知识点集合与常用逻辑用语
知识点——集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.
3.
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件
(1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件；
(5)如果p
q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A
B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【易错提醒】
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．
2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究
A ＝?的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”．
6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
【必会习题】
1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或B．0或3C．1或D．1或3
答案B
解析∵A∪B＝A，∴B?A，∴m∈{1,3，}，∴m＝1或m＝3或m＝，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2．设集合A＝{x|1 A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 答案A 解析若A?B，则a≥2，故选A. 3．已知集合M＝{x|－3 A．{x|－3 答案C 解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C. 4．满足条件{a}?A?{a，b，c}的所有集合A的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 答案D 解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个． 5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(?U B)等于( ) A．[－1,0]B．[1,2]C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案D 解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)， B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. A∪(? U 6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 答案B 解析ln(x＋1)<0，解得0 ∴－1 7．给出以下四个命题： ①若ab≤0，则a≤0或b≤0； ②若a>b，则am2>bm2； ③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B； ④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A．①B．②C．③D．④ 答案C 8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝?U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z等于( ) A．(X∪Y)∩?U Z B．(X∩Y)∪?U Z C．(?U X∪?U Y)∩Z D．(?U X∩?U Y)∪Z 答案B 解析∵X*Y＝?U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z， (X*Y)*Z＝?U(X∩Y)*Z＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪?U Z. 9．已知M是不等式≤0的解集且5?M，则a的取值范围是________________． 答案(－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析若5∈M，则≤0， ∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5， ∴5?M时，a<－2或a≥5. 10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案(－∞，－4] 解析由命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，得x<－4或x>2， 由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，得(x－3a)(x－a)<0，∵a<0，∴3a 11．已知命题p：≤1，命题q：x2－2x＋1－m2<0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案(2，＋∞) 解析∵≤1?－1≤－1≤1?0≤≤2?－1≤x≤3，∴p：－1≤x≤3； ∵x2－2x＋1－m2<0(m>0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]<0?1－m ∵p是q的充分不必要条件， ∴[－1,3]是(1－m,1＋m)的真子集，则解得m>2.