高等代数习题集
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苏州大学数学科学学院高等代数组收集
2003, 4,30
1.设X = ，求X。
2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0
= 0，其中A是该二次型的矩阵。
3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。
a
证明：W是P[x]4的子空间。
b
求W的维数与一组基。
4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3,
x
-4x2, 3x3)。
1
1，
证明：A是Rr3上线性变换，
2，
求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。
5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变
子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。
7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A)
= (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。
8.设X = ，求X。
9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0
0，使X0'AX0 > 0。
10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明：
1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：
任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1，
证明：A是R2 x 2上线性变换。。
2，
求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标
准形。
13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，
证明：V = AV.+A-1(0)。
14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：
W也是A的不变子空间。
15.设X = ，求X。
16.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0
0，使X0'AX0 > 0。
17.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明：
1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
18.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：
任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1.[1，]证明：A是R2 x 2上线性变换。。
2.[2，]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
19.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标
准形。
20.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，
证明：V = AV.+A-1(0)。
21.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：
W也是A的不变子空间。
22.设X = ，求矩阵X。
23.设实二次型f (x1, x2, ... , x n) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵.
证明:实二次型g(x1, x2, ... , x n) = X'A-1X与f (x1, x2, ... , x n)有相同的正负惯性指数和符号差。
24.设W = {(a1, a2, ... , a n)| a i R,a i = 0} 证明
1.[1，]证明：W是 R n的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
25.设B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意
X R2 x 2,X = BX + XC
1.[1，]证明：是V上线性变换。
2.[2，]求在基E 11, E12, E21, E22下的矩阵。
26.设A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
27.设V为数域P上n维线性空间，V 1, V2为其子空间，且V= V1V2,为
V上可逆的线性变换. 证明：V = V
+ V2。
1
28.设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2= E。证明：存在V
的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为。
29.设X = ，求矩阵X。
30.设f (x1, x2, ... , x n) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果
X'AX = 0当且仅当X = 0。证明：f (x
, x2, ... , x n)的秩为n，符号差
1
是n或- n.
31.设= (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1),
= (1, - 2, - 1, 0)，W = {k i| k i R}。
1.[1，]证明：W是Rr4的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
32.设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在基,,下的矩阵是
。
1.[1，]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。
2.[2，]求A-1的在,,下的矩阵。
33.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
34.设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。证
明：A2是V上的恒等变换。
35.设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。证
明：维(AW) +维 (A-1(0) W) =维W。
36.设X = ，求矩阵X。
37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}。
1.[1，]证明：W是R3 x 3的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
38.设实二次型f (x1, x2, ... , x n) = X'AX的秩为n，符号差是s。证明：
R中存在(n - | s|)维子空间W使任意X
0W，X
'AX0 = 0。
39.在R[x]3中定义变换A：任意f (x) R[x]3, A(f (x)) = xf'(x)。
1.[1，]证明：A是R[x]3上线性变换。
2.[2，]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。
40.设A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
41.设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。证明：
维(AV) +维 (A-1(0)) =维V。
42.设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意,V， (A,) =
(, A)。证明：A是V上线性变换，从而为V上对称变换。
43.设V = P[x]5,f (x) V，有f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，其中
r(x) = 0或次(r(x)) < 2,
1.[1，]证明：f (x) V,令A(f (x)) = r(x)，则A是V的一个
线性变换;
2.[2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.
44.用正交线性替换，把实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为
标准形，并求所用的正交线性替换,
45.设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵,
46.设W = {A| A = (a ij)n P n x n,a ii = 0},
1.[1，]证明：W是P n x n的子空间,
2.[2，]求W的维数与一组基,
47.判别下述结论是否正确，并说明理由,
1.[1，]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2.[2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则V= W
W,
48.设A为n维欧氏空间V的线性变换，证明：A是对称变换的充要条件是
A有n个两两正交的特征向量,
49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB = BA，并且A
有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.
50.求矩阵A = 的特征值和特征向量。
51.求二次型f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型，并写出所用的
非退化的线性替换。
52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的
P上线性空间。对于任意的f(x) V,定义(f(x)) = f'(x) - f''(x).
证明
1.[1，]证明：是V的线性变换。
2.[2，]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。
53.设V是一个欧氏空间，,V。证明: || = || ( + ,
- ) = 0
54.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}.
1.[1，]证明：W是P[x]4的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
55.设A为线性空间V上线性变换。证明：A是可逆的线性变换的充要条件
是A的特征值一定不等于零.
56.设A为n x n实矩阵，A = A', A3 = E n证明：A = E n。
57.设X = ,求矩阵X。
58.在Rr3中定义线性变换A：(a 1, a2, a3) R3, A(a1, a2, a3) = (2a2 +
a
, a1 -4a2, 3a1)。求在基 {(1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}下的矩3
阵.
59.用正交线性替换化二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形
60.设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换，W是A子
空间。证明：W也是A-1-子空间。
61.设A是正定矩阵，证明：A-1, A2都是正定矩阵。
62.设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且kerA = kerA2。
证明：V = kerA AV。
63.设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2= E。证明：存在V的
一标准正交基，使A在该基下的矩阵是.
64.设B P2 x 2，
1.[1，]证明：A(X) = BX- XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；
2.[2，]当B = 时，求A在基E11, E12, E21, E22下的
矩阵。
65.用正交线性替换，把实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为
标准形，并求所用的正交线性替换。
66.设W1 = | x, y, z P, W2 = |
A, b, c P都是P2 x 2的子空间。
1.[1，]求W 1W2的维数和一组基；
2.[2，]求W1 + W2的维数。
67.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]设A, B P n x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2.[2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特
征值，则A在某基下的矩阵是对角形。
68.判别实二次型f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正
定的？并说明理由。
69.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。若A有n个互异的
特征值，且A的特征向量都是B的特征向量，证明：AB = BA。
70.设A, B是n阶实对称矩阵，且B是正交矩阵。证明：存在n x n实可
逆矩阵T，使T'AT与T'BT同时为对角形。
71.设X = ，求矩阵X。
72.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：
任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1.[1，]证明：A是R2 x 2上线性变换。
2.[2，]求A在基E11, E12, E23, E22下的矩阵。
73.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标
准形。
74.设W = {(a1, a2, ... , a n)| A i Rn, a1 + a2 + ... + a n = 0}。
1.[1，]证明：W是Rn的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
75.设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为V的两子空间，且V = V1
V
, A是V上可逆线性变换。证明：V = AV1AV2。
2
76.设V是一个欧氏空间，,V，证明： || = || + ,
- ) = 0。
77.设A是欧氏空间V的一个正交变换，证明：A的不变子空间的正交补也
是A的不变子空间。
78.设V = P2 x 2, B V，(1)证明：变换A：X BX - XB是V上一个线
性变换；(2)当B = 时，求A在基E ij下的矩阵。
79.求f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形，并给出所用的非退
化线性替换P.
80.求k为何值时f(x1, x2, x3) = x12+ (k+ 2)x22+ kx32+2x1x2-2x1x3-4x2x3
是正定的。
81.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]设A, B P n x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2.[2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特
征值，则A在某基下的矩阵是对角形。
82.设W1 = | x, y, z P, W2 = |
A, b, c P都是P2 x 2的子空间。 (1)求W
1W
2
的维数和一组基；(2)
求W1 + W2的维数。
83.设A = ，
1.[1，]求A的特征值与特征向量；
2.[2，]A是否相似于对角形，为什么？
84.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。若A有n个互异的
特征值，且A的特征向量都是B的特征向量，证明：AB = BA。
85.设A, B是n阶实矩阵，且B是正定矩阵。证明：存在实可逆矩阵P，使
P T AP与P T BP同时为对角形。
86.设V = P2 x 2, B V，
1.[1，]证明：变换A：X BX，是V上一个线性变换；
2.[2，]当B = 时，求A在基E ij下的矩阵。
87.求f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形，并给出所用的非退化
线性替换.
88.f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定。为什么？
89.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]设A, B P n x n，若A与B相似，则A, B有相同特征多项式；
2.[2，]设A是n维线性空间V的线性变换，若A在某基下的矩阵是
对角形，则A有n个互异特征值。
90.设= (1, 0, 1, 1), = (1, -1, 1, 2), beta1= (1, -1, 0, 1),
= (0, 1, 0, 1), W1 = L(,), W2 = L(,)。
1.[1，]求W1 + W2的维数和一组基；
2.[2，]求W 1W2的维数。
91.设A = ，
1.[1，]求A的特征值与特征向量；
2.[2，]A是否相似于一个对角矩阵，为什么？
92.设A是实对称矩阵，并且A3 = E n。证明：A = E n。
93.设A, B是数域上n维线性空间V的两线性变换。若AB = BA，并且
A有n个互异的特征值。证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.
94.设V= P[x]5,f(x) V, A(f(x)) = r(x)，其中f(x) = (x3- 1)q(x)
+ r(x), r(x) = 0或次(r(x)) < 3。
1.[1，]证明：变换A是V的一个线性变换。
2.[2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。
95.设
A =
求正交矩阵T使T'AT为对角形。
96.设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵。
97.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]设A是n维线性空间V的线性变换，则V = AV kerA；
2.[2，]设V为欧氏空间，A是V的一个对称线性变换，,是A
之属不同特征值下的特征向量,则,
98.设,是上n维线性空间V的线性变换，W既是-不变子空间,
也是-不变子空间.证明:
1.[1，]W是+ ,-不变子空间；
2.[2，]若是可逆的，则W是-不变子空间,
99.设W= {A n x n| TrA= 0}, (其中TrA表示A的主对角线元素的和).
1.[1，]证明：W是一个子空间；
2.[2，]求W的维数和一组基.
100.设A = 可逆，其中A1P m x n, W i = {A i X = 0} 之解空
间,证明：P n = W1W2.
101.设A在基,,下的矩阵是
A =
求在基= 2 +3 + , = 3 +4 + , =
+2 +2下的矩阵.
102.设
A =
求A的特征值，特征向量.A是否相似于对角矩阵？
103.设A正定矩阵，证明：A*也正定.
104.判别下述结论是否正确，并说明理由.
1.[1，]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；
2.[2，]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基.
105.设是A之属的特征向量，g(x) = a k x k P[x]，证明：是
g(A)之属g()的特征向量。
106.设A是n维线性空间V的线性变换，证明下述等价.
1.[1，]A可逆；
2.[2，] kerA = {0}；
3.[3，]A将V的基变成基.
107.设X T AX是实二次矩阵，X T BX是正定二次矩阵，其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形。
108.设V = P[x]5,f (x) V, A(f (x)) = r(x)，其中f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，r(x) = 0或次(r(x) < 2)。
1.[1，]证明：变换A是V的一个线性变换。
2.[2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。
109.用正交线性替换，把实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形，并求所用的正交线性替换。
110.设A, B是正定矩阵，证明：A + B，A-1都是正定矩阵。
111.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相
似；
2.[2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则V= W
W。
112.设V1, V2, V3V是有限维子空间，证明：dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim(V 1 + V2 + V3) + dim(V3(V1 + V2)) + dim(V1 + V2)。
113.设A为n维欧氏空间V的线性变换，证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量。
114.设A是n维欧氏空间的一个线性变换， (,)是V的内积。证明：(A(), A())是V的内积A可逆。
115.设A = ，求A的逆矩阵。
116.求二次型f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形，并写出所用的非退化的线性替换。
117.设A = ，求A的所有特征值，特征向量。A 是否相似于一个对角矩阵，为什么？
118.设A是P上n x n矩阵，W = {f (x) P[x]| f (A) = 0}。证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。
119.设= (1, 2, 1, 0), = (- 1, 1, 1, 1), = (2, -1, 0, 1), = (1, - 1, 3, 7)，求L(,) + L(,)与L(,)
L(,) 的维数。
120.设V是一个欧氏空间，,V，证明： || = || ( +
, - ) = 0。
121.设A是n x n实矩阵，证明：A'A是半正定矩阵。
122.设A是欧氏空间的一个实对称变换。证明：若A4 = 0，则A = 0。
123.设A = ，求A的逆矩阵。
124.求二次型f (x1, x2, x3) = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形，并写出所用的非退化的线性替换。
125.设A= ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。
126.设A是P上n x n矩阵，W = {f (A)| f (x) P[x]}。证明：W 关于通常的加与数乘是一个线性空间。
127.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令A(B)
= ，其中B'是B的转置。
1.[1，]证明：A是V的一个线性变换。
2.[2，]求A在基,,,
下的矩阵。
128.设V是欧氏空间，,V。证明： (,) = | + |2 -
| - |2。
129.设A是3 x 3矩阵。若1, 1, - 2是A的特征值，求A2 +2A - 3E3的行列式。
130.设A是n x n实对称矩阵。证明：若A3是半正定矩阵，则A是半正定矩阵。
131.求矩阵X，使X = 。
132.求二次型f (x1, x2, x3) = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形，并写出所有的非退化的线性替换。
133.设A = ，求A的最大的特征值，并求属于该
特征值的全体特征向量。
134.设A是一个p上n x n矩阵，W是所有形为AB(其中B是n x m矩阵)全体所成的集。证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。135.设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P
上的线性空间。对于f (x) V，令A(f (x)) = f'(x) - f''(x)。
1.[1，]证明：变换A是一个线性变换。
2.[2，]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵。
136.设V是欧氏空间，,V。证明：若 | + |2= ||2+ |
|2，则与正交。
137.设A, B都是n x n正定矩阵。证明：A + B也是正定矩阵。
138.设A是n x n实对称矩阵。证明：若A5 = E n，则A = E n。
139.设A = ，求A的逆矩阵。
140.求二次型f (x1, x2, x3) = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形，并写出所用的非退化的线性替换。
141.设A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特
征值的全体特征向量。
142.设V是欧氏空间，W是V上所有对称变换组成的集合。证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间。
143.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令A(B)
= B。
1.[1，]证明：A是V的一个线性变换。
2.[2，]求A在基,,,
下的矩阵。
144.设V是一个欧氏空间，,V。证明：若与正交，则 |
+ |2 - | - |2 = 0。
145.设A是n x n矩阵。证明：若0是A的一个特征值，则A不是可逆的。
146.设A是n x n实对称矩阵。是A的最大特征值。证明： ( +1)E n - A是正定矩阵。
147.求矩阵X，使X = 。
148.求二次型f (x1, x2, x3) = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形，并写出所用的非退化的线性替换。
149.设A= ，求A的全体实的特征值，并求属于这些特征值的全体特征向量。
150.设W = {f (x) P[x]| f (1) = 0}。证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间。
151.设= (1, 2, -1, -2), = (3, 1, 1, 1), = (- 1, 0, 1, -1), = (2, 5, -6, 5), = (- 1, 2, - 7, - 3)，求L(,,) + L(,)与L(,,) L(,) 的维数。
152.设V是一个欧氏空间，,V。证明： | + |2+ | -
|2 = 2||2 +2||2。
153.设A是3 x 3矩阵。若1, - 1, - 2是A的特征值，求A2-3A- 10E3的行列式。
154.设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量（视为n x 1矩阵），有 (A,) > 0。证明：A是正定矩阵。
155.计算向量组，= , = , =
, = 的秩.
156.计算行列式：.
157.求下列线性方程组的一个基础解系和解集.
158.证明：如果x1,则
= - .
159.设f(x), g(x) P[x]，证明：f(x)与g(x)互素的充要条件是f2(x) + 3f (x)g(x) + g3(x)与 4f3(x)g(x)互素.
160.设f (x) R[x].证明：如果f (x)在R中有根，则f (x3)在R中有根.
161.已知,, ... ,与,, ... ,有相同的秩，证明：,, ... ,与,, ... ,等价.
162.计算向量组，= , = , =
, = 的秩.
163.计算行列式：.
164.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集
item 证明：
= a n x n + a n-1x n-1 + ... a1x + a0.
165.设f (x), g(x) P[x]，证明：f (x)与g(x)互素的充要条件是f (x) + g3(x)与 (f (x)g(x))2互素.
166.设f(x) R[x].证明：如果f(x)有正根，则f((x- 1)(x- 2))在R中有根.
167.设,,... ,一组n维向量，如果单位向量,,... ,可被它们线性表出，证明：,, ... ,线性无关.
168.计算矩阵的A秩，A = .
169.计算行列式：.
170.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.
171.证明：
= (n + a n)a1a2 ... a n-1.
172.设f(x), g(x) P[x]，证明：f(x)与g(x)互素的充要条件是f3(x) - 2f (x)g(x) + g2(x)与f2(x)g(x)互素.
173.设f (x), g(x) P[x].证明：如果g(x)次数大于0，f (x)有重因式，证明：f (g(x))有重因式.
174.已知向量组,, ... ,的秩是r，,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关，则,, ... ,
是,, ... ,的一个极大线性无关组.
175.计算矩阵的A秩，A = .