新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题)
基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*
,R b a ∈，则22??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
热身题：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋
12x 2 （2）y ＝x ＋1x
解题技巧
技巧一：凑项
1/ 已知54x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数
2、： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3、：设2
30<
技巧三： 分离 技巧四：换元 4、：求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。 5、：求函数224y x =+的值域。 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 6、例：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 比较难的解不等式的例题 技巧七 例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 2 2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤ a 2＋ b 22 。 同时还应化简 1＋y 2 中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 2 2 ＝ 2 x · 12 ＋y 2 2 下面将x ，12 ＋y 2 2 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 34 2 技巧八： 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数 题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝ －2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8