北大结构化学习题与答案01

《结构化学》第一章习题

1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( )

(A) Einstein (B) Bohr

(C) Schrodinger (D) Planck

1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值

_______________。

1004 在电子衍射实验中，│ψ│2

对一个电子来说，代表___________________。 1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。

1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯

的临阈波长为600 nm 。

1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射

的电子最大速率是多少？

(1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg)

1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。

1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式

---------------( ) (A) λc

h E = (B) 22

2λm h E = (C) 2) 25

.12 (λ

e E = (D) A ，B ，C 都可以 1010 对一个运动速率v<

p mv 2

1=====νλ A B C D E

结果得出2

11=的结论。问错在何处？ 说明理由。 1011 测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1013 测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。当一个电子从高能级向低能级跃迁

时，发射一个能量子h ν， 若激发态的寿命为10-9？s ，试问ν的偏差是多少？由此引

起谱线宽度是多少(单位cm -1)？

1014 “根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值”。

对否？

1015 写出一个合格的波函数所应具有的条件。

1016 “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否.

--------------( )

1017 一组正交、归一的波函数ψ1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为 (a) ，归一性的表达式为 (b) 。

1018│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2

)│2

代表______________________。 1020 任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积，

对否？ --------------------------- ( ) 1021 下列哪些算符是线性算

符---------------------------------------------------------------- ( )

(A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分

1022 下列算符哪些可以对

易------------------------------------------------------------------- ( )

(A) x ? 和 y ? (B) x

?? 和y ?? (C) p ?x 和x ? (D) p ?x 和y ? 1023 下列函数中

(A) cos kx (B) e -bx (C) e

-ikx (D) 2e kx - (1) 哪些是dx d

的

本征函数；--------------------------------------------------------------- ( )

(2) 哪些是的22

dx d 本征函数；

------------------------------------------------------------- ( )

(3) 哪些是22

dx d 和dx d

的共同本征函数。

----------------------------------------------- ( )

1024 在什么条件下， 下式成立？

(p ? + q ?) (p ? - q ?) =p ? 2 - q ?2

1025 线性算符R

?具有下列性质 R

?(U + V ) = R ?U +R ?V R ?(cV ) = c R ?V 式中c 为复函数， 下列算符中哪些是线性算符？

---------------------------------------( )

(A) A

?U =λU ， λ=常数 (B) B ?U =U * (C) C ?U =U 2 (D) D ?U = x

U d d (E) E ?U =1/U 1026 物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

1027 某粒子的运动状态可用波函数ψ=N e -i x 来表示， 求其动量算符p

?x 的本征值。

1029 设体系处在状态ψ=c 1ψ211+ c 2ψ210中， 角动量M 2

和M z 有无定值。其值为多少？若无，则求其平均值。

1030 试求动量算符p ?x =x

h ??π 2i 的本征函数(不需归一化)。 1031 下列说法对否:”ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。” ----------

( )

1032 假定ψ1和ψ2是对应于能量E 的简并态波函数，证明ψ=c 1ψ1+ c 2ψ2同样也是对

应于能量E 的波函数。

1033 已知一维运动的薛定谔方程为: m h 228[π-22

d d x

+V （x ）] ψ=E ψ ψ1和ψ2是属于同一本征值的本征函数， 证明:

ψ1x d d 2ψ-ψ2x

d d 1ψ=常数 1034 限制在一个平面中运动的两个质量分别为m 1和m 2的质点 ， 用长为R 的、没有质

量的棒连接着， 构成一个刚性转子。

(1) 建立此转子的Schr ?dinger 方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；

(2) 求该转子基态的角动量平均值。

已知角动量算符 M ?=M ?z =-i π2h φ

??。 1035对一个质量为m 、围绕半径为R 运行的粒子， 转动惯量I =mR 2， 动能为M 2/2I ，

M ?2= 224πh 22φ??。 Schr ?dinger 方程H ?ψ=E ψ变成2228mR h π-22φ??= E ψ。 解此方程， 并确定允许的能级。

1036 电子自旋存在的实验根据是：

--------------------------------------------------------------- ( )

(A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电

效应

(C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1037 在长l =1 nm 的一维势箱中运动的He 原子，其de Broglie 波长的最大值是：-------

( )

(A) 0.5 nm (B) 1 nm (C) 1.5 nm (D) 2.0 nm (E) 2.5 nm

1038 在长l =1 nm 的一维势箱中运动的He 原子， 其零点能约为：

-------------------------- ( )

(A) 16.5×10-24？J (B) 9.5×10-7 J (C) 1.9×10-6 J

(D) 8.3×10-24？J (E) 1.75×10-50？J

1039 一个在一维势箱中运动的粒子，

(1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

(2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

1041 立方势箱中的粒子，具有E =22

812ma

h 的状态的量子数。 n x n y n z 是--------- ( ) (A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3

1042 处于状态ψ (x )=sin x a π的 一维势箱中的粒子， 出现在x =4

a 处的概率为----------------------------------------------------------- ( )

(A) P =ψ (4a ) = sin(a π·4a ) = sin 4π = 2

2 (B) P =[ψ ( 4a )]2= 21 (C) P = a 2ψ (4a ) =a

1 (D) P =[a

2 ψ ( 4a )]2= a 1 (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

1043 在一立方势箱中，2

2

47ml h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ， 粒子质量为m )：

-----------------------------------------------------------------( )

(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14

1044 一个在边长为a 的立方势箱中的氦原子，动能为21mv 2=2

3kT ， 求对应于每个能量的 波函数中能量量子数n 值的表达式。

1045 （1） 一电子处于长l x =2l ，l y =l 的二维势箱中运动，其轨道能量表示式为

y x n ,n E =__________________________；

（2） 若以2

2

32ml h 为单位，粗略画出最低五个能级，并标出对应的能量及量子数。 1046 质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，

(1) 体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；

(2) 体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ；

(3) 体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；

(4) 势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；

(5) 若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为

____________，本征值谱为 _______________________________。

1047 质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数

ψ211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态ψ211时，概率密度最大处坐标是

_______________________；若体系的能量为22

47ma

h ， 其简并度是_______________。 1048 在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E =2

2

43ma h 的简并度是_____，E '=22

827ma

h 的简并度是______________。 1049 “一维势箱中的粒子，势箱长度 为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最

小。” 是否正确 ？

1050 对于立方势箱中的粒子，考虑出2

2

815ma h E <的能量范围， 求在此范围内有几个能级？ 在此范围内有多少个状态？

1051 一维线性谐振子的基态波函数是

ψ=A exp[-Bx 2]，式中A 为归一化常数，B =π (μk )1/2/h ， 势能是V =kx 2/2。将上式ψ代入薛定谔方程求其能量E 。

1052 分子CH 2CHCHCHCHCHCHCH 2中的π电子可视为在长为8R c-c 的一维势箱中运动的自由粒

子。分子的最低激发能是多少？它从白色光中吸收什么颜色的光；它在白光中显示什

么颜色？ (已知 R c-c=140 pm)

1053 被束缚在0

的概率是多少？

1054 一个电子处于宽度为10-14 m 的一维势箱中， 试求其最低能级。当一个电子处于一

个大小为10-14 m 的质子核内时， 求其静电势能。对比上述两个数据，能得到什么结

论？

(已知电子质量m e =9.109×10-31 kg ， 4πε0=1.113×10-10？J -1。C 2。m ， 电荷e =1.602×10-19？

C)

1055 有人认为，中子是相距为10-13？cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测

不准关系判断该模型是否合理。

1056 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm 的二维方势阱， 若把苯中π电子看作在此

二维势阱中运动的粒子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。 1059 函数ψ (x )= 2a 2sin a x π - 3a

2sin a x π2 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确

定值， 其平均值是多少？

1060 在长为l 的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n 的状态， 求：

(1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率；

(2) n 为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n →∞时， 此概率的极限是多少？

(4) (3)中说明了什么？ 1061 状态ψ111(x ，y ，z )=abc 8 sin a x π sin b

y π sin c z π概率密度最大处的坐标是什么？ 状态ψ321(x ，y ，z )概率密度最大处的坐标又是什么？

1062 函数ψ(x )= a 2sin a x π2 + 2a

2sin a x π是否是一维势箱中的一个可能状态？ 试讨论其能量值。

1063 根据驻波的条件， 导出一维势箱中粒子的能量。

1064 求下列体系基态的多重性(2S +1)。

(1) 二维方势箱中的9个电子；

(2) l x =2a ， l y =a 二维势箱中的10个电子；

(3) 三维方势箱中的11个电子 。

1065 试计算长度为a 的一维势箱中的粒子从n =2跃迁到n =3的能级时， 德布罗意长的

变化。

1066 在长度为100 pm 的一维势箱中有一个电子， 问其从基态跃迁到第一激发态吸收的

辐射波长是多少？在同样情况下13粒子吸收的波长是多少？

(已知m e =9.109×10-31 kg ， m α=6.68×10-27？kg)

1067 试问一个处于二维势箱中的粒子第四个能级的简并度为多少？

1068 (1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程；

(2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是

ψ0= (π2

α)1/4 exp[-α2x 2

/2] 此处，α=(4π2

k μ/h 2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数ψ在x 取什么值时有最大值？ 计算最大值处ψ2的数值。

1069 假定一个电子在长度为300 pm 的一维势阱中运动的基态能量为 4？eV 。作为近似

把氢原子的电子看作是在一个边长为100 pm 的立方箱中运动。估计氢原子基态电子

能量。

1070 一个质量为m 的自由粒子， 被局限在x =-a /2到x =a /2之间的直线上运动，求其相

应的波函数和能量(在-a /2≤x ≤a /2范围内，V =0)。

1071 已知一维势箱的长度为0.1 nm ， 求：

(1) n =1时箱中电子的de Broglie 波长；

(2) 电子从n =2向n =1跃迁时辐射电磁波的波长 ；

(3) n =3时箱中电子的动能。

1072 (1) 写出一维势箱中粒子的能量表示式；

(2) 由上述能量表示式出发， 求出p x 2的本征值谱(写出过程)；

(3) 写出一维势箱中运动粒子的波函数 。

(4) 由上述波函数求力学量p x 的平均值、 p x 2的本征值谱。

1073 在0-a 间运动的一维势箱中粒子，证明它在a /4≤x ≤a /2区域内出现的概率

P =41 [ 1 + π

πn n )2/sin(2 ]。 当n →∞时， 概率P 怎样变？ 1074 设一维势箱的长度为l ， 求处在n =2状态下的粒子， 出现在左端1/3箱内的概率。 1075 双原子分子的振动， 可近似看作是质量为μ= 2

121m m m m +的一维谐振子， 其势能为V =kx 2/2， 它的薛定谔方程是_____________________________。

1076 试证明一维势箱中粒子的波函数ψn = a

2sin(a x n π)不是动量算符p ?x 的本征函数。

另外， 一维箱中粒子的能量算符是否可以与动量算符交换？

1077 试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a /2， b /2， c /2)。

1077 试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a /2， b /2， c /2)。

1079以ψ=exp[-αx 2

]为变分函数， 式中α为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函数。

已知[]?∞

=-022d ex p x x x n α1

212)12 31++π-?????n n a n （ 1080 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射

线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同，

电子的能量应为___________________J 。

1081 把苯分子看成边长为350 pm 的二维四方势箱， 将6个π电子分配到最低可进入的

能级， 计算能使电子上升到第一激发态的辐射的波长， 把此结果和HMO 法得到的值

加以比较(β实验值为-75×103？J ·mol -1)。

1082 写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的、质量为m 的粒子的薛定谔方程，求其

解。

1083 一个以 1.5×106？m ·s -1速率运动的电子，其相应的波长是多少？(电子质量为 9.1

×10-31 kg)

1084 微观体系的零点能是指____________________的能量。

1085 若用波函数

ψ来定义电子云，则电子云即为___________________。 1086 x d d 和 i x

d d 哪个是自轭算符----------------------------------- ( ) 1087 电子的运动状态是不是一定要用量子力学来描述？--------------- ( )

1088 测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准，对吗？---------------( )

1089 求函数 f =m φe i 对算符 i φ

d d 的本征值。 1090 若电子在半径为r 的圆周上运动，圆的周长必须等于电子波半波长的整数倍。

(1)若将苯分子视为一个半径为r 的圆，请给出苯分子中π电子运动所表现的波长；

(2) 试证明在π轨道上运动的电子的动能 ：