2021届江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考文科数学试卷

2021年江西省赣中南五校高三下学期2月第一次联考文科数

学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M N 为

A ．（0，＋∞）

B ．（1，＋∞）

C ．[2，＋∞）

D ．［1，

＋∞）

2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为

A ．16

B ．13

C ．23

D ．56

3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12

- 4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．

的平面，则下列命题中正确的是 A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则

B ．若//,,,//m n m n αβαβ??则

C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则

D ．若//,//,//m n m n αα则

5．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．ABC ?外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC

方向的投影为

A ．21

B ．23

C ．21-

D ．23-

7．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ω?ω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象

与x 轴的交点，若0PM PN ?=，则ω等于

A ．8

B ．8π

C ．4π

D ．2π

8．已知实数满足：，，则的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数()y f x =对任意的(,)22

x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）

A ．(0)2()4

f π>

B 2()()34f ππ<

C ．(0)2()3f f π>

D 2()()34f ππ-<- 10．已知命题p ：?x ∈R ，（m ＋1）（x 2＋1）≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为

A ．m≥2

B ．m≤－2或m>－1

C ．m≤－2或m≥2

D ．－1＜m≤2 11．已知函数1()n n f x x ,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与

x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为

A ．－1

B ．1－log 20132012

C ．-log 20132012

D ．1

二、填空题

12．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．

13．若直线100,0ax by a b 过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b

的最小值为 ． 14．设三棱柱111ABC A B C -

的侧棱垂直于底面，12,90,AB AC BAC AA ==∠=?=，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．

15．数列{}n a 的通项为(1)(21)sin

12n n n a n π=-+?+，前n 项和为n S ，则100S = ．

三、解答题

16．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0， 2b n –b 1=S 1?S n ，n ∈N *．

（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；

（Ⅱ）设3n n n c b lon a =?，求数列{c n }的前n 项和T n ；

（Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2，有221b a -+331b a -+…+n

n b a -1＜23． 17．如图，在直三棱柱

中，AC =1，BC =2，AC ⊥BC ，

分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面

； （Ⅱ）若异面直线

与所成角为，求三棱锥的体积． 18．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0．18．

（1）求抽取的学生人数；

（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；

（3）已知a ≥10?,b ≥8?,求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率．

19．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足OS OT tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．

20．已知函数21()()ln ,()2f x a x x a R =-+∈．

（1）当0a =时，求()f x 在区间1[,]e e

上的最大值；

（2）若在区间（1， +∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．

21．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知∠EAD =∠PCA .

证明：（1）AD =AB ；

（2）DA 2=DC ?BP ．

22．已知平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C

方程为2sin ρθ=．2C

的参数方程为112x t y ?=-+????=??（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；

（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．

23．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．

(1)求m 的值；

(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：因为{}

{}1|0,2|>=>==y y x y y M x ，{}{}0|lg |>===x x x y x N ， 所以{}1|>=x x N M ；故选B ．

考点：集合的交并运算．

2．C

【解析】

试题分析：该三视图对应的空间几何体为边长为1的正方体去掉一个三棱锥如下图所示：

所以它的体积为321131111=

??-??；故选C ． 考点：三视图的应用．

3．A

【解析】

试题分析：由题意可得：2tan =α，所以

541tan tan 2cos sin cos sin 22sin 222015cos 222=+=+==??

? ??-ααααααααπ；故选A ． 考点：1．两直线的位置关系；2．诱导公式．

4．C

【解析】

试题分析：A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则 或相交；B ．若//,,,//m n m n αβαβ??则或相交；

D ．若//,//,//m n m n αα则或在平面内；故选C ．

考点：空间几何元素的位置关系．

5．C

【解析】

分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.

6．A

【解析】

试题分析：因为22AO AB AC AO OB OA OC OA =+?=-+-所以OB OC =-，所以C B O ,,三点共线即AC AB ⊥；又因为1OA AB ==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ?=?-=故向量BA 在向量上的投影为2

1选A ． 考点：平面向量数量积的含义及其物理意义．

7．B

【解析】

试题分析：由题意可得：2=OP ，PN PM ⊥,所以2==ON OM ；所以函数的周期为16即8π

ω=故选B ．

考点：1．三角函数的性质；2．向量运算．

8．B

【解析】

试题分析：作出可行域如下图所示：

由题意可得：令则，当直线过点

时有最大值5，过点

时有最小值，因为不包括边界所以的取值范围是

；故选B ． 考点：线性规划的应用．

9．D

【分析】

构造函数()()

cos f x F x x =，利用函数()'

F x 导数判断函数()F x 的单调性，将ππππ0,,,,3434

x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项. 【详解】

构造函数()()

cos f x F x x =，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x x

F x x +='>'，故函数在定义域

上为增函数，由()π04F F ??< ???得()π04πcos 0cos 4

f f ?? ???<，即(

)π04f ??< ???，排除A 选项. 由ππ34F F ????> ? ?????得ππ34ππcos cos 34

f f ???? ? ?????>

ππ34f ????> ? ?????，排除B 选项.由()π03F F ??< ???得()π03πcos 0cos 3f f ?? ???<，即()π023f f ??< ???

，排除C ，选项. 由ππ34F F ????-<- ? ?????得ππ34ππcos cos 34f f ????-- ? ?????

，即ππ34f ????-<- ? ?????，D 选项正确，故选D.

【点睛】

本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.

10．B

【解析】

试题分析：由命题p ：?x ∈R ，（m ＋1）（x 2＋1）≤0可得

，由命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立可得

，因为p ∧q 为假命题，所以m≤－2或m>－1．

考点：命题真假的判断．

11．D

【解析】

试题分析：由题意可得：点()1,1P ，()()n n x n x f 1'+=，所以点P 处的切线切线的斜率为1+n 故可得切线的方程为()()111-+=-x n y ，所以与x 轴交点的横坐标1+=

n n x n ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 12013

1log log 2013

2013212013-===x x x ；故选D ． 考点：1．导数的几何意义；2．对数运算．

12．2

【解析】 试题分析：因为数列{}n a 为等差数列且1233a a a ++=，5679a a a ++=，所以212644=?=a a ；故填2．

考点：等差数列的性质．

13．223+

【解析】

试题分析：由题意可知：曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心为()1,1，所以1=+b a ，

()122

333b a a b a b a b ??++=++≥+=+ ???当且仅当32,3121==?=b a b a ；故填223+．

考点：基本不等式的应用．

14．π16

【解析】

试题分析：由题意可得：把三棱柱补成底面以2为边长的正方形，以22为高的长方体，

长方体的体对角线就是球的直径，所以()2422222222=?=++=

r r ，所以该球的表面积是ππ1642=r ；故填π16．

考点：空间几何体的表面积．

15．200

【解析】

试题分析：由(1)(21)sin 12

n n n a n π=-+?+可得所有的偶数项为0，奇数项有以下规律： ???????===???????-=-=-=

24168,181021173951a a a a a a 所以()12252259719795125=?+=++++ ， ()127522599399117325=?+=++++

所以

()2002252127521225100=?+?+-?=s 故填200．

考点：数列的定义及性质．

16．（Ⅰ）a n =3

n –1 b n =2n –1；（Ⅱ）T n =（n –2）2n

+2；（Ⅲ）见解析． 【解析】

试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；由n S 推n a 时，别漏掉1=n 这种情况，大部分学生好遗忘;（2）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列 {}n n b a ?的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论． 试题解析：

（Ⅰ）∵a n+1=3a n ，

∴{a n }是公比为3，首项a 1=1的等比数列，

∴通项公式为a n =3n –1．

∵2b n –b 1=S 1?S n ，

∴当n=1时，2b 1–b 1=S 1?S 1，

∵S 1=b 1，b 1≠0，∴b 1=1．

∴当n ＞1时，b n =S n –S n –1=2b n –2b n –1，∴b n =2b n –1，

∴{b n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列，

∴通项公式为b n =2n –1．

（Ⅱ）c n =b n ?log 3a n =2

n –1log 33n –1=（n –1）2n –1， T n =0?20+1?21+2?22+…+（n –2）2

n –2+（n –1）2n –1 ……① 2T n = 0?21+1?22+2?23+……+（n –2）2

n –1+（n –1） 2n ……② ①–②得：–T n =0?20+21+22+23+……+2

n –1–（n –1）2n =2n –2–（n –1）2n =–2–（n –2）2n

∴T n =（n –2）2n +2． （Ⅲ）n n b a -1=11231---n n =122331---?n n =)23(231222----+n n n ≤2

31-n 221b a -+331b a -+…+n n b a -1＜031+131+…+231-n =3

11)31(11

---n =23（1–13

1-n ）＜23． 考点：（1）求数列的通项公式；（2）错位相减求数列的和；（3）证明恒成立的问题．

17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）√33．

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全．（2）利用棱锥的体积公式求体积．（3）证明线面平行的方法：一是线面平行的判定定理；二是利用面面平行的性质定理．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．

试题解析：（1）证明：取

的中点,连接, 因为分别为棱的中点， 所以∥,

∥,,平面,

平面

,所以平面∥平面， 又平面,所以∥平面．

（2）由（1）知

异面直线与所成角,所以, 因为三棱柱

为直三棱柱，所以平面,所以平面,,

,, 由

,

平面, 所以V C 1?BCD =V B?CDC 1=13BC ?S ΔCDC 1 =13×2×12×1×√3=√33

． 考点：（1）证明平面与平面垂直；（2）异面直线所成的角．

18．(Ⅰ)100.(Ⅰ)a ＝14，b ＝17.（Ⅲ）P(A)=314.

【解析】

试题分析：（1）根据表格由抽样比即可得到要求的数据；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合． 试题解析：（1）由题意可知18n ＝0．18，得n =100．故抽取的学生人数是100 （2） 由（Ⅰ）知n =100，7+9+a 100?=0.3，故a ＝14，

而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17．

（3）设“语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少”为事件A ，

由（2）易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，满足条件的（a ，b ）有

（10,21）,（11,20）,（12,19）,（13,18）,（14,17）,（15,16）,（16,15）,

（17,14）,（18,13）,（19,12）,(20,11）,（21,10）,（22,9）,（23,8）,

共有14组，其中b +11>a +16的有3组，

则所求概率为P(A)=314． 考点：抽样比的应用、古典概型．

19．（Ⅰ）.12

22

=+y x ；（Ⅱ）()2,2-． 【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式?：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．． 试题解析：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程

为222)(a y c x =+-，

∴圆心到直线01=++y x

的距离d a ==（*）

∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴b c =,c b a 22==， 代入（*）式得1b c ==， ∴22==b a ，

故所求椭圆方程为.1222

=+y x （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：()028*******=-+-+k x k x k

， ∴()()081628214642224>+-=-+-=?k k k k ，∴212<

k ． 设()11,y x S ,()22,y x T ，则222122212128,218k

k x x k k x x +-=+=+， 由OS OT tOP +=，

当0t =,直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；

当0≠t ，得2

01220121228124(4)12k tx x x k k

ty y y k x x k =+=+-=+=????+-=+???∴20218,12k x t k =?+021412k y t k -=?+． 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(322

222

2224=+++k t k k t k ， 整理得：222

2116k k t +=，由212

综上可得(2,,2)t ∈-．

考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．

20．（1）21-

；（2）??? ??-21,21． 【解析】 试题分析：利用导数判断函数在区间1[,]e e

上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数 21()()2()2ln 2

g x f x ax a x ax x =-=--+通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到a 的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论． 试题解析：

（1）当0a =时 21()ln 2

f x x x =-+ (1)(1)()(0)x x f x x x

-+-'=

> 当1[,1)x e

∈,有()0f x '>；当(1,]x e ∈，有()0f x '<，()f x ∴在区间 1[,1)e

上是增函数，在 (1,]e 上为减函数， 又max 1()(1).2

f x f ==- （2）令21()()2()2ln 2

g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为 (0,)+∞ 在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方

等价于()0g x < 在区间(1,)+∞上恒成立．

(1)[(21)1]()x a x g x x

---'=

① ①若12a >，令()0g x '=，得极值点1211,21

x x a ==- 当12x x <，即112a <<时，在（0，1）上有()0g x '>，在2(1,)x 上有()0g x '<， 在2(,)x +∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间2(,)x +∞上是增函数，

并且在该区间上有2()((),)g x g x ∈+∞

不合题意；

当21x x ≤，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有

()((1),)g x g ∈+∞，也不合题意；

② 若12

a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；

要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足11(1)022g a a =--

≤?≥-， 由此求得a 的范围是11[,]22

-． 综合①②可知，当11[,]22

a ∈-时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方． 考点：函数与导数性质的应用．

21．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据圆的切线性质可得：∠EAD =∠DCA 又由已知∠EAD =∠PCA 进而可得∠DCA =∠PCA 所以可以得出AD =AB ；（2）由内接圆的性质可得三角形相似故可以得出DA BP =DC BA 所以得到DA 2=DC ?BP ．

试题解析：（Ⅰ）∵EP 与⊙O 相切于点A ，

∴∠EAD =∠DCA ．

又∠EAD =∠PCA ，

∴∠DCA =∠PCA ， ∴AD =AB ．

（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D =∠PBA ，

又∠DCA =∠PCA =∠PAB ， ∴ΔADC ∽ΔPBA ．

∴DA BP =DC BA ，即DA BP =DC DA ，∴DA 2=DC ?BP ．

考点：圆的性质的综合应用．

22．（Ⅰ）1C ：()2

211x y +-=，2C 0y -+=；（Ⅱ）10,2??????． 【解析】

试题分析：（1）掌握常见的参数方程与普通方程相互转化的方法；（2）根据圆的性质得到点到曲线的最大值和最小值即可得到点P 到曲线2C 距离的取值范围．

试题解析：（I ）1C 的直角坐标方程：()2

211x y +-=，

2C 0y -=． 5分

（II ）由（I ）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，

1C 的圆心()0,1到2C 的距离为112

d ==<，则1C 与2C 相交，

P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=

，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为

???

?． 考点：（1）参数方程的应用；（2）两点间的距离公式．

23．（1）3；（2）

92 【解析】

试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m －|x －2|=1两根，解得m 的值；

（2）由柯西不等式得(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2，代入条件a ＋b ＝3，即得a 2＋b 2的最小值．

试题解析：(1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1，

∴1－m ≤x －2≤m －1，

即3－m ≤x ≤m ＋1.

∵其解集为[0，4]，∴

∴m ＝3.

(2)由(1)知a ＋b ＝3，

∵(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×

1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥，∴a 2＋b 2的最小值为.