矩阵论在电路中的应用

矩阵论在电路分析中的应用

随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。

对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。

在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图，

每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL

我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出

（b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我

们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电

流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。

一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1

1.关联矩阵

在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为：

⎪⎩⎪⎨⎧-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i

i j i i j a ij 0 1 1

图1中电路图的关联矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 0 1- 0 1- 1- 0

0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A

2. 基本回路矩阵

在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为：

⎪⎩

⎪⎨⎧-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵

在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选

定一组连枝，在额外增加一个树枝的时候，就会形成一个基本割集。选取基本割集的方向与它所关联的树枝方向一致，矩阵f Q 的元素为

⎪⎩

⎪⎨⎧-+=个基本割集无关联条支路与第第向相反支路方向与基本割集方个基本割集相关联，且条支路与第第向相同支路方向与基本割集方个基本割集相关联，且条支路与第第i j i j i j q ij 0 1 1 图1中电路图的基本割集矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0 1- 0 0 1 0 0 01- 1 1- 0 0 0 0 00 0 1 1- 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1f Q

二. 利用三种矩阵求解电路问题

1. 关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵之间的一般关系

根据KVL 和KCL 定律，有

0 00⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==T f f T f f T f T f Q B B Q A B AB （1）

由于基本割集矩阵和基本回路矩阵具有特殊的形式，可以将他们写成如下形式

[][]l t f l t f Q Q B B 1 1 == （2）

联系式子（1）中的关系可以得到

[]l t T t l T t t l T t l t T f

A A

B A B A B A A AB 101 --==+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

故 []l T l t f A A B 1)(1--=

同理可以得到 []

[]A A A A A A A Q l l t t l t t f 111 1---===

2. 电路的一般支路中变量的关系 图 2

电路中的一般支路可表示如图2，其中bk bk i u ,分别表示第k

条支路的电压和电流，sk sk i u ,分别表示该支路中的电压源和电流源。

经过拉普拉斯变换后电路图如图3，)()(,s bk s bk i u 分别表示支路电压、

电流的象函数，)()(,s sk s sk i u 则为电压源和电流源的象函数。

根据KCL 和KVL 定律，

图3 0 0 0===b f b f b u B i Q Ai

（3） 得到，在复频域中 )()()()()( )

()]()()[()(s U s I s Z s I s Z s U s I s I s Z s U sk sk k bk k sk sk bk k bk -+=-+=

（4） 将上式改写成欧姆定律方程，并写成矩阵形式，可得

)()()()()()(s U s I s Z s I s Z s U s s b b b b -+=

（5） 式子中b Z 为无源元件的阻抗矩阵，其具有以下形式 ⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p p b D sL s Z s 1

0 00 R 00 0

)(p

（6）

3. 利用矩阵求解实际电路