高考数学备考建议

高考数学备考建议

一、全国高考数学试卷基本情况分析

(一)、试卷种类

全国1卷: 河北、河南、山西、安徽、海南；

全国2卷:黑龙江、吉林、广西；

全国3卷: 四川、云南、贵州、甘肃、新疆、青海、宁夏、陕西、西藏等。

十四个自主省市：

北京、上海、天津、重庆、福建、江苏、浙江、辽宁、广东、湖南、湖北、江西、山东、安徽（只有外语自主命题）。

(除辽宁、江苏、广东外数学都是文理分卷，共29份) (二)、试卷结构：

第一卷：选择题，第二卷：非选择题

全国1、2、3卷和辽宁、湖北、江西、山东、福建卷：

选择题12道，填空题4道，解答题6道。

北京：20道题，选择题8道，填空题6道，解答题6道。

上海：22道题，选择题4道，填空题12道，解答题6道。

江苏：23题，选择题12道，填空题6道，解答题5道。

湖南：21题，选择题10道，填空题5道，解答题6道。

广东，浙江：20道题，选择题10道，填空题4道，解答题6道

重庆，天津：22道题，选择题10道，填空题6道，解答题6道

（三）、全国三套卷选择题、填空题所涉及的主要内容

集合题：涉及子、交、并、补及不等式的解法。

函数：二次函数、对应法则、反函数、图像变换、奇偶性；

三角：图像变换、单调性求三角函数的周期、最大（小）值、正余弦定理、化简、

恒等变性等；

复数：简单的加减乘除计算和性质；

向量：平面向量数量积的运算、共线、垂直、平移；二项式定理：通项公式；

排列组合：加法（分类）、乘法原理；

概率、统计：等可能事件的概率、数学期望；

解析几何：点到直线距离、直线方程、对称，圆、二次曲线基本元素之间的关系；

不等式：指数、对数、绝对值、均值定理等；

立体几何：线线、线面平行、垂直、截面、球等；

数列：通项公式、求和公式（内容少，3套卷中只有1道）

导数：切线方程、函数的极限；

算法：16进制。

(四)、全国卷客观题的几个主要特征 1、在内容和形式上保持了与卷的高度稳定性

2004（Ⅱ）、（12）由1、2、3、4、5构成五为数比23145大比43521小的数共有。 A.56 B.57 C.58 D.60 特点：思维量小，分类讨论麻烦，运算大；

2003年： 选择题第7题：已知方程 0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项

为41

的等差数列，则

=-||n m （ ）。

特点：思维量大、运算小。

2005年全国1卷15题：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

()OH m OA OB OC =++，则实数 m =（ ）

此题由2001年全国数学竞赛题改编，可以取△ABC 为直角三角形得 1m =。 2004年全国（Ⅰ）12题、2,2,1222222=+=+=+a c c b b a ，求 ac bc ab ++ 的最小值为：

213.-

A 321.-

B 321.--

C 32

1

.+D 特点： 打破传统的思维模式，不用均值定理，而是根据

222

a b c ===的值分析求结果。

2、函数、三角、立几、解几等在数学学科中起支撑作用 的主干知识达到了60%以上

第10题:已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0）， C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点 0P 沿 与AB 的夹角a 的方向射到BC 上的点 1P 后，依次反射

到CD 、DA 和AB 上的点 2P 、 3P 和 4P （入射角等于反射角）， 设4P 的坐标为（ 4x ， 0 ），若214<

（A ）（ 3

1

， 1 ） （B ）（

31 ， 3

2

）

（C ）（ 5

2

，

21

） （D ）(

52

， 3

2

）

启示：当小题运算量太大、太难时，可考虑取特殊值：如特殊数、特殊点特殊位置、特殊图形，往往能起到意想不到的效果。

第 9题，求曲线方程：已知双曲线中心在原点且一个 焦点为F （ 7 ，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点， MN 中点的横坐标为 3

2

-

，则此双曲线的方程是 ：

（A ）1432

2=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）1522

2=-y x 。

特点：思维量小、运算大，“焦点为F （ 7，0）”条件有多余，干扰了考生的思维。

3、注重了与初中相关知识的考查

4、陈题出现频率较高

例．已知点(3,1)A ，(0,0)B

，(3,0)C 。 A 设 BAC ∠的平分线AE 与BC 相交E ， 那么有BC CE λ=，其中 λ ( )

A ．2

B ．1

2

C ．3-

D ．13

- B E C

考查初中平面几何中的“三角形内角平分线定理

例：设0b >，二次函数221y ax bx a =++-的图像为为下列之一：

则a 的值为 ( )

A ．1

B ．1

- C ．15-- D ．15

-+

此题考查纯初中二次函数知识

y y y y

-1 o 1 x -1 o 1 x o x o x

5、考查空间想象能力和分类讨论数学思想方法时，仍然以立体几何、排列、组合为载体设计中等难度试题

例：在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 （ ） 个。

方法1： 112

444192C C A ??=

方法2： 含0不含5：

342A ? 含5不含0：3

43A ? 含0且含5： 24C 222??? 不含0且不含5：44A

此题属于陈题翻新

例：（3卷9题）已知双曲线2

2

12

y x -=的焦点为，点M 在双曲线上且120MF MF =， 则

点M 到x 轴的距离 ( )

A ．43

B ．53

C

D

例：（3卷11题）不共面的四个定点到一个平面的距离都相等，这样的平面共有 （ ）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．7个

湖北卷12．以平行六面体ABCD A B C D ''''-的任意三个顶点 为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形。则这两个三 角形不共面的概率 p 为 ( ) A ．

367385

B ．376385

C ．192385

D ．18385

23

48

2561236756,1385

C C C =-=

例（2卷12题）：将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )

A 3263．2623+ C ．643+ D ．4326

3

此题是由1978年全国数学联赛题改编

6、体现了新课程标准的理念

北京14题：已知 n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=+++。 如果在一种算法中，计算 0(2,3,4,,)k x k n =的值需要1k -次乘法，计算

30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 0()n P x 的 30()P x 值共需要多少次运算

下面给出一种减少运算次数的算法：

()()()0011,(1,2,,1)k k k P x a P x xP x a k n ++==+=-

利用该算法，计算 ()30P x 的值共需要6次运算，计算 ()0n P x 的值共需要多少次运算。

例：计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= ( )

A ．6E

B ．72

C ．5F

D ．B0

辽宁卷7．在R 上定义运算 ?：(1)x y x y ?=-。若不等式()()1x a x a -?+<对任意实数x 成立，则 ( )

A ．11a -<<

B ．02a <<

C ．1322

a -<< D ．3122

a -<<

上海卷12．用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到 n !个不同的排列， 每个排列为一行改写成一个 n !行数阵。对于第i 行12,,,,i i in a a a 记

12323(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-，1,2,3,i n =!。例如：

用1,2,3可得数阵如右，由于此数阵中每一列各数之 和都是12，所以：1261221231224b b b +++=-+?-?=-， 那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12120b b b ++= 解：数阵中每一列各数之各都是：()1234524360++++?= 12120b b b ++=()360123451080?-+-+-=-

123

132213231312321

解：（1）乘法运算：()112212

n n n n n ++-+-+++=

种，加法运算：

n 种， 一共有：

()32

n n

+种

（2） ()()11k k k P x xP x a ++=+，

∴()1k P x +共 ()k P x +2次运算，又1022P P =+= 故 ()()2122n P x n n =+-?=

（五）值得商榷的几个问题

1、拟柱体体积问题是否有超纲嫌疑？

2、创新试题太少、三套试题互补性强、内容差异较大

但此题与1999年理科（10）题不同，如图：在多面体ABCDEF 中， 已知底面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，32

EF =

，EF

与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为：

()29.A ()5.B ()6.C ()2

15.D 。

说明：第2卷的14题：α若为第四象限的角

若sin313

,tan 2sin 5a a α== 。并不是要求记住三倍角公式。

例．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 ( )

A 3

B ．3

C ．43

D ．32

F

（六）、2004年与2005年解答题比较

2005．全国1卷17．设函数()sin(2)(0),()f x x y f x ?π?=+-<<=图像的一条对称轴是直线8

x π=。 （Ⅰ）求?；

（Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图像不相切。

全国3卷19．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为 ,,a b c ，已知 ,,a b c 成等比数列，且3

cos 4B =。

（Ⅰ）求cot cot A C

+的值；

（Ⅱ）设

32BA BC =

，求

a c

+的值。 1、三角：主要变化：2005年全国2卷（理科）没考三角大题（考了3道小题），三角与导数，三角与向量综合，难度没有超过04年

2004年全国（2）17题：已知锐角三角形ABC 中， ()()31

sin ,sin 55

A B A B +=-= （1）求证：tan 2tan A B = （2）设AB=3，求AB 边上的高

数列、极限、线型规划、函数等题数量不平衡，第1卷偏难，2、3相对容易。三套试题中只有第3卷的12题（16进制）。15题点线距离与概率统计的综合有点新意。15．设

l 为平面上过点(0,1)

的直线，l 的斜率等可能地取

-

，

，用 ξ表示坐标原点到l 的距离，则有随机变量 ξ的数学期望 E ξ=( )

没有考到的知识点太多，比如第三套卷就没考集合的运算、简易逻辑、反函数、充要条件、不等式的证明、数学归纳法、圆、线性规划等。

2、应用题、概率统计题

求概率分布和期望与生产实际密切相关、自然、没有明显的人造痕迹 例1： 9粒种子种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽率为0.5。若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用 ξ表示补种费用，写出 ξ的分布列并求 ξ的数学期望。（精确到0.01）

湖南卷16．已知在△ABC 中，sin (sin cos )sin 0,sin cos20A B B C B C +-=+=。求角A 、B 、C 的大小。

湖北卷18．在△ABC 中，已知

AB=36

B A

C =

边上的中线BD =求 sin A

的值。

普遍反映湖南卷16较难，主要原因是先求出4

A π=角之后，应再求 B

∠

3、导数应用：求单调区间、求最大最小值

例2：．甲、乙两队进行一场排球比赛。根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束。设各局比赛相互间

没有影响。令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望。（精确到0.0001）

例3： 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125

（Ⅰ）求甲、乙丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。（类似湖南04年卷）

因为单个坑内3棵种子都不发芽的概率为()3

1

10.58

-=，所以单个坑不需补种的概率为：

17188

-= 3个坑都不需补种的概率为：0

3

031788C ??

???? ?

???

?? 恰有1个坑需补种的概率为：12

131788C ?????? ? ???

?? 恰有2个坑需补种的概率为：21

23

1788C ?????? ? ???

??

3个坑都需要补种的概率为：3

33

1788C ?????? ? ???

??

例：2005年全国2卷22题．已知 0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-。 （Ⅰ）当x 为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求 a 的取值范围。

分析：（Ⅰ）()()()220x

f x x ax e a =-≥

()()()()/2222202220x x f x x a e x ax e x a x a =-+-=?+--=

1x a =-±

易知，当1x a =-()f x 取得最小值。

（Ⅱ）

3

114a a -≥?≥

那么，当1n k =+时，若正数1

1232,,,,k p p p p +满足1

12321k p p p p +++++=，令

x =1232k

p p p p ++++ 令：12

2122,,k k p p p q q q x x x

=== 显然 1221k q q q ++=

由归纳假设得：121222323222log log log log k

k

q q q q q q q q k ++++≥-

121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++=

x (121222323222

2log log log log log k k q q q q q q q q x +++++)()2log x k x x

≥-+

即121222323222log log log log k

k

p p p p p p p p ++++()2log x k x x ≥-+

同理：由1

212221k

k

k p p p x ++++++=-可得：

112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++()()()()211log 1x k x x ≥--+--

所以：

()

11121222323222log log log log 1k k q q q q q q q q k ++++++≥-+

例：2005年全国1卷22题．（1）设函数

22()log (1)log (1)(01)f x x x x x x =+--<<，求 ()f x 的最小值；

（2）设正数1232,,,,n

p p p p 满足12321n

p p p p ++++=，证明

121222323222log log log log n n p p p p p p p p n ++++≥-

（1）()()'

221

log log 102f x x x x =--=?=

，易证：()min

112f x f ??

=

=- ???

（2）用数学归纳法：只证明k 到k+1

假设当n=k 时命题成立，即正数1232,,,,k

p p p p 满足12321k

p p p p ++++=，则

121222323222log log log log k k p p p p p p p p k ++++≥-

2卷：如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）设AB ，

求AC 与平面AEF 所成的角的大小.

4、立体几何：点面距离、二面角，线面垂直、线线垂直、体积等。 1卷： 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角 梯形，AB ∥CD ，∠DAB=90o，PA ⊥底面

ABCD ，且1

12

PA AD DC AB ====，M 是 PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

P

B

D C

（五）解析几何与向量综合题

2卷21题． P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2

2

12

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的

焦点。已知 PF 与 FQ 共线，MF 与 F N 共线，且0PF MF =。求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

由弦长和面积公式：2

422

4222122144125252MPNQ k k k k S k k k k ++++==++??

++ ???

3卷：如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 。 （Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ；

（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小。

以上3题的最后一问都可以归纳为同一种方法：即过一点作平面的垂线问题。

2卷21题． P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2

2

12

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的

焦点。已知 PF 与 FQ 共线，MF 与 F N 共线，且0PF MF =。求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

由弦长和面积公式：24224222122144125252MPNQ k k k k S k k k k ++

++==++??

++ ???

2005年1卷21题．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在 x 轴上。斜率为1且

过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，

OA OB +与(3,1)a =-共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22

λμ+为定值。 （Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆的方程为：222

33x y b +=

由M 在椭圆上得：22λμ+=1

()()()()1122121

,,,,OM x y x y x y x y x x x y y λμλμλ=?=+=+?∴?

=?

（六）对2005年全国卷的总体看法

全国数学文理科试卷难度与2004年全国相比，基本持平，第1卷稍难，2、3偏易；横向与其他学科相比，数学还应降低难度，提高区分度。试题贴近学生，符合大纲，有助于一线教师把握方向。主要特点：

第一，注重基础知识、基本技能的考查； 第二，淡化技巧，没有偏题；

第三，体现大纲在知识交汇处命题的要求

第四，加强数学应用意识的考查，且对应用题的考查趋 于规范；

3卷21题． 设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线。

（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线

l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线

l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。 分析：（Ⅰ）,F l FA FB A B ∈?=?两点到抛物线的准线距离相等

()()22121212121200y y x x x x x x x x ?=?==-+=?+=

（Ⅱ）121:2;:,2

AB l y x b l y x m x x =+=-+∴满足方程：2121120,24x x m x x +-=∴+=- 1

1804

32m m ?=+>?>-

又AB 的中点在l 上，1

1916432m b b ∴+=-+?>

第五，重视教材中与新课程标准相同内容的考查。如对向量、导数、概率的考查；

第六，高中数学的核心内容在试卷中处处可见；

第七，试卷对运算能力有较高要求，要求学生能够根据各种情况进行合理的估算和计算，

这也是数学科目难度系数较低的原因。

第八，重视数学思想方法的考查。

二、二00六年高考数学复习备考建议

应当明白的几个问题：

（一）高考究竟考什么？

（二）高考在考查知识的同时，侧重考查能力，高考要考查哪些能力？

（三）考考查知识、考查能力，在命题时表理出来的特点（四）高考复习抓什么？

1. 要认真研读《考试说明》和教科书

2. 查缺补漏、加强复习的针对性，强化薄弱环节

3. 收集、积累、整理、分析、纠正错误

（五）高考数学总复习需掌握的四个基本原则

1、学习考纲看要求

2、钻研课本找标准

3、研究考题看形势

４、推敲评价找方向