黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质
思 考 题
1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率
[解答]
金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目
1/)(+=-T k E E B F e g n ,
g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数
11)(/)(+=-T k E E B F e E f
是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.
2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量
[解答]
晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数
11/-=T k i B i e n ω .
从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.
3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的
[解答]
自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.
4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化
[解答]
费密能级
3
/222
0)3(2πn m E F
=,
其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.
5.为什么温度升高, 费密能反而降低
[解答]
当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.
6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大
[解答]
由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.
价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式
3/120)3(πn k F =
可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :
()3/22
2
32πn m E F =,
()3
/22
2
0310353πn m E E F ==.
所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.
7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系
[解答]
对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.
对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式
)(00ε???+
=v τe E f f f
可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε???v τe E f
部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态
能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式
x k S x x E S v e j F ετπ?=?d 422
2
和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ?=?d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电
子.
总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.
8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗
[解答]
电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.
9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么
[解答]
两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的
能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未
达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2
T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.
10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化
[解答]
如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .
上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.
11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高
[解答]
电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径
3/12)3(πn k F =.
可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.
12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系
[解答]
设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.
若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为
由于F k k k ==', 所以
F F k q k q 222sin
==θ.
在常温下, 由于q < 由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5 T 成正比, 2T 之差是何原因 [解答] 按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=. 而声子的浓度 ??-=-=m B m B T k p T k c e v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 , 作变量变换 T k x B ω = , 得到甚低温下 333232T v Ak n p B π= , 其中 ?∞-=021d x e x x A . 可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量 的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平 均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方 28622 0/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =?? ???? ??????--=??ωωωωωωωω , 其中 ??∞∞ --=02031d 1d x x e x x e x x B 。 14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系 [解答] 霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的. 设金属的长度方向为x 轴, 电场ε沿x 方向, 磁场B 沿z 轴方向, 金属的宽度方向为y 轴方向. 在此情况下, 运动的电子将受到洛伦兹力 )(B v F ?-=e 的作用. 该作用力指向负y 方向, 使电子在运动过程中向负y 方向偏转, 致使负y 侧面的电子浓度增大, 正y 侧面的电子浓度减小. 其结果, 如下图所示, 使得导体的宽度方向产生了一个附加电场y ε, 即霍耳电场. 15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴 [解答] 由可以看出, 电子导电材料的霍耳系数是一负值. 通过实验测定出材料的霍耳系数, 若霍耳系数是负值, 则可断定载流子是电子, 若霍耳系数是正值, 则可断定载流子是空穴. 16.磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大 为什么 [解答] 磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下, 由于产生了附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁场对电子分布函数的影响要弱得多. 17.为什么在开路状态下, 传导电子能传输热流 [解答] 在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 说明单位时间内由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子数, 等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子数. 但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能, 高于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能. 也就是说, 尽管在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域. 18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么 [解答] 以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是 x x j σε=. 可见, 电场强度x ε一定, 电导σ大, 电流密度x j 就大. 电导σ成为金属通流能力的量度. 热导系数与热能流密度的关系是 x T k q x d d -=. 可见, 温度梯度一定, 热导系数k 大, 热能流密度x q 就大. 热导系数k 成为金属传输热能流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大. 另外, 由可知, 金属的热导系数 ???? ??==*2222*2233m ne e T k m T n k k F B F B τπτπ. 对于立方晶系金属来说 στ=???? ??*2m ne F . 可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大. 1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级 2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。 (2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ??? § 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd) 体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。 第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b , 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 第一章 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为() 3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为() 2/3/43 R ,单位体积 晶体中的原子数为() 3 3 /4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为 () 3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为() 4/2 /43 R , 单位体积晶体 中的原子数为() 3 2 /4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 2/323 ???? ? ?=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2 a 的晶体为何种结构? 若 =3a () k j +2 a +i 2 3a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2 a ()k j i -+ . w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若 1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4） 山东大学试题专用纸 物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名: 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分) 1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交. 2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分) 设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分) 对于晶格常数为a 的SC 晶体 1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带. 2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽. 3.当电子的波矢k =a πi +a π j 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交) 答案： 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族 的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数 目为( 3 3R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子. 二. (25分) 1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、 等份， 即 a =?n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =?n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =?n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld . 于是有 n =a d h i +a d k j +a d l k =a d (h i +k j +l k ). (1) 其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列 []hkl 的方向矢量为 =R ha i +ka j +la k =a (h i +k j +l k ). (2) 由(1)、（2）两式得 n =2a d R , 即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交. 2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距 22222222l k h a a l a k a h d hkl hkl ++= ++==k j i K πππππ 三. (25分) 1. 《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k) 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 Q02_02_001 ? Ц ?? ? ?? ? ???? ? ? 喚???? ??? ? ????ρ??喌 ?? ? ? 喌?ν? ?? ?喌??? ?? ?? π???щ?? ? ? ?ρ ? 喌 ? ?? ?喛 Ц ? 喚??? ????? 喌 ?? Ц?喛 ? ? 喚? ? ?? ? ? ? 喌 ? ? ? ? 喌 ε 喈Ц喉? ? ???? ?Ц? ? ??? π??? ?? ?喌? π ?? ???喌??? ? π ?倇喌 ??ρ??? ?? ?喌??? ? ? ???? ? ?? ? 喚 ? ?? ?8?喌 ? ??? ?? ?? ?? ?ν????? ?? ?? ? ? ?喌? щ? ?? ??? ? ???? ??ρ???? ??Q02_03_001?? 喟 ???? ? ?? ? ?? ?? 喌?? 喌 ?? Д? ?喌 Д?? 喌? Д??? Q02_03_002?? ?℃?? ? 喟 ク??テ? ? ?? Д????? ∑ В? ∑喌 ? ?? ?????喌 1??∑ 2?????∑? ?テ? ? ?? ??喚3 4)(1512)/(D D V T R T C 4 4S ā?? ?3? ?℃?? ?喌 ?? 喌? ? ? 喌 ?∑ ∑?? ????Q02_03_003?? ?℃??? ? 喟 ク??テ? ? ?? ν N ? ? ?喌 ?? ? Д? ???Z 0 ??テ? ? ? ?倇 喚āā? ?喍? ??? B V Nk C 3#? ? ? 喚T k B B V B e T k Nk C 0 20)(3Z Z == āā ? ? ??喌? 侻? ?さ?3 AT C V ? ? ?ε ∑??? ? Q02_04_001 ? ??ク?? ? ? ???? ? 喛 第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11 )(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11 /-=T k i B i e n ωη. 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3/2220)3(2πn m E F η=, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答] 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3 x 表示钢球所占体积与总体积之比，如果将等体积球分别排列成下列结构，设 x简单立方π / 6 ≈体心立方 3π / 8 证明结构≈面心立方 2π / 6 ≈六方密排 2π / 6 ≈金刚石 3π /16 ≈ r a r 的关系根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数与解：设钢球半径为，a r不同，分别为：简单立方：= 2 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 aπ/ 4的面心立方的基矢，说明体心立方晶与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 aπ4的体心立方晶格的基矢。而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为 ABC 交于基矢的密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面证明：根据定义，截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 hkld 满足, 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(), 的晶面系，面间距 a 为立方边长。其中 解：根据倒格子的特点，倒格子 hkl)(与晶面族,, 的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立。，写出最近邻和次近邻的原子间距a 方边长为 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 a ；，次近邻原子间距为6次近邻原子数为 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 a 。，次近邻原子间距为次近邻原子数为6α = 2ln 2 证明两种一价离子组成 的一维晶格的马德隆常数为 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈体心立方3π/ 8 ≈面心立方2π/ 6 ≈六方密排2π/ 6 ≈金刚石3π/16 ≈ 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α= 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x =1时，有 所以α= 2ln 2 黄昆版固体物理学课后答 案解析答案 Prepared on 24 November 2020 《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3= ?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083 )r 3 34(r 34 2a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2a 2 33 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 2 33 C S ==? =? n=1232 126 112+?+?=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ? =+?? ?=+?? 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π = ?Ω 3 1230, ,22 (),0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??= =，2 23,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++ 同理可得：232()2() b i j k a b i j k a π π= -+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 33 33=π =π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 126 112+?+?=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3=??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++?? ?=-+?? ?=+-?? r r r r r r r r r r r r固体物理课后答案
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