江西省都昌一中2019-2020年下学期高二期中考试线上(课科)数学试卷(含答案与解析)

2019-2020学年下学期高二期中考试数学试卷 理 科 数 学 注意事项： 1. 因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，答题后请拍照上传。 2．答题前，考试务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上 3．作答时，请将答案写在答题卡上指定位置，写在本卷上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共19小题，每小题5分，共95分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．设1i

2i 1i z -=++，则||z =（ ）

A ．0

B ．1

2 C ．1 D ．2

2．已知函数()ln f x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（ ）

A ．4π

B ．34π

C ．3π

D ．23π

3．利用反证法证明：若0x y +=，则0x y ==，假设为（ ）

A ．,x y 都不为0

B ．,x y 不都为0

C ．,x y 都不为0，且x y ≠

D ．,x y 至少有一个为0

4．已知i 是虚数单位，则20201i 1

()1i i ++=-（ ）

A ．i -1

B ．i +1

C ．i

D ．2i

5．甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班，每人一天，若甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三，则不同的排法有（ ）

A ．10种

B ．11种

C ．14种

D ．16种

6．已知2m a a =--，13n a a =---，其中3a ≥，则,m n 的大小关系为（ ） A ．m n > B ．m n = C ．m n < D ．大小不确定

7．已知直线21y x =-+是曲线21

3ln 2y x x m =-+的一条切线，则实数m 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．21

- D ．23

-

8．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．64种 9．函数()2ln x f x x x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．二项式812x x ??+ ???的展开式中，常数项等于（ ） A ．448 B ．900 C ．1120 D ．1792 11．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,3)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18 B ．[]2,18 C ．(][),218,-∞+∞U D ．[)2,18 12．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”，根据图形的构成，此数列的第2020项与5的差，即20205a -=（ ） A ．20192018? B ．20172018? C ．20181013? D ．20191013? 13．若6260126(2)x a a x a x a x -=++++L ，则1236a a a a +++???+等于（ ） A ．－4 B ．4 C ．－64 D ．－63 14．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．60种 15．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()f x f x '<恒成立，则（ ）

A ．()()202002020e f f >

B ．()()20192020f ef <

C ．()()202002020e f f <

D ．()()20192020ef f > 16．已知1e x =是函数()(ln 1)f x x ax =+的极值点，则实数a 的值为（ ）

— 高二期中线考理课数学 — 第3页（共6页）

— 高二期中线考理课数学 — 第4页（共6页）

A ．21

e B ．1

e C ．1 D ．e

17．在n

x x ?- ???的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）

A ．-126

B ．-70

C ．-56

D ．-28

18．已知复数(,)z x yi x y =+∈R ，且|2|3z -=，则1

y x +的最大值为（ ）

A ．3

B ．6

C ．26+

D ．26-

19．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有2()6()f x x f x =--，当(,0)x ∈-∞时，2()112f x x '+<，若221

(2)(2)1192f m f m m m +≤-++-，则实数m 的取值范

围是（ ）

A ．2,3??-+∞????

B ．1,2??

-+∞???? C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

20．函数()ln f x x x =-的极大值是______．

21．若的展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为________．

22．设函数()3

23ax

f x bx =-21

3a x +-在1x =处取得极值为0，则a b +=__________．

23．已知函数1

()ln f x x a x x =-+，存在不相等的常数,m n ，使得()()0f m f n ''==，且

10,m e ??

∈ ???，则()()f m f n -的最小值为____________．

三、解答题：本题共3个题，24题10分，25题12分，26题13分，共35分．

24．（10分）已知函数()()31

13()f x x ax a f x '=-+∈R ，是()f x 的导函数，且()20f '=．

（1）求a 的值； （2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最值． 25．（12分）（1）已知,x y 为正实数，用分析法证明：2223x y x y x y +≤++． （2）若,,a b c 均为实数，且2123a x y =-+，223b y z =-+，2126c z x =-+，用反证法证明：c b a ,,中至少有一个大于0．

26．（13分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，a ∈R ．

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1x ≥时，ln ()1

x f x x ≤

+恒成立，求实数a 的取值范围．

理科数学 答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共19小题，每小题5分，共95分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．【答案】C 【解析】()()

()()1i 1i 1i

2i 2i i 2i i 1i 1i 1i z ---=+=+=-+=+-+，则1z =，故选C ．

2．【答案】A

【解析】函数()ln f x x =的导数为()1

f x x '=，

可得()y f x =在1x =处的切线的斜率为1k =，

即tan 1α=，α为倾斜角，可得4π

α=，故选A ．

3．【答案】B

【解析】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，故选B ．

4．【答案】A

【解析】由题意可得2020

202011

11i i i i i i +??

+=-=- ?-??，故选A ．

5．【答案】B

【解析】当乙在周一时有：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丙甲丁，乙丁甲丙；

当丙在周一时有：丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；

当丁在周一时有：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲．

所以共11种，故选B ．

6．【答案】C

【解析】

0m n -=-=<，

所以 m n <，故选C ．

7．【答案】D 【解析】曲线21

3ln 0)2(y x x m x =-+>的导数为3

y x x '=-，

由题意直线21y x =-+是曲线21

3ln 2y x x m =-+的一条切线，可知3

2x x -=-，

所以1x =，所以切点坐标为11,2m ??+ ???，切点在直线上， 所以1212m +=-+，即32m =-，故选D ． 8．【答案】C 【解析】222122322322C A A C A A 24+=，故选C ． 9．【答案】A 【解析】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D ， 当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1x x f x x '=+-， 令()0f x '<，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减； 令()0f x '>，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B ，故选A ． 10．【答案】C 【解析】该二项展开式通项为8882881C (2)2C r r r r r r x x x ---??= ???， 令820r -=，则4r =，常数项等于448C 02112=，故选C ． 11．【答案】A 【解析】∵()2a f x x x '=-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20a x x -=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点，∴182<

故选A ． 12．【答案】D 【解析】由已知可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： 1n =时，1123(23)22a =+=?+?； 2n =时，21234(24)32a =++=?+?； ? 由此可以推断： 123(2)[2(2)](1)2n a n n n =++++=++?+L ；

— 高二期中线考理课数学 — 第3页（共8页）

— 高二期中线考理课数学 — 第4页（共8页） 20201

5[2(20202)](20201)5101320192a ∴-=?++?+-=?．

故选D ．

13．【答案】D

【解析】因为626

0126(2)x a a x a x a x -=++++L ，

令0x =，得60126(210)000a a a a -?=+?+?+???+?，即064a =，

再令1x =，可得1236641a a a a +++++=L ，123663a a a a ∴++++=-L ，

故选D ．

14．【答案】B

【解析】根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论：

①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有4

4A 24=种不同的排法；

②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上， 此时共有3

33A 18=种不同的排法，

由分类计数原理，可得共有241842+=种不同的排法，故选B ．

15．【答案】C

【解析】构造函数()()x f x g x e =，则()()()

x f x f x g x e '-'=，

()()f x f x '，

所以，函数()y g x =在R 上为增函数．

则()()02020g g <，即()()

202020200f f e <，所以，()()202002020e f f <；

()()20202019g g >，即()

()2020201920202019f f e e >，所以，()()20192020ef f <，

故选C ．

16．【答案】B

【解析】()()'ln 112ln f x ax ax =++=+， 因为1

x e =是函数()()ln 1f x x ax =+的极值点，则12ln 0a

f e e ??'=+= ???， 所以ln 2a

e =-，解得1

a e =，则实数a 的值为1

e ，

故选B ． 17．【答案】C 【解析】Q 只有第5项的二项式系数最大， 8n ∴=

，8(x

的展开式的通项为()3882188C ((1)C 0,1,2,,8k k k k k k k T x x k --+==-=L ， ∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等， 偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数， 而展开式中第5项的二项式系数最大， 因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，系数为()3381C 56-=-． 故选C ． 18．【答案】C 【解析】∵复数(,)z x yi x y =+∈R

，且2z -=

=()2223x y -+=． 设圆的切线:1l y kx =-

= 化为2420k k --=

，解得2k =， ∴1y x +

的最大值为2+，故选C ． 19．【答案】A 【解析】因为()()26f x x f x =--，所以()()()()22113322f x x x f x x x ??-+=----+-????， 记()()2132g x f x x x =-+，则()()g x g x =--， 所以()g x 为奇函数，且()()1'62g x f x x '=-+， 又因为当(),0x ∈-∞时，()2112f x x +'<，即()1602f x x +'-<， 所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又因为()g x 为奇函数，所以()g x 在R 上单调递减， 若()()221221192f m f m m m +≤-++-，

则()()()()()()221

1

2322232222f m m m f m m m +-+++≤---+-，

即()()22g m g m +≤-，所以22m m +≥-，所以2

3m ≥-．

故选A ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

20．【答案】1-

【解析】()ln f x x x =-Q ，()1

1f x x '∴=-，

令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，

故()f x 在1x =处取得极大值，极大值为()1ln111f =-=-，故答案为1-．

21．【答案】-20

【解析】由于的展开式的二项式系数之和为，可得，

所以的展开通项为，令，解得． 因此，展开式的常数项为，故答案为．

22．【答案】7

9-

【解析】22()2f x ax bx a '=-+，因为函数)(x f y =在1=x 处取得极值为0，

所以21(1)033a f b a =-+-=，2

(1)20f a b a =-+='，

解得1a b ==或23a =-，1

9b =-，

代入检验1a b ==时，22()21(1)0f x x x x =-+=-≥'无极值，所以1a b ==（舍）； 2

3a =-，19b =-符合题意，所7

9a b +=-．

23．【答案】4

e

【解析】因为1

()ln f x x a x x =-+的定义域为()0,+∞，

22211

()1a x ax f x x x x ++'=++=，

令()0f x '=，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞， 因为存在,m n ，使得()()0f m f n ''==，且10,m e ??∈ ???， 即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根,m n ，且m n a +=-，1m n ?=， 所以1n m =，1a m m =--， 1111ln ln 1()()m m m m m m m f m f n m m m ????---+--- ? ?????∴-=-+ 11l 2n m m m m m ????---+ ???????=， 令()112ln h x x x x x x ????=--+- ???????， 则()()()22211121ln ln x x h x x x x x -+??'=-= ???，当10,x e ??∈ ???时，()0h x '<恒成立， 所以()h x 在10,x e ??∈ ???上单调递减，()min 14h x h e e ??∴== ???，即()()f m f n -的最小值为4e ．

故答案为4e ． 三、解答题：本题共3个题，24题10分，25题12分，26题13分，共35分． 24．【答案】（1）4；（2）函数()f x 在[]3,3-区间上的最大值为319，最小值为133-． 【解析】（1）()31 1()3f x x ax x =-+∈R Q ，()2 f x x a '∴=-， ()2 40f a '=-=Q ，4a ∴=． （2）由（1）可得()31413f x x x =-+，()24f x x '=-， 令()240f x x '=-=，解得2x =±，列出表格如下： x (,2)-∞- 2- ()2,2- 2 (2,)+∞ ()f x ' + 0 - 0 + ()f x Z 极大值193 ] 极小值133- Z

— 高二期中线考理课数学 — 第7页（共8页）

— 高二期中线考理课数学 — 第8页（共8页）

又()19

343f -=

323f =->-，

所以函数()f x 在[]3,3-区间上的最大值为319，最小值为13

3-．

25．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）证：因为x ，y 为正实数，要证2

223x y

x y x y +≤++， 只要证(2)(2)2(2)(2)3x x y y x y x y x y +++≤++，

即证2231232(2)(2)x xy y x y x y ++≤++，

即证2220x xy y -+≥，

即证2()0x y -≥，显然成立，所以原不等式成立．

（2）证明：假设,,a b c 都小于等于0，则0a b c ++≤， 又由21

23a x y =-+，223b y z =-+，21

26c z x =-+， 得2221

1

223236a b c x y y z z x ++=-++-++-+，

()()()2221

11102x y z =-+-+-+>，

这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．

26．【答案】（1）见解析；（2）1,2??

+∞????．

【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1ax

f x x ='-，

若0a ≤，则()0f x '>恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增；

若0a >，则由()1

0f x x a =?='， 当10,x a ??

∈ ???时，()0f x '>；当1

,x a ??∈+∞ ???时，()0f x '<，

∴()f x 在10,a ??

???上单调递增，在1

,a ??+∞ ???上单调递减．

综上可知：若0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递增；

若0a >，()f x 在10,a ?? ???上单调递增，在1

,a ?

?+∞ ???上单调递减．

（2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++， 令()()2ln 1g x x x a x =--，()1x ≥，()ln 12g x x ax +'=-， 令()()ln 12h x g x x ax ==+-'，()12ax h x x -'=， ①若0a ≤，()0h x '>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，()()1120g x g a ≥=-'>'， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01x f x x -≥+不符合题意； ②若102a <<，当11,2x a ??∈ ???，()0h x '>，∴()g x '在11,2a ?? ???上单调递增， 从而()()1120g x g a ≥=-'>'， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01x f x x -≥+不符合题意； ③若12a ≥，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立， ∴()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，()ln 01x f x x -≤+， 综上所述，a 的取值范围是1,2??+∞????．