(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版

第十章微分方程习题

一.填空题：（33）

1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、微分方程

0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 2

2=++s x s

x s 的阶数是 .

1-4-43、

x y y y y sin 5''10'''4)()

4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y

2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0

d d =+y x y

的通解是 .

1-7-46、方程

y e y x

='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .

1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程

为

1-13-52、微分方程x

e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程

x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程

y x f y x x d ),(0?=等价的微分方程初值问题

是 .

1-17-56、方程

0d )2(d )(2

2=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为

21221,(C C e C e C y x

x +=为任意常数)的微分方程为 .

1-19-58、方程y

x e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .

1-19-59、方程0dy 1dx 2

=-+x xy 化为可分离变量方程是

1-20-60、方程xy y 2'=的通解是

1-21-61、方程

x y xy x y x y d d d d 2

2=+化为齐次方程是

1-22-62、若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .

1-23-63、若kt

Ce Q =满足Q

dt dQ

03.0-=, 则=k .

1-24-64、y y 2'=的解是

1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和

x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为

1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是

1-27-67、 a

ae y =满足的微分方程是

1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dy

x Q y x P x =+的通解是 .

1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方

程为 .

1-30-70、方程2

5x y =是微分方程y xy 2'=的解.

1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不

等实根，则其通解为 .

1-33-73、将微分方程

0)2()(2

2=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为

二.选择题：（29）

2-1-56、微分方程y

2dx dy

=的通解是 ( )

A.2

x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =

2-2-57、微分方程

0dy 1dx 2

=-+x xy 的通解是 ( ) A.2

1x e

y -= B.2

1x Ce

y -= C.x C y arcsin = D. 2

1x C y -=

2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )

0dy dx )(2

=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.

0dy dx )(2

2=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )

A.x x e e 32,

B.x x 2sin ,2cos

C. x x x sin cos ,2sin

D.2

ln ,ln x x

2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )

A.x x e C e C y 321--+=

B. x x e C e C y 321+=

C. x x e C e C y 321-+=

D. x x e C e C y 321+=-

2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=

2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是 ( )

A. xy y x -=33dx dy

0dy 2dx )3(2

=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.

y x xy y 32

1dx dy ++= 2-8-63、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =

2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212

x C C e y x +=,则p 的值是 ( )

A.1

B.0

C.21

D.41

2-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )

A.C x y +=2sin

B.C e y x +=24

C.x Ce y 2=

D. x

Ce y =

2-11-66、方程xy 2dx dy

=的通解是 ( )

A.C e x +2

B.C

C. 2Cx e

D. 2

)

(C x e +

2-12-67、 x

e y -=''的通解为=y ( )

A.x e --

B. x

e - C. 21C x C e

++- D. 21C x C e x ++--

2-13-68、微分方程x

e 2

1dx dy -=满足1

0-==x y 的特解为 ( )

A.122

1+-=-x e

y B. 322

1-=-x e

y C. C e

y x +-=-2

12 D.212121-

-=-x

e y

2-14-69、微分方程0ydy -dx 3

=x 的通解是 ( )

A.C y x =-2422

B. C y x =+2422

C. 02422=-y x

D. 1242

2=+y x

2-15-70、微分方程0ydy -dx 3

=x 的通解是 ( )

A.222=+y x

B. 933=+y x

C. 13

3=+y x D. 1333

3=+y x

2-16-71、过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的

曲线方程是( )

A.32-=x y

B. 52+=x y

C.53-=x e y

5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x y

y tan

dx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.

3x u y =

2-18-73、设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )

A.βα=

B. 0=+βα

C. 1=+βα

D. βα,为任意常数

2-19-74、方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )

A.x Cx y +=2

B. x x C y +=2sin

C. C x y +=2cos

C x y +=2

2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )

x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'

2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )

y x y -

=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y =

2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )

A.x e y -=32

B. x e y --=32

C. 32-=x e y

D. 3

2--=x e y

2-23-78、微分方程x y y ln '=的通解是 ( )

A.x x e y ln =

B. x x Ce y ln =

C. x x x e y -=ln

D. x x x Ce y -=ln

2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )

A. x e y 22=

B. x e y 2=

C. x e y 2-=

D. x e y 2=

2-25-80、方程

0sin '''6

53)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

2-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x

，则这条曲线是( )

A. 椭圆

B. 抛物线

C. 双曲线

D. 圆

2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )

A. xy y x dx dy

-=33 B.

02)3(2

=++xydy dx y e x C. xy y

x dx dy += D.

y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212

x C C e y x +=,则p 的值( )

A. 1

B. 0

C. 21

D. 41

三.计算题：（59）

3-1-52、

0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy

3-3-54、

0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、

y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y x

e y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x

3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,

4|0π

=x y

3-8-59、

0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y

3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,

4|0π

=x y

3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x

3-12-63、 )ln (ln dx d x y y y

3-13-64、

0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、

x y

x y xy tan

'=-

3-15-66、

x y

x y x y xy ++=-ln

)('

3-16-67、

dx dy xy dx dy x y =+2

3-17-68、

x y y x y +

', 2|1==x y

3-18-69、

x y x y y +

', e y e x ==|

3-19-70、

2|,'12

2=-=-=x y y x y xy

3-20-71、

x x y x y sin 1'=+

, 1|==πx y 3-21-72、

x e x y x y 43

'=-

3-22-73、 342'x xy y =-

3-23-74、

x y x y ln 1

1'=-

3-24-75、

x e y x x y x 21'=

-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,

|0==x y

3-26-77、

x x y x y sin 1'=+

, 1|==πx y 3-27-78、

22112'x y x x

y +=+-

, 0|0==x y

3-28-79、

x x

y xy ln '=

-, e y e x ==|

3-29-80、 22d dy

xe xy x -+=

3-30-81、)

sin (cos d dy

2x x y y x -=+ 3-31-82、5

d dy

xy y x =- 3-32-83、0

2d dy

4=++xy xy x

3-33-84、4

)21(31

31d dy y x y x -=+

3-34-85、

xy x

y x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''

3-36-87、

01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y

3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2

|'0==x y

3-39-90、

23''y

y =

, 1|3==x y , 1|'3==x y

3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,

|0==x y ,

|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0

|0==x y ,

|'0==x y

3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,

|0==x y ,

|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3

|'0==x y

3-49-100、04'4''=+-y y y ,

|0==x y ,

|'0==x y

3-50-101、x

e y y y 2'''2=-+

3-51-102、

x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-

3-53-104、'''22x

y y y e --=

3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、

''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y

3-56-107、52'3''=+-y y y ,

|0==x y ,

|'0==x y

3-57-108、x

e y y y 29'10''=+-,

76|0=

=x y ,

733

|'0=

=x y 3-58-109、x

xe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、x

xe y y y 26'5''=+-

四.应用解答题：（14）

4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求

这曲线方程.

4-2-10、已知?--=+x

x x y t t y t t 03

231d )(12, 求函数)(x y

4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于

y x =2.

4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线

12+=

y 相切的积分曲线.

4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等

于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,

求它的方程.

4-7-17、设可导函数)(x ?满足

?+=+x

x t t t x x 0

d sin )(2cos )(??, 求)(x ?.

4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为2

2p Ep EQ

-=, 最大需求量为

1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.

4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成

正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势

E E ωsin 0=, 在时刻

0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).

4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼

雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0

v 沿平行与y 轴的直线行驰,

又设鱼雷的速度为

2v , 求鱼雷的航行曲线方程.

4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系

)(d

dL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润

为

L , 且

L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.

4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I

均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31

. 设0=t 时国民收入为5(亿

元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.

4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.

五.证明题：（2）

5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令

)

()(')(')()

(')

(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==

证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w

5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dy

x Q y x P x =+的3个相异特解,

证明 121

3y y y y --为一常数.

部分应用题答案

487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t

E E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通

电路, 求电流i 与时间t 的关系(

0E , ω

为常数).

解. 设)(t i i =, 由回路电压定律

E dt di

Ri ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+

∴

?+?

?=-

]sin [)(0C dt te L E e t i t dt L

R L R

ω=

+-]sin [0C dt te L E e

t L R L

R ω

)cos sin (2

220

t L t R L R E Ce

t L

R ωωωω-++

将

|0==t i 代入通解得

2220

L R LE C ωω+=

∴)

cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t L

R ωωωωω-++=-

488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.

物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.

由牛顿第二定律得

mg dt dv m

-=,从而得线性方程g v m k

dt dv =+, 0|0==t v

∴ ?--

+=+??=t m k

dt dt Ce g k m C dt ge e v k

m m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=

∴ )

1(t

m k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k

++=-,

将0|0==t S 代入求得g k m C 22

1-=

∴ )

1(22

-+=-t m k

e g k m gt k m S

489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0

v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为

2v , 求鱼雷的航

行曲线方程.

解：

设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的

坐标为

)

,1(0t v Q .

因鱼雷始终对准敌舰, 故

x y t v y --=

1'0, 又弧OP 的长度为?=-x

v dx y 002

2'1,

从以上两式消去

v 0得

''121''')1(2y y y y x -+=

--, 即2'121

'')1(y y x +=-

根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y

令p y =', 原方程化为

2121

')1(p p x +=

-, 它是可分离变量得方程,

解得2

)1(112--=++x C p p , 即

)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故

)1('1'2

--=++x y y

而

1(''1'1'1

2--=-+=++x y y y y , 得2

)1()1(21'x x y -+-=-

积分得2

232

)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得

2=C , 所以鱼雷的航行曲线为

)1(31)1(232

-+--=x x y

490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )

dL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广

告费x 之间的函数关系.

解：依题意得)(L A k dx dL

-=,

00|L

L x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之

间的函数关系为kx

e A L A x L --+=)()(.

491．

在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且

在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31

设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.

解：

依题意:

y S 101=

, dt dy I ?=31, 解之得通解t Ce y 10

=, 将5|0==t y 代入通解得

5=C , 所以国民收入函数为t

e y 103

492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：

设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,

又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.

假设价格)(t p 的变化率dt dp

与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp

-=,

0)0(p

p =, 其中

p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.

若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为

)()(d b k p c k k dt dp

-++=,

0)0(p

p =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为

c k d

b e

c k

d b p t p t c k k +-++--

=+-)(0)()(

下面对所得结果进行讨论:

(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,

则

c k d

b p +-=

, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .

它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在

均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.

(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0

, )(t p 单调下降向p

靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初

始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线性微分方程、微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________. 13.方程组的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

常微分方程计算题word

常微分方程习题集（3）（三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程：； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

微分方程级数练习及答案

一阶微分方程练习 1、求方程x xe y y x =+'的通解 2、求7 2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解 3、解方程 3 d 3d y x y x x -= 4、求微分方程tan sec y y x x '-=满足初始条件()00y =的特解． 5、求微分方程2d d d y x y y x y e y -=的通解二阶微分方程练习 1、求2 69279y y y x '''-+=-的特解。 2、求6128y y x '''-=-的特解。 3、求62y x ''=-的特解。 4、求62y x ''=-的特解。 5、求34cos 2sin y y x x '''+=+的特解。 6、写出下列微分方程的特解形式（1）256e x y y y x '''-+= （2）27122e x y y y x -'''-+= （3）e x y y ''-= （4）2e x y y y x -'''++= 答案：一阶微分 1.解：将方程变形为x e x y y =+ '其中 x x P 1)(= ，x e x Q =)(，用公式法 1 1 ln ln ()() dx dx x x x x x x y e e e dx C e e e dx C - -??=+=+??=1 1()() x x x xe dx C xe e C x x += -+? 2.解：方程化为标准式： 2 5 )1(12+=+- 'x x y y ，用常数变异法，先求对应齐次方程的通解。 d 20 d 1 y y x x -=+， d 2d 1 y x y x = + d 2d 1y x y x = +? ? C x y ln )1ln(2ln ++=， 2 ) 1(+=x C y 把C 换成()C x ，即令

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程应用题和答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版

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