2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题

1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：

333

111a b c +++abc ≥

2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++c

b a

c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<

-<，，求证：5||18

y <．

4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c

=m ,求证:a + 2b +3c ≥9

6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x .

(1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：

26

125111113≥+++++xz yz xy

7. (2017全国新课标II 卷) 已知33

0,0,2a b a b >>+=。证明：

（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。

8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab

++的最小值为___________. 9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：

（Ⅰ）若ab cd >>

>

+是a b c d -<-的充要条件．

10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲

已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．

(Ⅰ)求a b c 的值； (Ⅱ)求

2221149a b c 的最小值．

11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．

（I ）求实数a ，b 的值；（II +的最大值．

【均值不等式】

例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+

y y xy x x ．

例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：

z y x xy z zx y yz x 111++≥++．

变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2

223332．

【柯西不等式】

例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求

121121121+++++c b a 的最小值．

变式：若21,32x ??∈- ???<

例题2：已知z y x ,,是正数．

()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z

z y y x x ，求证：1222222≥+++++z z y y x x ．

变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：

53222≥-+-+-c c b b a a ．

变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求

zx yz xy 211++的最大值．

【能力提升】

1、 设c b a ,,均为正实数，求证：

b

a c a c

b

c b a +++++≥++111212121．

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