不定积分-定积分复习题及答案
（A ） F ( x ) = ? ；（B ） F ( x ) = ? ? -e - x + c , x < 0 ? -e - x + c + 2, x < 0
3、设 f ( x ) = ?0, x = 0 , F ( x ) = ? f (t )dt ，则（
）
? -1, x < 0 ? t sin tdt
? t
2dt
2
上海第二工业大学
不定积分、定积分
测验试卷
姓名：
学号：
班级：
成绩：
一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分）
1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ?
x a
dx 应等于（ ）
（A ） sin ax sin ax sin ax sin ax
+ C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + C
a 3 x a 2 x ax x
2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （
）
?e x + c , x ≥ 0 ?e x + c , x ≥ 0
1 2
?e x , x ≥ 0 ?e x , x ≥ 0
（C ） F ( x ) = ? ；（D ） F ( x ) = ?
? -e - x + 2, x < 0 ? -e - x , x < 0
?1, x > 0 ? x
；
?
（A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续；
（B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导；
（C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ；
（D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。
4、极限 lim x →0
x 0
x
＝（ ）
（A ）－1；
（B ）0； （C ）1；
（D ）2
5、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。令 s = ? 1
b
a
f ( x )dx ， s = f (b )(b - a )
2
1
s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ）
3
（A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s
1 2
3
2
1
3
3
1
2
2
3
1
二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）
4、函数F(x)=?
3、设x≥1，求?(1-t)dt，求?f(x-2)dx
,0
?6、计算?
?
（（
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：不等式?
2?f(x)dx。
1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是___________。
2、设?2f(x)dx=1,f(2)=2，则?1xf'(2x)dx=_____________。
00
3、已知f'(e x)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=_________________。
x 1(2-
1
)dt(x>0)的单调减少区间为________________。
t
5、由曲线y=x2与y=x所围平面图形的面积为___________。
三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）
(1+x)2
1、计算?dx
x(1+x2)
x
-12、计算?x tan2xdx
?1+x2x≤
4、设f(x)=?
?e-x,x>0
3
1
5、1
0ln(1+x)
(2-x)2
dx+∞
1
1
x x-1
dx
7、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l,l分别是曲线C在点
12
(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分?3(x2+x)f'''(x)dx。
四、解答题（本题10分）
设f(x)连续，(x)=
?1
0f(x t)dt，且lim
x→0
f(x)
x=A（A为常数），求?'(x)，并讨论?'(x)
在x=0处的连续性。
五、应用题（本题6分）
设曲线方程为y=e-x(x≥0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围平
面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。1）旋转体体积V(ξ)；2）求满足V(a)=的a值。
六、证明题（6分）1
lim V(ξ) 2ξ→+∞
b a xf(x)dx≥a+b b
a
1、一个导函数是f'(x)=4e-2x。
2、?
3、f(x)=1
(ln x)2。
1、解：?dx=?(+
当-1≤x<0时，原式=?(1+t)dt=
当x≥0时，原式=?(1+t)dt+?(1-t)dt=1-(1-x)2。
4、解：?f(x-2)dx===?1f(t)dt=?0(1+t2)dt+?1e-t d t=
5、解：?dx=?1l n(1+x)d()=ln(1+x)
0(2-x)2-x2-x
01-?
0(1+x)(2-x)
=ln2-?(1
+
1
)dx=
1
ln2。
不定积分、定积分测验卷答案
一．选择题：（每小格3分，共30分）
1、（A）sin ax
a3x+C；
?e x,x≥0
2、（C）F(x)=?
?-e-x+2,x<0
；
3、（B）F(x)在(-∞,+∞)内连续，在x=0点不可导；
4、（C）1；
5、（B）s 213二、填空题：（每小格3分，共30分） 1 0xf'(2x)dx=3 4。 1 24、单调减少区间为(0, 4 )。5、1 3。 三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分） (1+x)212 x(1+x2)x1+x2 )dx=ln x+2arctan x+c 2、解：?x tan2xdx=?x(sec2x-1)dx=?xd tan x-?xdx=x tan x-?tan xdx- x2 =x tan x+ln cos x-+c 2x2 2 ?1+t,-1≤t<0 3、解：被积函数f(t)=? ?1-t,0≤t<+∞ ， x -11 2 (1+x)2； 0x 1 -102 3 1x-2=t -1-10 71 -。 3e 1 ln(1+x)11 2 1 1 302-x1+x30 1 1dx ? dx = ? 2 dx + ? +∞ 1 dx ==== ? 2 x x - 1 (t 2 + 1)t 2 1 x -1=t 2 2 dx = ? +∞ = 2( - ) ； ? ? f ( x t )dt = ? 1 f (u ) 所以 ? ( x ) = ? 6、解：因为 lim f ( x ) = ∞ ，所以 x = 1 为瑕点，因此该广义积分为混合型的。 x →1+ +∞ 1 1 1 1 x x - 1 1 x x - 1 2 x x - 1 dx = I + I 1 2 I = ? 2 1 1 2tdt π = 2arctan x 1 = I = ? +∞ 2 1 2tdt x x - 1 1 (1+ t 2 )t == 2arctan x +∞ 1 π π 2 4 所以 +∞ 1 1 x x - 1 dx = I + I = π 。 1 2 7、解：按题意，直接可知f (0) = 0, f (3) = 0, f ''(3) = 0 （拐点的必要条件）。从图中还可求 出 y = f ( x ) 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线分别为 y = 2 x , y = -2 x + 8 。于是 f '(0) = 2, f '(3) = -2 。所以 ? 3 0 ( x 2 + x ) f '''( x )dx = ? 3 ( x 2 + x )df ''( x ) = ( x 2 + x ) f ''( x ) 3 - ? 3 f ''( x )(2 x + 1)dx = -? 3 (2 x + 1)df '( x ) = -(2 x + 1) f '( x ) 3 + 2? 3 f '( x )dx = -7 f '(3) + f '(0) + 2 f ( x ) = -7 ? (-2) + 2 + 2 ? (2 - 0) = 20 。 四、解答题（本题 10 分） 3 0 解：因为 lim x →0 f ( x ) x = A ，故 lim f ( x ) = 0 ，而已知 f ( x ) 连续， lim f ( x ) = f (0) = 0 ； x →0 x →0 由于 ? ( x ) = ? 1 0 f ( x t )dt ，令 u = xt ，当 t : 0 → 1 时，有 u : 0 → x ， du = xdt ； 当 x ≠ 0 时，有 ? ( x ) = 当 x = 0 时，有 ? (0) = ? 1 x 1 ? ? x f (u )du ? 0 x ? ?0, , x ≠ 0 。 x = 0 x →0 x →0 , x ≠ 0 ? ? 所以 ? '( x ) = ? 。 ?? 2 , 解：（1）V (ξ ) = ? π y 2dx = ? π (e - x )2 dx = 2 ? f (t )dt 即 ? ? f ( x )dx ≥ 0 ，所以有 ? b xf ( x )dx ≥ a + b ? b f ( x )dx 。 a a 当 x ≠ 0 时，有? '( x ) = xf ( x ) - ? 0x f (u )du x 2 ； 当 x = 0 时， lim x →0 ?( x ) - ?(0) x - 0 = lim ?( x ) x = lim x →0 ? x 0 f (u )du x 2 = lim f ( x ) A = ； 2 x 2 ? xf ( x ) - ? x f (u )du 0 x 2 ? A x = 0 又因为 lim ?'( x ) = lim x →0 x →0 xf ( x ) - ? x f (u )du 0 x 2 f ( x ) ? x f (u )du = lim( - x →0 x x 2 A A ) = A - = ， 2 2 所以 lim ?'( x ) = ?'(0) = x →0 A 2 ，即 ? '( x ) 在 x = 0 处连续。 五、应用题（本题 6 分） ξ ξ π 2 (1- e -2ξ ) ； （2）V (a ) = π 2 (1- e -2a ) ，于是V (a ) = 1 1 π π lim V (ξ ) = ? lim (1- e -2ξ ) = ； 2 ξ →+∞ 2 ξ →+∞ 2 4 π 1 π 1 故 (1- e -2a ) = lim V (ξ ) = ? a = ln 2 。 2 2 ξ →+∞ 4 2 六、证明题（6 分） 证：设 F ( x ) = ? x tf (t )dt - a a + x x a x ∈[a , b ] 因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，所以 F '( x ) = xf ( x ) - 1 ? x f (t )dt - a + x f ( x ) = x + a f ( x ) - 1 ? x f (t )dt = 1 ? x [ f ( x ) - f (t )]dt 2 a 2 2 2 a 2 a 因为 f ( x ) 在 [a , b ] 单调增加， 0 ≤ t ≤ x , f (t ) ≤ f ( x ) ? f ( x ) - f (t ) ≥ 0 ，所以 F '( x ) ≥ 0 ； 所以 F ( x ) 在 [a , b ] 单调增加；又 F (a ) = 0, 所以 F (b ) ≥ F (a ) = 0 ， b a xf ( x )dx - a + b b 2 2 a