高等数学课件-- 极限与连续(可编辑)

第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，

是的间断点? 是什么间断点? 四、主要解题方法求函数极限方法***** 1. 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．例如习题二P31 2 2. 利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(2) (3) (4) (1) 小结(1) 应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（2）求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．解(1) = = (2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式= (3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式= (4) 当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以将无穷大的约去，再用法则求原式= 3. 利用无穷小的性质求极限例3 求下列函数的极限（1）（2）解（1）因为而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极

限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．4. 利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1）（2）解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限= = （2）= 小结利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型, 为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。常用等价无穷小: ～～～～～～～～～5. 利用等价无穷小代换求极限例5 求下列

函数的极限（1）（2）解（1）（2）= = = 小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错．如上题, 即得一错误结果．6. 利用函数的连续性求极限例6 求下列函数的极限（1）解(1) 因为是初等函数，在处有定义，所以（2）函数看成由复合而成，利用分子有理化= 小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．可见, 函数在点定义: 在的某邻域内有定义, 则称函数(1) 在点即(2) 极限(3) 设函数连续必须具备下列条件: 存在; 且有定义, 存在; 在在(1) 函数(2) 函数不存在; (3) 函数存在, 但不连续: 设在点的某去心邻

域内有定义, 则下列情形这样的点之一函数f (x) 在点虽有定义, 但虽有定义, 且称为间断点. 在无定义; 第一类间断点: 及均存在, 若称若称第二类间断点: 及中至少一个不存在, 称若其中有一个为振荡, 称若其中有一个为为可去间断点. 为跳跃间断点. 为无穷间断点. 为振荡间断点. 为其无穷间断点. 为其振

荡间断点. 为可去间断点. 小结:求极限方法(4) 两个重要的极限公式作业P31

4.(1)(3)

5.(1)(3)(4)(8) 本次课结束谢谢同学们补充证明证明: 令则自己证明补充证明证明: 因原式等于自己证明提示:设后面还要证明补充1 设问为何值时, 存在，并求此极限值. 当为何值时，在的极限存在. 补充2 设补充2 解:由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限,于是，有为使存在，必须有= 因此，当a=1 时，存在且=1 ．极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例g(x)=C 时两个重要极限或无穷小的比较一、函数的连续性定义二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长等．第三节函数的连续性一、函数的连续性定义1．初等函数的连续性定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的．求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性．2．利用函数的连续性求极限判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性．例讨论函数在点处的连续性．解由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．因而有即而由函数在一点连续的充要条件知处连续3．复合函数求极限的方法定理2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．思考题第二章极限与连续一、本章提要1. 基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2. 基本公式（代表同一变量). 两种形式注意能求的极限形式3. 基本方法***** ⑴利用函数的连续性求极限；⑵利用四则运算法则求极限；⑶利用两个重要极限求

极限；⑷利用无穷小替换定理求极限；练习[ 游戏销售] 销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数请计算游戏推出后第6个月、第12 (2) 如果要对该产品的长期销售做出当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内为月份。关系为，个月和第三年的销售量. 预测，请建立相应的表达式. 无穷大与无穷小的应用解(1) 8.8235 9.8361 5.1576 即无穷大的倒数为无穷小(2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移，游戏. 人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的时的销售量. 该产品的长期销售应为时间上式说明当时间时，销售量的极限为0，即一、函数的极限(六个定义,两个定理)*** 二、数列的极限(一个定义,一个定理) 三、极限的性质(四个性质,一个推论) 四、极限的几点说明(四点说明) 五、无穷小量(一个定义,三个定理,两个推论) *** 六、无穷大量( 一个定义,一个定理) 作业Ｐ３１习题二1, 2 , ３，问题1 如果存在，那么函数在点处是否一定有定义? 解答: 不一定有定义; 因为表示x无限接近而不等于故与f(x) 在点有无定义无关复习书上的例1, 例2加深定理1的理解此题是对定义1的进一步说明问题2 是否正确，为什么? 解答: 不正确因为所以又因为所以(后面

证明用途很大) 今天要的讲极限运算法则的特殊形式一、极限运算法则二、两个重要极限三、无穷小的比较一、极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例g(x)=C 时根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得思考题解解……2.718 2.717 2.705 2.594 2.488 2.441 2.370 2.250 2 ……. 10000 1000 100 10 5 4 3 2 1 或证第一节极限的定义第二节极限的运算第三节函数的连续性极限与连续一、函数的极限二、数列的极限三、极限的性质四、极限的几点说明五、无穷小量六、无穷大量第一节极限的定义图２图１O 1 -1 (1,2) x y f(x)=x+1 一、函数的极限例4 讨论当x →∞时，函数y =arccotx 的极限解

如图所示虽然都存在，但它们不相等，所以不存在。0 π1 考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度影子长度越来越短，当人越来越接近）时，其影子的长度越来越短，逐渐趋于0 （）。为H 。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其目标（练习[ 人影长度] 练习[ 人影长度的极限分析] 即设H为路灯的高度，h为人的高度，x 为人离目标的距离。由解出人影高度为，其中是常数，当人越来越接近路灯的目标（）时，显然，人影高度2．数列的极限二、数列的极限3. 数列极限存在定理三、极限的性质四、极限概念的几点说明几点说明: 1. 变量前加记号lim, 表示对这个变量进行极限运算,若变量的极限存在,所指的不在是这个变量本身而是它的极限,即变量无限接