b>0)与双曲线C
2
:
2
4
x
-
2
16
y
=1有相同的渐近线,且C
1
的右焦点为
则a= ,b= .?
考点三双曲线离心率的求法
1.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
(C)2 (D)3
2.过双曲线22
221
x y
a b
-= (a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
B,C.若AB u u u r=1
2BC
u u u r
,则双曲线的离心率是( )
3.设F
1,F
2
是双曲线C:22
22
1
x y
a b
-= (a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内
角为30°,则C的离心率为.?
4.如图所示,F
1、F
2
分别是双曲线C: 22
22
1
x y
a b
-= (a,b>0)的左,右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐
近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF
2|=|F
1
F
2
|,则C的离心率是( )
5.已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F 1(-c,0),F 2(c,0).
若双曲线上存在点P,使1221
sin sin PF F PF F ∠∠=a c
,则该双曲线的离心率的取值范围是 ——.?
考点四 与渐近线有关问题的解法?
1.设双曲线22x a
-2
9y =1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2.设双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的虚轴长为
2,焦距为则双曲线的渐近线方程为( )
(A)y=
(B)y=±2x (C)y=x (D)y=±12
x
3.已知双曲线
C:22
221x y a b
-=(a>0,b>0)则C 的渐近线方程为( )
(A)y=±14
x (B)y=±13
x (C)y=±12
x (D)y=±x
4.设F 1、F 2分别为双曲线2
2
22
1x y a
b
-= (a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|=|F 1F 2|,
且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )
(A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0 (D)5x ±4y=0
考点五 双曲线几何性质的简单应用?
1.(2013年湖北卷,理5)已知0<θ<π
4
,则双曲线C 1: 2
2
cos x θ
-22
sin y θ
=1与
C 2: 2
2
cos y θ-2
2
2sin tan x θθ
=1的( )
(A)实轴长相等 (B)虚轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等
2.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( )
(A)2
3.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2
x m -224
y m +=1则m 的值为 .?
4.(2010年福建卷,理7)若点O 和点F(-2,0)分别为双曲线2
2
x a
-y 2
=1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支
上的任意一点,OP FP ?u u u r u u u r
的取值范围为( )
,+∞) ∞) (C) 7,4??
-+∞?
???
(D)7,4
??
+∞????
考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用?
1.已知椭圆C 1的方程为2
4
x +y 2=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是
C 1的左、右焦点.
(1)求双曲线C 2的方程;
(2)若直线C 2恒有两个不同的交点A 和B,且OA u u u r ·OB u u u r >2(其中
O 为坐标原点),求k 的取
值范围.
2.已知双曲线2
2
x -y 2=1的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P(x 1,y 1),Q(x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,求h 的值.
3.已知以原点O 为中心
,0)为右焦点的双曲线C 的离心率
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)如图,已知过点M(x
1,y
1
)的直线l
1
:x
1
x+4y
1
y=4与过点N(x
2
,y
2
)(其中x
2
≠x
1
)的直线l
2
:x
2
x+4y
2
y=4的交点E
在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点,求△OGH的面积.
4.如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x
0,y
)(y
≠0)的直线l:-y
y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.