高数同济第六版下高等数学2第十章答案
习题10-1 二重积分的概念与性质
1.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)2()D
x y d σ+??与3()D
x y d σ+??,其中积分区域D 是圆周22
(2)(1)2x y -+-=所围成;
(2)
ln()D
x y d σ+??与2
[ln()]D
x y d σ+??,其中D 是三角形闭区域,三顶点分别为(1,0),
(1,1),(2,0);
2.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)22
sin sin D
I x yd σ=
??,其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤;
(2)22(49)D
I x y d σ=
++??,其中22
{(,)|4}D x y x y =+≤.
(3)
.D
I =
,其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤
解()
,f x y =
,积分区域的面积等于2,在D 上
()
,f
x y
的最大值
()10
4M x y =
==,最小值()1
1,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤
习题10-2 二重积分的计算法
1.计算下列二重积分: (1)
22
()D
x y d σ+??,其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤;
(2)
cos()D
x x y d σ+??,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。
2.画出积分区域,并计算下列二重积分: (1)
x y D
e d σ+??,其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
(2)
2
2()D
x
y x d σ+-??,其中D 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)D
I f x y d σ=
??为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次
积分),其中积分区域D 是:
(1)由直线y x =及抛物线2
4y x =所围成的闭区域;
(2)由直线y x =,2x =及双曲线1
(0)y x x
=
>所围成的闭区域。
4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。
5.画出积分区域,把积分
(,)D
f x y dxdy ??表示为极坐标形式的二次积分,
其中积分区域D 是: (1)2
2
{(,)|2}x y x y x +≤;
(2){(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤
6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1)
2
x
dx f dy ?
;
(2)
1
1(,)x
dx f x y dy -?
7.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
(1)
2220
)a
dx x y dy +?
;
(2)
211
222
()x
x
dx x y dy -+?
?
8.利用极坐标计算下列各题: (1)
22
x y D
e
d σ+??,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
(2)
22ln(1)D
x y d σ++??,其中D 是由圆周22
1x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
9.选用适当的坐标计算下列各题: (1)
22
()D
x y d σ+??,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3y a =(0)a >所围成的闭区域。
(2
)
D
σ,其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.
(3
)计算积分1
121112
2
4
y y x
x
y
I dy dx dy dx =
+?
?
解(
)211
112
2
38y x
x x
x
e I dx e dy x e e dx =
=-=
?
??习题10-3 三重积分
1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω
=
???为三次积分,其中积分区域Ω分别是:
(1)由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域;
(2)由曲面222z x y =+及2
2z x =-所围成的闭区域;
2.计算
23xy z dxdydz Ω
???,其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =,1x =和0z =所围成的闭区域。
3.计算
xyzdxdydz Ω
???,其中Ω为球面2
221x
y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内
的闭区域。
4.计算
zdxdydz Ω
???,其中Ω是由锥面z =
z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。
5.利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1)
zdv Ω
???
,其中Ω是由曲面z =22
z x y =+所围成的闭区域;
(2)
22()x y dv Ω
+???,其中Ω是由曲面22
2x y z +=及平面2z =所围成的闭区域;
6.选用适当的坐标计算下列三重积分: (1)
xydv Ω
???,其中Ω是柱面2
21x
y +=及平面1z =,0z =,0x =,0y =所围成的
在第一卦限内的闭区域;
(2)
22
()x y dv Ω
+???,其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域;
7.计算
()x y z dv Ω
++???
,其中Ω是由222
,0x y z z h +≤≤≤所围成。 解由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称,故
0xdv ydv Ω
Ω
==??????
原式20
xy h h h
D zdv dxdy d d zdz πρ
θρρΩ
=
==????????
()()2
2
2340
011
224
h h h d h d h πρρρπρρρπ=-?=-=?
?
8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22
z x y =+所围成立体的体积。
习题10-4 重积分的应用
1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。
2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=,cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域,求均匀薄片的质心:
3.已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h ,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
4.设均匀柱体密度为ρ,占有闭区域2
2
2
{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤,求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。
复习题十
1.计算下列二重积分:
(1)(1)sin D
x yd σ+??
,其中D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域;
(2)
D
σ,其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域;
(3)
2(369)D
y x y d σ+-+??,其中222{(,)|}D x y x y R =+≤.
2.交换下列二次积分的次序: (1)
1
2330
1
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+?
?
??
;
(2)
1
1
(,)dx f x y dy ?.
3.把积分
(,
)D
f x y d x d y ??表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域
2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.
4.计算下列三重积分: (1)
2z dxdydz Ω
???,其中Ω是两个球:2222x y z R ++≤和222
2x y z Rz ++≤(0)R >的
公共部分;
(2)222222
ln(1)1z x y z dv x y z Ω
++++++???,其中Ω是由球面222
1x y z ++=所围成的闭区域;
5.求平面
1x y z
a b c
++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。