二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上. 13．若)(1
x f
-为函数)1lg()(+=x x f 的反函数，则)(1
x f
-的值域是 .
14．函数1)(],1,1[,223)(≥-∈--+=x f x a b ax x f 若恒成立，则b 的最小值是 .
15．老师给出一个函数y ＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x ∈R ，都有f(1＋x)＝f(1－x)； 乙：在(]0,∞-上函数递减； 丙：在（0，＋∞）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .
16．关于函数),0(|
|1
lg
)(2R x x x x x f ∈≠+=，有下列命题： ① 函数y=)(x f 的图像关于y 轴对称； ② 当x >0时)(x f 是增函数，当x <0时
)(x f 是减函数；
③ 函数)(x f 的最小值是lg2； ④ 当x >1，时)(x f 没有反函数。 其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确的序号都填上）.
三、解答题：本题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元. 根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.
(Ⅰ) 设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式；
(Ⅱ) 当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价－成本）
18．（满分12分）设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： （1）对于任意正实数a 、b ，都有p b f a f b a f -+=?)()()(，其中p 是正的实常数；
（2）1)2(-=p f ； （3）当1>x 时，总有p x f <)(.
（Ⅰ）求)21
()1(f f 及的值（写成关于p 的表达式）；（Ⅱ）求证：),0()(+∞在x f 上
是减函数.
19．（满分12分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总
任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置。设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可以不是整数）. （Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
20．（满分12分）设函数()f x =c
bx ax ++12(),,a b c Z ∈为奇函数，又()()12,23f f =<，
且()f x 在[)+∞,1上递增。 ⑴求a 、b 、c 的值； ⑵当0x <时，讨论()f x 的单调性.
21．（满分12分）已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数。 当a ， b ∈[－1，1]，
且a +b ≠0时，有
()()
0f a f b a b
+>+成立。
（Ⅰ）判断函f (x )的的单调性，并证明； （Ⅱ）若f (1)=1，且f (x )≤m 2－2bm +1对所有x ∈[－1，1]，b ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围。
22．（满分14分） 已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(中c b a ,,均为实数，且满足
0=+-c b a ,对于任意实数x 都有0)(≥-x x f ，并且当)2,0(∈x 时有
2)2
1()(+≤x x f 成立。（Ⅰ）求f (1)的值； （Ⅱ）证明：161≥ac ； （Ⅲ）当
x ∈[－2，2]且a+c 取最小值时，函数mx x f x F -=)()(（m 为实数）是单调函数，求证：13
22
m m ≤-≥或.
函数单元测试参考答案
一、 选择题：
二、 填空题：13、),1(+∞-； 14、
2
； 15、()2
1y x =-等； 16、①③ 三、
解答题： 17．解：（Ⅰ）当1000≤62)100x
x -
=- 所以 )(.500100,5062,1000,
60)(N x x x
x x f P ∈??
?
??≤<-≤<== （Ⅱ）设销售商的一次订购是x 件时，工厂获得的利润为L 元，则
)(.
500100,5022,1000,20)40(2
N x x x x x x x P L ∈??
?
??≤<-≤<=-= 当450=x 时，L=5850. 因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元.
18．解：（1）取a=b=1，则(1)2(1).(1)f f p f p =-=故……2分 又p f f f f -+=?=
)2
1
()2()212()1(. 且
1)2(-=p f .
得：1)1()2()1()2
1(+=+--=+-=p p p p p f f f ……5分
（2）设,021x x <<则：])()([)()()()(11
2111
212p x f x x f x f x x x f x f x f -+=-?=-1()f x -
2
1
(
)x f p x =-………8分 依1,01221><再依据当1>x 时，总有p x f <)(成立，可得p x x f <)(
1
2
………10分 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数。………12分
19．解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，x -216人. .3)216(3000)(,64000)(?-==∴x x h x x g
即*).,2160(2161000)(,32000)(N x x x x h x x g ∈<<-==……3分
（
Ⅱ
）
.)
216(3)
5432(1000216100032000)()(x x x x x x h x g --?=--=
-……4分
.0216,2160>-∴<当h(x)g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,432860>>>≤<时x ；
当h(x).g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,43221687<<<<≤时x ……6分
=∴)(x f ??????
?∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000
N x x x
N x x x ……8分 （Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值. 当860≤1000
8632000)86()(=?=
≥∴f x f ),86()(min f x f =∴此时,130216=-x 当21687<≤x 时，)(x f 递增， (10)
分
,129
1000872162000)86()(=-=
≥∴f x f ),87()(min f x f =∴此时,129216=-x
,129
1000)87()86()(min =
==∴f f x f ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129。
20．解：⑴∵()f x 为奇函数，∴)()(x f x f -=-，
222211(1)()
0.10,0.
()()
41
(1)2,(2)3,123,
221:12,ax ax ax bx c bx c ax c bx c bx c
bx c bx c a f f a b b
b a a a Z
++++-+∴=-∴=+≠∴=-++-+++=<∴+=<=+-<<∈Q Q Q 又且将代入上式得
∴a =0或a =1。而a =0时b =
1
2
，b Z ∈与矛盾 ∴a =1，b =1，c =0 ⑵由⑴设,1
)(x
x x f +=
()1212212112
121212212110,()()()11,10,
0()()1,().:10.
x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x f x f x x f x x f x -<<-=-<<->->->∴><--<<当时又即当时为增函数同理当时,为减函数
注意：第（2）小题理科同学可用导数来处理。 21、（Ⅰ）证明：设12,x x ∈[—1，1]，且12x x <，在
0)
()(>++b
a b f a f 中，令a =x 1,b=
—x 2， 有2
121)
()(x x x f x f --+>0，∵x 1－f(x 2)∴
2
121)()(x x x f x f -->0 ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)< f(x 2).
故f(x )在[－1，1]上为增函数……6分
（Ⅱ）解：∵f(1)=1 且f(x )在[－1，1]上为增函数，对x ∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1。
由题意，对所有的x ∈[－1，1]，b ∈[—1，1]，有f(x)≤m 2－2bm+1恒成立， 应有m 2－2bm+1≥1?m 2－2bm ≥0。 记g(b)=－2mb+m 2，对所有的b ∈[－1，1]，g(b)≥0成立.
只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零……8分
若m ＞0时，g(b)=－2mb+m 2
是减函数，故在 [－1，1]上，b=1时有最小值， 且[g(b)]最小值=g(1)=－2m+m 2≥0?m ≥2；
若m=0时，g(b)=0，这时[g(b)]最小值=0满足题设，故m=0适合题意； 若m<0时，g(b)=－2mb+m 2是增函数，故在[－1，1]上，b=－1时有最小值， 且[g(b)]最小值=g(－1)=2m+m 2≥0?m ≤－2.
综上可知，符合条件的m 的取值范围是：m ∈（－∞，－2]∪{0}∪[2，+∞)。 22．解：（Ⅰ）∵对于任意x ∈R ，都有f （x ）—x ≥0，且当x ∈(0,2)时， 有f （x ）≤(
21+x )2·令x=1 ∴1≤f (1)≤(2
11+)2
.即f （1）=1.……4分 （Ⅱ）由a —b +c =0及f （1）=1.
有???=++=+-1,0c b a c b a 可得b =a +c=21
.……6分
又对任意x ，f （x ）—x ≥ 0,即ax 2—2
1
x +c ≥0. ∴a ＞0且△≤0. 即
41—4ac ≤0。解得ac ≥16
1
.……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a ＞0,c ＞0. a +c ≥2ac ≥2·161=2
1
.……10分 a=c ， 当且仅当
a+c=
21时等号成立。此时a=c =4
1
……11分 ∴f(x)=41x 2+21x+41, F(x)=f(x)－mx =41
[x 2+（2－4m ）x +1]……12分
当x ∈[－2,2]时，F(x )是单调的，所以F(x )的顶点一定在[－2,2]的外边. ∴|242m |≥2 解得m ≤－21或m ≥2
3
……14分
