解析几何专题复习-含答案

专题复习：解析几何

例1、（1）.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是__4

3

-________

（2）已知点P 是椭圆)00(18

162

2≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原

点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ?=，则OM 的取值范围是__0(，)22 _______

（3）过双曲线()222210,0x y a a a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->，作圆222

4

a x y +=的切线，切点为

E ，延长E

F 交双曲线右支于点P ，若E 是FP 的中点，则双曲线的离心率为

．

例2、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点()1,2M ,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0≠m ），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；

（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

17.解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则?????==??

???=+=28

11

4222

22b a b a b a 解得

∴椭圆方程为

1282

2=+y

x

（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为21,k k ，只需证明021=+k k 即可

设()()2211,,,y x B y x A 直线m x y l +=21

: 则1

1,1122

2111--=--=x y k x y k 联立方程??

???

=++=842

122y x m x y 得04222

2=-++m mx x 42,222121-=-=+m x x m x x

而()()()()()()2221211

111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k

k

()()

0224

44242212

2=--+-+--x x m m m m 所以021=+k k

故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

例3、在直角坐标系xOy ，椭圆()22

122:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛

物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且25

3

MF =

.（I ）求椭圆1C 的方程； （II ）若过点D （4，0）的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD ??与BOD 面积之比的取值范围.

（Ⅰ）依题意知2(1,0)F ，设11(,)M x y .

由抛物线定义得2||MF = 1513x +=，即12

3x =. ………………1分

将3

2

1=

x

代人抛物线方程得1y =， ………………2分

进而由222()31a +=及221a b -=，解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22

143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为4x my =+代人22

143

x y +=， 整理得2

2

(34)24360m y my +++=

………………6分

由0?>，解得24m >. ………………7分

设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634m

y y m y y m -+=+?=+?????

①②

………………8分

令AOD BOD

S S λ??=

，则1

1221

21

2

OD y y y OD y λ?=

=?且01λ<<. ………………9分 将12y y λ=代人①②得22222

24(1)343634m y m y m λλ-?

+=??+??=

?+?

，消去2y 得22

2(1)1634m m λλ+=+， 即2

2

24(1)1033

m λλλ+=--． ………………10分

由2

4m >得2

2

(1)11033

λλλ+>--，所以1λ≠且231030λλ-+<, 解得1

13

λ<<或13λ<<. ………………12分

又

01λ<<，∴1

1

3λ<<

作业：

1、抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是__x=-161

_______

2、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为

1212e e e e ?，，则的取值范围是__1,3??

+∞ ???

_______

3、抛物线2

2y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足

120AFB ∠=?.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则

||

||

MN AB 的最大值为

_______ 4、已知O 为原点，双曲线22

21(0)x y a a -=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线

的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为__25

_______

5、在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC ?的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围是__

_______

6、定义一个对应法则(

)(),0,0:，≥≥f P m n P m n '

→．现有点()2,6A 与()6,2B 点，点M 是线段

AB 上一动点，按定义的对应法则:f M M '→．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为

．

7、如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆

()

2

2216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ?的周长的取

值范围是____()8,12_________.

8、如右图，椭圆的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一

个二面角，使点A 2在平面B 1A 1B 2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为_

3

π

_ __． 9、如图，从点0(,2)M x 发出的光线沿平行于抛物线24y x =对称轴的方向射向此抛物线上的点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上的点Q ，再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向射向直线:270l x y --=上的点N ，再反射后又射回点M ，则

0x = 6 .

10、设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线122

22=-b

y a x （0a b >>）两条渐近线

分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是___25

_______

11、已知椭圆经过点，离心率为，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l 交y 轴于点M ，且，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；

（3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

12、椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别是21,F F ，离心率为32，过1F 且垂直于x 轴的

直线被椭圆C 截得的线段长为1

(1)求椭圆C 的方程；

(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线21,PF PF 的斜率分别为21,k k ，若0≠k ， 试证明:

2

111kk kk +为定值，并求出这个定值．

13、如图，点P(0，?1)是椭圆C1： (a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直

径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

解析：（Ⅰ）由题意得：

???b =1，a =2．

……………..2 椭圆C 的方程为：

x 24+y 2

=1． (4)

（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为

y =kx ?1． (5)

又圆C 2：x 2+y 2=4，故点O 到直线l 1的距离

d =

1

k 2+1

， …………………6 所以

|AB |=24?d 2

=2

4k 2+3

k 2+1 ． (7)

又l 1⊥l 2，故直线l 2的方程为

x +ky +k =0．

由

?

????x +ky +k =0， x 24+y 2=1． 消去y ，整理得

(4+k 2)x 2+8kx =0

故

x 0=?8k 4+k 2．

所以

|PD |=8k 2+1

4+k 2．

(10)

设△ABD 的面积为S ，则S =12|AB |?|PD |=84k 2+3

4+k 2， 所以

S =

324k 2+3+

134k 2+3

≤322

4k 2+3 ?

134k 2+3

=1613

13， (12)

当且仅当k =±10

2时取等号 (13)

所以所求直线l 1的方程为y =±10

2x ?1 (14)