奶制品的生产与销售模型

数学建模作业

奶制品的生产与销售模型

摘要

随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高，因此，企业生产越来越注重对人们需求的供给，合理分配资源，获取最大利润。

根据本题的基本信息，提出奶制品的生产与销售模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2（也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2）,但存在着几个问题的制约，采用最小二乘的模型求解方法，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。

关键字：生产要求最优解最小二乘法

一问题重述

问题一一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加

问题：

1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？

若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？

问题二为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。

试为该厂制订一个生产销售计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：

1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？

2）每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗？

二问题分析

问题一这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生

产A2（也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2），决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。

问题二要求制订生产销售计划，决策变量可以像例1那样，取作每天用多少桶牛奶生产A1、A2，再添上用多少公斤A1加工B1，用多少斤A2加工B2，但是由于问题要分析B1、B2的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作A1，A2，B1，B2每天的销售量更方便。目标函数是工厂每天的净利润————A1、A2、B1、B2的获利之和扣除深加工费用。约束条件基本不变，只是要添上A1，A2深加工时间的约束。再与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题。

三基本假设

1.A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与他们各自产量无关的常

数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

2.A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛

奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与他们相互间产量无关的常数；

3.加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意实数。

四模型的变量与符号说明

问题一

问题二

五模型的建立与求解

5.1模型的建立与求解

问题一由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：

设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2；每天获利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2，z=72x1+64x2；

我们的目标是求出当x1,x2满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2的取值。约束条件为：

1.原料供应：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2<=480小时；

2.劳动时间：生产A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2<=50桶；

3.设备能力：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x<=100；

4.非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1>=0，x2>=0.

由此得基本模型：

Max z=72x1+64x2

S．t．x1+x2<=50

12x1+8x2<=480

3x1<=100

x1>=0,x2>=0.

用LINDO软件求解，可得到如下输出：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3360.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 20.000000 0.000000

X2 30.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 48.000000

3) 0.000000 2.000000

4) 40.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 72.000000 24.000000 8.000000

X2 64.000000 8.000000 16.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 50.000000 10.000000 6.666667

3 480.000000 53.333332 80.000000

4 100.000000 INFINITY 40.000000

上面结果的第3,5,6行明确地告诉我们，这个现行规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为z=3360,即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。

问题二由上述问题分析可建立奶制品生产销售计划的模型并进行求解：

设每天销售1x 公斤1A ，2x 公斤2A ，3x 公斤1B ，4x 公斤2B ，用5x 公斤1A 加工1B ，6x 公斤2A 加工2B 。设：

6543213332441624x x x x x x z --+++=

其中z 表示的是每天净利润，我们的目标是求出当x1,x2,x3,x4,x5,x6满足下列约束条件时z 的最大值，及相应的x1,x2,x3,x4,x5,x6的取值。约束条件为：

1．原料供应：A1每天生产x1+x5公斤，用牛奶（x1+x5）/3

桶，A2每天生产x2+x6公斤，用牛奶（x2+x6）/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；即50436

1≤+++x x x x

2．劳动时间：每天生产A1，A2的时间分别为4（x1+x5）和2

（x2+x6），加工B1，B2的时间分别为2x5和2x6，二者之和不得超过总的劳动时间

480小时；即

48022)(2)(4656251≤+++++x x x x x x 3．设备能力：A1的产量x1+x5不得超过甲类设备每天的加工

能力100公斤；即10051≤+x x

4．非负约束：x1,x2,……,x6均为非负.即0.

,,,,654321≥x x x x x x 5．附加约束：1公斤A1加工成0.8公斤B1，故x3=0.8x5,类

似地x4=0.75x6.即6453

75.0,8.0x x x x ==

由此得基本模型：

Max 6543213332441624x x x x x x z --+++= s.t. 50436

1≤+++x x x x

48022)(2)(4656251≤+++++x x x x x x

10051≤+x x

645375.0,8.0x x x x ==

0.,,,,654321≥x x x x x x

用LINDO 软件求解，可得到如下输出：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3460.800

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 1.680000

X2 168.000000 0.000000

X3 19.200001 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 24.000000 0.000000

X6 0.000000 1.520000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 3.160000

3) 0.000000 3.260000

4) 76.000000 0.000000

5) 0.000000 44.000000

6) 0.000000 32.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 24.000000 1.680000 INFINITY

X2 16.000000 8.150000 2.100000

X3 44.000000 19.750002 3.166667

X4 32.000000 2.026667 INFINITY

X5 -3.000000 15.800000 2.533334

X6 -3.000000 1.520000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 600.000000 120.000000 280.000000

3 480.000000 253.333328 80.000000

4 100.000000 INFINITY 76.000000

5 0.000000 INFINITY 19.200001

6 0.000000 INFINITY 0.000000

最优解为x1=0,x2=168,x3=19.2,x4=0,x5=24,x6=0，最优值为z=3460.8.即每天生产销售168公斤A2和19.2公斤B1（不出售A1，B2），可获净利润3460.8元.为此，需用8桶牛奶加工成A1,42桶加工成A2，并将得到的24公斤A1全部加工成B1.

5.3 模型检验

根据多项式的曲线拟合原理，其本身就体现了最小二乘法，在拟合多项式最高次数的选择上，我们更是多次试验，择优而选择，使其更加逼近以前的数据，所以说，从最小二乘法原理方面检验，它的误差是在ɑ=0.05之的，模型可行。

六模型评价与推广

本模型的优点:1.本模型的优点:

1.在进行奶制品的生产与销售模型中，采用最小二乘的方法在奶制品生产问题上，合理建立模型，保证了模型的准确性和正确性。

2.在数据处理上，采用简单的数据处理，解决了实际的奶制品的生产与销售模型。

3.在此题求解过程中，假设多个变量，考虑到多个因素的存在，运用了多种可能的模型，，使得问题的求解的合理性大为提高。

不足点: 本模型采用多项式进行曲线拟合,但并没有论证它的优越性,而且也有可能出现多种最优解，也没有考虑是否有更好的拟合函数

模型推广：企业部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、

资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。从时间层次看，若在短时间认为外部需求和部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

这个模型可以推广到诸多经济领域。经济市场中，各种经济指数在短时间多呈现出波动性，然而在整个宏观时间区域上，却可以认为这些经济指数是按照一定规律变化的。所以，我们可以采用同样的方法，对各种经济指数进行宏观的分析。首先将影响数据的因数进行分类，然后逐渐对各个因素进行分析，采用最小二乘法拟合找出其随时间变化的函数关系，接着，对所需要预测的问题进行综合的预测，进而求解经济市场中的该类问题。

七参考文献

[1]启源等，数学模型，第三版，高等教育

[2]卫国等，Matlab程序设计与应用（第二版），：高等教育

附录一

用LINDO软件求解问题一：加工奶制品的生产计划的程序如下

max 72x1+64x2

2)x1+x2<50

3)12x1+8x2<480

4)3x1<100

end

附录二

用LINDO软件求解问题二：奶制品的生产销售计划的程序如下

max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6

4x1+3x2+4x5+3x6<=600

4x1+2x2+6x5+4x6<=480

x1+x5<=100

x3-0.8x5=0

x4-0.75x6=0

end