2019石家庄高三一模理科数学试题及答案

2019届石家庄高三一模数学试题（理科）

石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）

理科数学答案

一、选择题

1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题

13. 1 14. ()122y x =

- 或()1

y x =--

16. 10 三、解答题

17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°

设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1

sin 2

ac B 可得12ac =.……2分

△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=

即AC 的长为……6分

（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2

BD BC BA =+u u u r u u u r u u u r

……8分

∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =221(2cos )4a c ac B ++=221

()4a c ac ++

(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥u u u r

,即BD 长的最小值为3. ……12分

18. 解：（1）证明：在PBC ?中，60o

PBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得

PC =

222PC BC PB +=Q ，PC BC ∴⊥，…………2分

,PC AB AB BC B ⊥?=Q 又，

PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ?Q 平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分

（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：

(0,0,0),(0,0,(2,0,0),C P A

B F ，…………6分

设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m

则11100

CB x CP ??==???==??u u u r u u u r m m

解得1x =11y =-，10z =

即1,0)=-m …………8分

设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n

则222200

CB x CF x ??=+=???=+=??u u u r u u u r n n

解得2x =，21y =-，21z =-

即1,1)=--n …………10分

cos 5

,<>=

g m n m n m n

由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角P

BC F --12分法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，

所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ，作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥

∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分 Q 点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，

在Rt FMN ?中，1

PC =

2MN = FN ∴=

…………10分 sin 5

FM FNM FN ∴∠=

=,所以二面角P BC

F --12分

19. 解答：根据题意可得

111

(30)5525133

(31)25102512331

(32)2551010411327

(33)2251010525312211

(34)210105550212

(35)251025111

(36)1010100

P P P P P P P ξξξξξξξ==?=

==??=

==??+?=

==??+??=

==??+?=

==??=

==?=

……..部分对给2分，全对给4分

ξ的分布列如下：

…………………………………5分

13171121()3031323334353632.825254255025100

E x =?

+?+?+?+?+?+?=……6分

（2）当购进32份时，利润为

()()2131

324314*********.5213.92 4.16125.6252525??

+?-?+?-?=++=

……8分

当购进33份时，利润为

()()()59131

3343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525

+?-?+?-?+?-?=+++=……10分

可见，当购进32份时，利润更高！……12分 20. 解：（1）由抛物线定义,得02

PF x =+

，由题意得：

0022

0p x

x px p ?

=+??

=??>??

……2分解得0

21p x =??=?

所以，抛物线的方程为2

4y x = ……4分（2）由题意知，过P 引圆()2

223(02)x y r r -+=<≤

的切线斜率存在，设切线PA 的

方程为1(1)2y k x =-+，则圆心M 到切线PA 的距离12

221

k d r k +=

=+，整理得，

22211(4)840r k k r --+-=.

设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得222

22(4)840r k k r --+-=.

所以，12,k k 是方程222

(4)840r k k r --+-=的两根，121228

,14

k k k k r +=

=-. ……6分

设11(,)A x y ，22(,)B x y

由12(1)24y k x y x =-+??=?

得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以

11211

424

242k y k k k -=

=-=-，同理可得2142y k =-. ……8分设点D 的横坐标为0x ，则

222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分

设12t k k =+，则[)2

4,24

t r =

∈---，所以，2

0223x t t =--，对称轴122

t =>-，所以0937x <≤ ……12分

21.解：（1）22

11(1)

(),0a x a f x x x x x

---'=-=>（）当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；

……2分

当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '

()0,1f x x a '>?>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；

()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小

综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；

当1a >时，()1ln(1)f x a =+-极小 ……4分

（2）令1(sin 1)2ln sin 1

()()()ln ,(0)a a x x x a x F x f x g x x x x x x

-+--+=-=+

-=> 当11a -≤≤时，要证：)()(x g x f >，即证()0F x >,即证ln sin 10x x a x -+>，法1：要证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-.

①当01a <≤时，

令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >. ……6分

∴1sin 1ax a x ->-*（）

……7分令()ln 1q x x x x =-+，()=ln q x x '，

当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减；(1,),()0q x x '∈+∞>，()q x 在(1,)+∞单调递增，故()(1)0q x q ≥=，即ln 1x x x ≥-.当且仅当1x =时取等号

又Q 01a <≤，∴ln 11x x x ax ≥-≥-**（）

由*（）、**（）可知ln 11sin 1x x x ax a x ≥-≥->- 所以当01a <≤时，ln sin 1x x a x >- ……9分 ②当=0a 时，即证ln 1x x >-. 令()=ln m x x x ，()=ln 1m x x '+，()m x 在

1(0,)e 上单调递减，在1

(,)e

+∞上单调递增，min

()()=1m x m e e

=->-，故

ln 1x x >-

.……10分

③当10a -≤<时，

当0,1]x ∈（时，sin 11a x -<-，由②知1()ln m x x x e =≥-

，而1

->-，故ln sin 1x x a x >-； ……11分

当1,x ∈+∞（）时，sin 10a x -≤，由②知()

ln (1)0m x x x m =>=，

故ln sin 1x x a x >-；

所以，当0,x ∈+∞（）时，ln sin 1x x a x >-.

综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分

法2：当11a -≤≤时，下证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-. ……5分

① 当1x >时，易知ln 0x x >，sin 10a x -≤，故ln sin 10x x a x -+>； (6)

分 ②当1x =时，0sin110a -+>显然成立，故ln sin 10x x a x -+>； ……7分

③当01x <<时，sin 0x >，故sin sin sin x a x x -≤≤，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，

故()(0)0h x h >=，即sin x x >.，故sin a x x <； ……9分

只需证()ln 10q x x x x =-+>，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减，故()(1)0q x q >=，故ln sin 10x x a x -+>； ……11分综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分法3：易知1sin ()()ln x

f x

g x x a x x

-=+- 要证()()f x g x >，即证1sin ln x

x a x x

+>?

……6分令1()ln x x x ?=+

，则'21

()x x x

?-=，故min ()(1)1x ??== ……8分令()sin h x x x =-，()cos 10h x x '=-≤，故()h x 在0+∞（，）上递减由(0)0h =，从而当0x >时sin x x <，故sin 1x

< ……10分由11a -≤≤，故sin 1x

a x

< ……11分综上，当11a -≤≤时，()()f x g x > ……12分

22.（Ⅰ）曲线C的普通方程为：, ……2分令，……3分化简得；……5分（Ⅱ）

解法1：把……6分令，……7分方程的解分别为点A,B的极径，

……8分

，

……10分解法2：射线的参数方程为，把参数方程代入曲线C的平面

直角坐标方程中得，, ……6分令，得，……7分

方程的解分别为点A,B的参数，

……8分，

……10分

23.（Ⅰ）不等式可化为

……1分或……2分或……3分

解得

的解集为……5分（Ⅱ）

……6分，

……8分

当且仅当时，即时，取“=”，

的最小值为．……10分

方法2：……6分，

……8分

当时，取得最小值为．……10分