《勾股定理》培优训练1
《勾股定理》培优训练一
1.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接
2.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段BD的长.
(1)连接PA、PB,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度数;(2)先根据勾股定理求出AC的长度,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB 三种情况,根据三角形的性质计算即可得解.
4. 已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G.(1)求证:GE=GF;(2)若BD=1,求DF的长.
5.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21,AD=9.求AC的长.
6.已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2.(1)求线段OA2的长;(2)若再以OA2为边,按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,…△OA n B n(如图).求△OA6B6的周长.
7. △ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
8.细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题.
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出S12+S22+S22+…+S102的值.
9. Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上,直角顶点B在第四象限内,S△OAB=20,OB:AB=1:2,求A、B两点的坐标.
10.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C 旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证:MN2=AM2+BN2;请你完成证明过程:(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
11.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连结BD,交AC于F.(1)猜想BD与DE的位置关系,并证明你的结论;(2)求△BDE的面积S.
12.已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的
在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出结果);(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想
求QF的长.
13.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)求证:BC=CD.
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:BC边和邻边CD的长度是否一定相等?请证明你的结论.
(3)探究:在(2)的情况下,如果再限制∠BAD=60°,那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系?需说明理由.
14.在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求证:a2=b(b+c)
15.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=AB=4,BC=7,点E在BC边上,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处.(1)求∠C'DE的度数;(2)求△C'DE的面积.
16.在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AB=2,BC=11,求:(1)CD的长.(2)四边形ABCD的面积.
17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
18.已知在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点在边BC上,BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F,若BD=4,∠BAD=45°.(1)如图:若∠BAC是锐角,则点F在边AC上,①求证:△BDE≌△ADC;②若DC=3,求AE的长;(2)若∠BAC是钝角,AE=1,求AC的长.
19.如图,△ABC是一个边长为1的等边三角形,BB1是△ABC的高,B1B2是△ABB1的高,B2B3是△AB1B2的高,B3B4是△AB2B3的高,…B n-1B n是△AB n-2B n-1的高
(1)求BB1的长;
(2)填空:B1B2的长为,B2B3的长为;
(3)根据(1)、(2)的计算结果,猜想写出B n-1B n的值(用含n的代数式表示,n为正整数).
21.(1)如图1,在△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5.D为AB边上一点,且△ACD与△BCD的周长相等,则AD= .
(2)如图2,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB2=BC2+AC2.E为BC边上一点,且△ABE与△ACE的周长相等;F为AC边上一点,且△ABF与△BCF的周长相等,求CE?CF(用含a,b的式子表示).
22.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.(1)求证:BH=AC;(2)求证:BG2-GE2=EA2.
顺时针旋转30°,连
BD 交AC 于点G ,取AB 的中点F 边FG .求证:BE =2FG .
24.在讨论问题:“如图1,∠ABC =30°,∠ADC =60°,AD =CD ,请问:BD 、AB 、BC 三边满足什么关系”时,某同学在图中作△ACE ≌△DCB ,连接BE 得图2,然后指出三边的关系为BD 2=AB 2+BC 2.他的判断是否正确?请说明理由.
A
B
C D
E
D
B
A
26.如图
1,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,D 为AB 中点,DE 、DF 分别交AC 于E ,交BC 于F ,且DE ⊥DF . (1)如果CA =CB ,求证:AE 2+BF 2=EF 2; (2)如图
2,如果CA <CB ,(1)中结论AE 2+BF 2=EF 2还能成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
27.已知:△ABC 中,AB <BC ,AC 的中点为M ,MN ⊥AC 交∠ABC 的角平分线于N . (2)如图2,若∠ABC =120°,则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式,并对你得出的结论给予证明.
A
B
M
N
C
N
M
C B A
(1)连接AN 、CN ,过点N 作NE ⊥AB 于点E ,NF ⊥BC 于点F ,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF ,然后利用“HL”证明Rt △
ANE 和Rt △CNF 全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CF ,然后求出BA+BC=2BF ,在Rt △BNF 中,利用∠NBF 的余弦值列式整理即可得证; (2)连接AN 、CN ,在BC 上截取BE=AB ,然后利用“边角边”证明△ABN 和△ABE 全等,根据全等三角形对应边相等可
D,E按逆时针方向).如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
(1)求证:∠1=∠2.
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
※(3)如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′,是否存在点D,使△ADE′是等腰三角形?若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由.
(1)求出∠B=45°,根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2,求出即可.(2)分为三种情况,①DE=AE,②AD=AE,③AD=DE,根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等),三角形全等推出即可.(3)存在,条件是CD=AC,求出∠DE′A=∠CAD=22.5°,根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC,∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD;再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′.存在,当D在BC延长线上,且CD=CA时,△ADE′是等腰三角形,理由是:∵∠ACB=45°,∴∠ADB<45°,∴∠EDB<90°,∴∠BDE′永远是钝角,∴∠ADE′是钝角,即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角,∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,又∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA=22.5°,∴∠EDC=67.5°,∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°,∴∠CAD=∠CE′D,∴DA=DE′,∴△ADE′是等腰三角形.
29.如图,△ABC是等边三角形,过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D,连接AD,过点C作∠BCE=∠BAD,交AB的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若CD=4,求AD的长.
30.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,则∠BFC= ;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,BC=4,AB=3.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,判定∠DAC与∠ABC的数量关系,并证明你的结论.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,仿照(2)利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论.∠DAC=2∠ABC成立,以下证明:过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.∵BE∥AH,∴∠EBC=90°.∵∠EBC=90°,BE=2AH,∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.∵BD2=4AH2+BC2,∴EC=BD.∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.∵BK∥AH,∴四边形AKBH为平行四边形.又∵∠EBC=90°,∴四边形AKBH为矩形.∴∠AKB=90°.∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.∴∠EAC=∠BAD.∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD.即∠EAB=∠DAC.∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,∴∠ABC=90°-∠EBA.∵AB=AE,∴∠EBA=∠BEA.∴∠EAB=180°-2∠EBA.∴∠EAB=2∠ABC.∴∠DAC=2∠ABC.
32.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB.(1)如图1,求证:∠B=∠E:
(2)如图2,在(1)的条件下,在BC上取一点M,使BM=CE,连接AM,过M作MH⊥AE于H,连接CH,若∠BAE=∠EHC=60°,CF=2,求线段AH的长.
33.如图,在直角坐标系中,点B坐标为(-4,0),点C与点B关于原点O对称,点A为y轴上一动点,其坐标为(0,k),BE,CD分别为△ABC中AC,AB边上的高,垂足分别为E,D.(1)当k=-3时,求AB的长;(2)试说明△DOE是等腰三角形;(3)k取何值时,△DOE是等边三角形?(直接写出k的值即可)
34.如图,已知△ABC中,BC=AC=8厘米,∠C=90°,如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动,同时,点Q在线段BC上由C点向B点运动,运动速度与点P的运动速度相等,点M是AB 的中点.
(1)在点P和点Q运动过程中,△APM与△CQM是否保持全等,请说明理由;
(2)在点P和点Q运动过程中,四边形PMQC的面积是否变化?若变化说明理由;若不变,求出这个四边形的面积;
(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系,写出这个关系,并加以证明.
二元一次方程组的解法培优训练
培优训练 一、填空题 1.已知(k -2)x |k |-1-2y =1,则k ______ 时,它是二元一次方程;k =______ 时, 它是一元一次方程. 2.若|x -2|+(3y +2x )2=0,则y x 的值是______ . 3.如果|21||25|0x y x y -++--=,则x y +的值为 4.已知???-==1 ,2y x 是二元一次方程mx +ny =-2的一个解,则2m -n -6的值等于_______. 5.已知二元一次方程组? ??=+=+②①8272,y x y x 那么x +y =______ ,x -y =______. 6.若2x -5y =0,且x ≠0,则 y x y x 5656+-的值是____ . 二、选择题 1.已知二元一次方程x +y =1,下列说法不正确的是( ). (A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解 (C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解 2.若二元一次方程组? ??=---=-043,1y nx y mx 的解中,y =0,则m ∶n 等于( ). (A)3∶4 (B)-3∶4 (C)-1∶4 (D)-1∶12 3.已知x =3t +1,y =2t -1,用含x 的式子表示y ,其结果是( ). (A)31-=x y (B)21+=y x (C)352-=x y (D)3 12--=x y 4.若关于x ,y 的方程组???=+=-n my x m y x 2的解是???==1 2y x ,则n m -为( ) A .1 B .3 C .5 D .2 5.关于x ,y 的方程组?? ?=-=+1935,023by ax by ax 的解为???-==.1,1y x 则a ,b 的值分别为( ). (A)2和3 (B)2和-3 (C)-2和3 (D)-2和-3 6.与方程组???=+=-+0 2,032y x y x 有完全相同的解的是( ). (A)x +2y -3=0 (B)2x +y =0 (C)(x +2y -3)(2x +y )=0 (D)|x +2y -3|+(2x +y )2=0 7.小明在解关于x 、y 的二元一次方程组???=?-=?+133,y x y x 时得到了正确结果 ? ??=⊕=.1,y x 后来发现“?”“ ⊕”处被墨水污损了,请你帮他找出?、⊕ 处的值分别是( ) A .? = 1,⊕ = 1 B .? = 2,⊕ = 1 C .? = 1,⊕ = 2 D .? = 2,⊕ = 2 8.若关于x ,y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解,则k 的值为 ( )
一年级阅读理解培优训练(附解析)1
阅读理解培优训练(附解析)1 一、一年级语文上册阅读理解练习 1.和大人一起读(《小兔子乖乖》,再填空。(填序号) ________来了,小兔子没开门。 ________来了,小兔子开了门。 ①灰狼②兔妈妈 【答案】①;② 【考点】儿歌 【解析】 2.读短文,完成下面练习。金色的秋天 秋风阵阵吹,白云朵朵飘。天气一天天凉了。 一片片树叶在风中飞舞,好像一只只美丽的蝴蝶。有红的,有黄的,还有半黄半绿的。它们飞呀,飘哇,纷纷向树妈妈告别。 (1)短文有________段。 (2)树叶像什么? (3)树叶都有什么颜色的? (4)树叶向树妈妈告别会说些什么呢?请你写一写,不会的字可以用拼音。 【答案】(1)2 (2)一片片树叶在风中飞舞,好像一只只美丽的蝴蝶。 (3)有红的,有黄的,还有半黄半绿的。 (4)略 【考点】语段阅读 【解析】 3.快乐阅读 爱动脑筋(jīn)的孩子 华(huà)佗(tuó)七岁时,有一天和几个小朋友一起摘桑( sāng)叶,一位老爷爷路过,问他们:“谁能摘下树顶上的叶子?”小朋友们抬头一看:树那么高,树顶上的枝条那么细,根本上不去呀! 华佗想了想,找来一根绳(shéng)子,在绳子一头拴(shuān)了块石头,把石头抛(pāo)过枝条,枝条就被压(yā)弯了。他又用双手使劲拽(zhuài)绳子,枝条更低了。这样,他就摘到树顶上的叶子了。 老爷爷笑了,说:“这孩子爱动脑筋。好,我就收你做徒(tú)弟吧!”原来,老爷爷就是当地有名的蔡(cài)医生。 (1)这篇短文有________个自然段。
(2)填一填。这篇短文写的是华佗________岁时候的故事,文中的老爷爷是________的蔡医生。 (3)华佗是怎样摘到树顶上的叶子的?从文中找出相关的句子 (4)华佗是个________的孩子。 【答案】(1)3 (2)七;当地有名 (3)华佗想了想,找来一根绳(shéng)子,在绳子一头拴(shuān)了块石头,把石头抛(pāo)过枝条,枝条就被压(yā)弯了。他又用双手使劲拽(zhuài)绳子,枝条更低了。这样,他就摘到树顶上的叶子了。 (4)爱动脑筋 【考点】记叙文,乌鸦喝水 【解析】【分析】(1)这篇短文有3个自然段。(2)这篇短文写的是华佗七岁时候的故事,文中的老爷爷是地有名的蔡医生。(3)华佗想了想,找来一根绳(shéng)子,在绳子一头拴(shuān)了块石头,把石头抛(pāo)过枝条,枝条就被压(yā)弯了。他又用双手使劲拽(zhuài)绳子,枝条更低了。这样,他就摘到树顶上的叶子了。(4)华佗是个爱动脑筋的孩子。 【点评】做好每一个小题,都是基于读懂课文的基础之上,本题考查学生对课文内容的理解程度,锻炼了学生阅读和运用能力,特别是语言表达能力。 4.读儿歌,回答问题。 文具歌 铅笔尺子田字本,学习用品好伙伴, 天天帮助我学习,和我成长永相伴, 不损坏,不浪费,学习用品要爱惜! (1)儿歌提到了哪几种文具用品?在儿歌中找出来。 (2)你学习的好伙伴还有哪些?写下来和大家分享吧。 (3)在正确的说法后面画“√”,错误的画“×”。 ①学习用品和“我”的成长永相伴。________ ②我们要爱惜学习用品,不应该借给同学用。________ ③铅笔、尺子、田字本等都是学习用品。________ 【答案】(1)铅笔、尺子、田字本 (2)橡皮、彩笔、蜡笔、转笔刀等。 (3)√;×;√ 【考点】语段阅读 【解析】 5.读儿歌回答问题。 月亮姑姑减肥记 月亮姑姑长得胖圆圆脸蛋亮堂堂。
(完整)五年级阅读训练题10篇(附答案)
深山含笑(五年级阅读训练一) 我以前见过的含笑花都是庭院种植的,叶细花小,象牙色的花蕊吐着幽香,有一种水果般的甜沁。含笑不(以、已)艳丽著称,妙的是一缕沁香。 在井冈山深处,我被另一种含笑花(佩、折)服!几株两三丈高的乔木体如游龙,散发出弥天的清香气息,这就是野生的深山含笑。多么突兀的秀色啊!她简直像一个绝世独立的北方佳人,(竟、竞)然在大山深处隐藏了如此潇洒、如此豪放的春光。和庭院含笑相比,倒(像、向)是临风挺立的 巾帼英雄,笑得那么爽朗、欢畅。那是一种胜利的喜悦,似乎天上的白云都是从她的胸中笑出来的。 从小路那边走过来两个拎着简单行李的年轻人。他们是那个边远的、还没通车的村子里的老师、跟着他们,我们也进了村。目睹孩子们围着老师的亲切嬉闹,我忽然感觉另有一株高大的深山含笑在我心中晃动起来…… 1.把文中括号里有不合适的字划掉。(5分) 2.庭院中的含笑与野生的含笑有什么不同?(3分) ________________________________________________ _________________________________________________ 3.在文中用曲线画出两个比喻句。(2分) 4.注意带点词语,结合题目写出文章最后一句话的意思。(4分)
--------------- (五年级阅读训练二) 王若飞同志是一位无产阶级革命家。解放前,他因从事革命工作,被敌人逮捕了。在监狱里,他经常对难友们说:“敌人要摧残我们,我们一定要爱护自己的身体, 我们是革命者,决不能向恶劣的环境屈服,要坚决斗争。” 王若飞同志的身体不好,为了坚持对敌斗争,他想方设法,利用各种条件锻炼身体。 王若飞同志在狱中的锻炼方法之一是日光浴。他利用每天短暂的放风时间到院子里晒太阳。后来,他得了严重的风湿性关节炎,敌人被迫允许他每天晒一两小时太阳。他就利用这个机会,躺在院子里让太阳晒全身,把皮肤晒得紫红紫红的。 冷水擦身,是王若飞锻炼身体的另一种方法。那时,反动派百般折磨政治犯,别说洗澡,就连喝的水也不供给。但王若飞的言行感动了出身贫苦的老看守员,他偷偷地给王若飞买了几只大碗,王若飞同志每天用它盛冷水,用毛巾蘸着擦身,擦到全身发红为止。 王若飞同志在狱中还有一种锻炼方法,叫做“室内体操”。体操包括伸腿、弯腰、曲臂等动作。不管三九天,还是三伏天,他都坚持锻炼。 一次,一个难友问王若飞:“我有一事不明白,你骂**,骂蒋介石,天不怕,地不怕,真是好汉。可是,你坐在牢房里,还天天做操,又好像很爱护自己的身体,这 究竟是怎么回事?”
二元一次方程组培优训练题
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